第一篇：用向量方法解立體幾何題(老師用)

用向量方法求空間角和距離

在高考的立體幾何試題中,求角與距離是常考查的問題,其傳統的“三步曲”解法:“作圖、證明、解三角形”,作輔助線多、技巧性強,是教學和學習的難點．向量進入高中教材,為立體幾何增添了活力,新思想、新方法與時俱進,本專題將運用向量方法簡捷地解決這些問題． 求空間角問題

空間的角主要有：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角．（１）求異面直線所成的角

?設a?、b分別為異面直線a、b的方向向量，??a?b則兩異面直線所成的角?=arccos|??|

|a||b|

（２）求線面角

?設l是斜線

?l的方向向量，n是平面?的法向量，則斜線

（３）求二面角

??l?nl與平面?所成的角?=arcsin|??|

|l||n|?法

一、在?內a?l?，在?內b?l，其方向如圖，則二面角

??a?b??l??的平面角?=arccos??|a||b| 1

?????法

二、設n1,n2,是二面角??l??的兩個半平面的法向量，?l??其方向一個指向內側，另一個指向外側，則二面角??????n?n2? 的平面角?=arccos??1??|n1||n2|2 求空間距離問題

構成空間的點、線、面之間有七種距離，這里著重介紹點面距離的求法，象異面直線間的距離、線面距離；面面距離都可化為點面距離來求．（１）求點面距離

?法

一、設n是平面?的法向量，在?內取一點B, 則 A

???????????|AB?n|?到?的距離d?|AB||cos?|?|n|法

二、設AO??于O,利用AO和點O在?內的向量表示，可確定點O（２）求異面直線的距離

????的位置，從而求出|AO|．

法

一、找平面?使b??且a??，則異面直線a、b的距離就轉化為直線a到平面?的距離，又轉化為點A到平面?的距離．

法

二、在a上取一點A, 在b上取一點B, 為異面直線a、b異面直線a、b

?的方向向量,求n??（n?a?設a?、b分別

??，n?b），則

?????????|AB?n|的距離d?|AB||cos?|??（此方法移植|n|于點面距離的求法）． 例１．如圖，在棱長為２的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1D1,A1B1的中點．

（Ⅰ）求異面直線DE與FC1所成的角；（II）求BC1和面EFBD所成的角；（III）求B1到面EFBD的距離

解：（Ⅰ）記異面直線DE與FC1所成的角為?，則?等于向量?????????DE與FC1的夾角或其補角，????????? ?cos??|????DE?FC????1?|DE|?|FC|(????DD?????D?1|?????????1?1E)?(FB1?B ?||???DE?|?????1C1)|?|FC1| ?|?2|?2 555,???arccos25（II）如圖建立空間坐標系D?xyz，則????????DE?(1,0,2)，DB?(2,2,0)

設面???????EFBD的法向量為n?(x,y,1)

由?DE?n????

DB???0???n?0得?n?(?2,2,1)又?????BC1?(?2,0,2)

記BC1和面EFBD所成的角為? ????????????則 sin??|cos?BCBC1?n21,n?|?|??????|BC|?

1||n|2∴ BC1和面EFBD所成的角為?4．（III）點B1到面EFBD的距離ｄ等于

????向量BB1在面EFBD的法向量上的投影的絕對值，???????2|BB1?n|????d??3|n|設計說明：１．作為本專題的例１，首先選擇以一個容易建立空間直角坐標系的多面體―――正方體為載體，來說明空間角和距離的向量求法易于學生理解． ２．解決(1)后，可讓學生進一步求這兩條異面直線的距離，并讓學生體會一下：如果用傳統方法恐怕很難（不必多講，高考對公垂線的作法不作要求）． ３．完成這３道小題后，總結：對于易建立空間直角坐標系的立幾題，無論求角、距離還是證明平行、垂直（是前者的特殊情況），都可用向量方法來解決，向量方法可以人人學會，它程序化，不需技巧．

例2．如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長為1的正方形，四邊形

AA?B?B 是矩形，平面AA?B?B?平面ABCD。

（Ⅰ）若AA?＝１，求直線AB到面DA'C的距離．（II）試問：當AA?的長度為多少時，二面角

D?A?C?A的大小為60?？

解：（Ⅰ）如圖建立空間坐標系A?xyz，則 ????????'DA?(?1,0,a)DC?(0,1,0)'

??????'??DA?n1?0則??????? ??DC?n1?0??設面DAC的法向量為n1?(x,y,1)??得n1?(a,0,1)直線AB到面DA'C的距離ｄ就等于點Ａ到面DA'C的距離，也等于向量AD在面DA'C的法向量上的投影的絕對值，??????|AD?n1|2???d??2|n1|????

????(?1,1,0)（II）易得面AA'C的法向量n2???????向量n1,n2的夾角為60 ??????????n?n2??由cos?n1,n2????1??|n1||n2|?

?aa?1?22?1

2得 a?

1當AA?＝１時，二面角D?A?C?A的大小為60?．

設計說明：１．通過（Ⅰ），復習線面距離轉化為點面距離再轉化為一向量在一向量（法向量）投影的絕對值的解題思路與方法．

２．通過（II），復習面面角轉化為兩向量的夾角或其補角的方法，也可借此機會說明為什么這兩個角相等或互補，就沒有其他情況．

例３．正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為２，Ｐ是側棱AA1上任意一點．（Ⅰ）求證： 直線B1P不可能與平面ACC1A1垂直；（II）當BC1?B1P時，求二面角C?B1P?C1的大小．

?a

證明：（Ⅰ）如圖建立空間坐標系O?xyz，設AP則A,C,B1,P的坐標分別為(0,?1,0),(0,1,0),(?????????AC?(0,2,0),B1P?(?3,?1,a?2)????????AC?B1P??2?0，?B1P不垂直AC?直線B1P

3,0,2)(0,?1,a)

不可能與平面ACC1A1垂直． ??????????????（II）BC1?(?3,1,2)，由BC1?B1P，得BC1?B1P?0

即2?2(a?2)?0 又BC1?B1C?a?1

?BC1?面CB1P

??????BC1?(?3,1,2)是面CB1P的法向量

??????B1P?n?0?設面C1B1P的法向量為n?(1,y,z)，由??????????B1C1?n?0得n?(1,?3,?23),設二面角C?B1P?C1的大小為???????BC1?n6?????則cos???????4|BC1||n| 64?二面角C?B1P?C1的大小為arccos．

設計說明：１．前面選擇的兩個題，可有現成的坐標軸，但本題ｘ、ｚ軸需要自己添加（也可不這樣建立）．

２．第（１）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直線與這個面的法向量不平行．

????通過上面的例子，我們看到向量方法（更確切地講，是用公式： a?b?|a||b|cos?）解決空間角和距離的作用，當然，以上所舉例子，用傳統方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）還較為簡單，用向量法的好處在于克服傳統立幾以純幾何解決問題帶來的高度的技巧性和隨機性．向量法可操作性強―――運算過程公式化、程序化，有效地突破了立體幾何教學和學習中的難點，是解決立體幾何問題的重要工具．充分體現出新教材新思想、新方法的優越性．這是繼解析幾何后用又一次用代 數的方法研究幾何形體的一塊好內容，數形結合，在這里得到淋漓盡致地體現．

練習：

１．在正四面體S?ABC中，棱長為a，E,Ｆ分別為SA和BC的中點，求異面

23直線BE和SF所成的角．（arccos）

２．在邊長為１的菱形ABCD中，?ABC起后BD＝１，求二面角B?３．在四棱錐P?PD?AD?ABCDAC?D?60?，將菱形沿對角線AC折起，使

折

13的余弦值．（）

?P中，底面ABCD為矩形，PD底D面，且Ca，問平面PBA與平面PBC能否垂直？試說明理由．（不垂直）

AB４．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?A?90?，O,O1,G 分別為BC,B1C1,AA1的中點，且AB?（１）求O1到面A1CB1的距離；（22AC?AA1?2．））（２）求BC到面GB1C1的距離．（263E ５.如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，F

D B C A 且BE＝AB＝2，CD＝1，點F是AE的中點.（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；

（Ⅱ）求AB與平面BDF所成角的大小.（arcsin）

8

第二篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

數x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實

分析;結合圖形，從向量

用、、出發，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則

點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結合已知和所求，觀察圖形，聯想相關的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標，將不符合目標要求的向量當作新的所需向量，如此繼續下去，直到所有向量都符合目標要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現形式。空間向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點，求：

點評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。

【用空間向量求距離】

例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現，但是利用向量的數量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設，利用n與平面內的兩個向量a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，聯立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設n是平面

向量，則直線與平面的一個法向量，AB是平面的斜線l的一個方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個面內與棱l垂直的異

②設分別是二面角的兩個平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點，則

（5）點面距離的求法：設n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到

（6）線面距、面面距均可轉化為點面距離再用（5）中方法求解。

練習：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長

為，平面內一點M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC?16，PA?PC?10．

（I）設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內存在一點M，使FM?平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當PD?且E為PB的中點時，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第三篇：用空間向量處理立體幾何的問題

【專題】用空間向量處理立體幾何的問題

一、用向量處理角的問題

例1在直三棱柱ABO?A1B1O1中，OO1?4，OA?4，OB?3，?AOB?90?，P是側棱

BB1上的一點，D為A1B1的中點，若OP?BD，求OP與底面AOB所成角的正切值。

B

1A1 P

B

A

?平面OAB，?OOB例2如圖，三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBBO?60?，?AOB?90?，111

且OB?OO1?

2，OA? 求：（1）二面角O1?AB?O的余弦值；（2）異面直線A與AO1所成角的余弦值。1B

B1

A

例3如圖，已知ABCD是連長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。

D

E

AB

AB?4，AD?3，AA1?2，M、N分別為DC、BB1例4在長方體ABCD?A1BC11D1，的中點，求異面直線MN與A1B的距離。

三、用向量處理平行問題 例5如圖，已知四邊形ABCD，ABEF為兩個正方形，MN分別在其對角線BF、AC上，且FM=AN。

求證：MN//平面EBC。

E

F

M

B A

D

C

例6 在正方體ABCD?A1BC11D1中，求證：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中點，例7在正方體ABCD?A求證： A1F?平面BDE。1BC11D1中，、分別是CC1、例8如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2，E為B1C的中點。BB1?2，D為AC11的中點，（1）求直線BE與DC所成的角；

（2）在線段AA1上是否存在點F，使CF?平面B1DF，若存在，求出AF的長；若不存在，請說明理由；

（3）若F為AA1的中點，求C到平面B1DF的距離。

C

1A1

A

C

五、高考題回顧

1.(2003年全國高考題)如圖在直三棱柱ABC?A1B1C1,底面是等腰直角三角形,?ACB?900,側棱AA1?2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G.(?)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(??)求點A1到平面AED的距離.A2.(2004年高考題)如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?900,AA1?1,側面AA1B1B的兩條對角線交點為D,B1C1的中點為M.(?)求證CD?平面BDM;

(??)求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小結

1、求點到平面的距離

?

如圖，已知點P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面?一個法向量n。

B

A

1C1

?????????????????????n?AP???由n?AP?|n|?|AP|cos?，其中???n,AP?，可知|AP|cos??

|n|

????

而|AP|cos?的絕對值就是點P到平面?的距離。

2、求異面直線的距離、夾角

?????????a?b|EF?n|?d?；cos?a,b??

|n||a|?|b|

3、求二面角

??????????

如圖:二面角??l??,平面?的法向量為n1,平面?的法向量為n2,若?n1,n2???,則二面角??l??為?或???.4、用空間向量證明“平行”，包括線面平行和面面平行。

n?m?0

n??m

第四篇：淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

15號

海南華僑中學（570206）王亞順

摘要：向量是既有代數運算又有幾何特征的工具，在高中數學的解題中起著很重要的作用。在立體幾何中像直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，而用向量法很容易證明這些定理。

關鍵詞：向量法直線平面平行垂直立體幾何

在高中階段我們學習了平面向量與空間向量的基本知識，而向量本身既可以進行代數運算又含有幾何特征，這是很典型的知識，促使其在代數或幾何方面都可以得到很好的應用，因此，在解題方面我們運用向量知識及本身含有的運算去解決問題的方法，我們稱為向量法。即向量法既能解決代數問題也能解決幾何問題。

立體幾何是我們高中學習的一個難點，關鍵在于其抽象性及理解定理的基礎上靈活運用，抽象性在此就不多言了，我們來談下定理的問題。在高中人教A版的第二章《點、直線、平面之間的位置關系》中，對于直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，課本中只是探究說明，讓學生體會而得到。如果能給出證明，就能夠很好地體現定理的嚴密性，在此可以用向量法來證明。

下面我們就用向量法證明這些定理，先介紹一些向量知識及相關

定理。

定義1??兩個向量?與?的長度與他們之間的夾角的余弦的乘積

?????????稱為?與?的數量積。記為?????cos?。特別地，若非零向量?與

???????【1】 ?垂直，即???，則????0

定義2 ????空間任意兩個向量?與?的向量積是一個向量，記為???

?????????。它的模為?????sin?，其中?為向量?與?之間的（或???,??）??????夾角，它的方向與?和?都垂直，并且按向量?、?、???這個順序

構成右手坐標系【2】。如圖

1圖1

【3】定理1兩個向量?與?共線的充分必要條件是????0。?????

定義3????給定空間的三個向量?、?、?，如果先做前兩個向量?????與?的向量積???，再做所得向量與第三個向量?的數量積，最后得

?????【4】 到的這個數叫做三個向量的混合積。記作???,?或者?,?,?。?????

定理2輪換混合積的三個因子，并不改變的它的值，對調任何兩個因子要改變混合積的符號，即

???????????????????【5】 ?,?,???,?,???,?,????,?,????,?,????,?,?。???????????

下面我們用以上的向量知識證明立體幾何的幾個定理。

直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：如圖2，a??,b??,且a?b,證明：a??。

圖2圖

3???分析：在平面?內找到一直線c，證明a,b?c?0即可。??

證明：如圖3，在平面?內的直線b上取一點o，過o點作一直

??線c與直線b交于o點；設直線a、b、c上分別有非零向量a、b、?c。

??????a?b?a與b共線即a?b?0.?????????

根據定理2，有a,b?c?c,a?b?0，即a與b?c垂直。????

?直線a與平面?的垂線垂直，又直線a在平面?外，?a??。證畢

平面與平面平行的判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一平面平行，則這兩個平面平行。

已知：如圖4，a??,b??,a?b?P,a??,b??,證明：???。

圖4圖

5分析：證明平面?內任一條直線都平面?平行即可。

證明：如圖5，設直線m為平面?內任一條直線，在平面?內取兩條相交直線c與d，又設直線a、b、c、d、m上分別有非零向

???????量a、b、c、d、m。由于a、b是平面內兩條不共線的向量，則

???由平面向量基本定理可知，m??a??b。

?a??,b?????????a,c?d?b,c?d?0 ????

??????????????m,c?d??a??b,c?d??a,c?d??b,c?d?0 ????????

即直線m與平面?平行，又直線m為平面?內任一條直線。

????。證畢

直線與平面垂直的判定定理一條直線與一平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

已知：如圖6，l

證明：l??。

?a,l?b,a??,b??,a?b?P

分析：由線面垂直定義，直線l垂直于平面?內任一條直線。證明：如圖7，設直線c為平面?內任一條直線，又設直線a、b、??????c、l上分別有非零向量a、b、c、l。由于a與b是平面內兩個不

???共線的向量，由平面向量基本定理，有c??1a??2b。

?????l?a,l?b?a?l?b?l?0

??????????c?l??1a??2b?l??1a?l??2b?l?0 ??

???c?l即直線l與直線c垂直，又直線c為平面?內任一條

直線，由線面垂直定義可知l??。證畢

用向量法證明立體幾何中的直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定等定理，解題思路清晰、過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果，體現了向量法解決幾何問題的優越性。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學代數化，數量化，可以為學生提供全新的視角，使學生形成一種新的思維方式。

參考文獻：

【1】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，117；

第五篇：解立體幾何方法總結

啟迪教育

解立體幾何方法總結

1坐標系的建立：

2空間向量的運算：

3求異面直線的夾角

4法向量的求法

5證明線面平行方法：

6求線和面的夾角

7求幾何體的體積

8證明面和面垂直和線面垂直

9求點到面的距離（等體積法）

羅老師教案

1羅老師教案

6羅老師教案

1如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?4，AB?2．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直線PC與平面ABM所成的角；（3）求點O到平面ABM的距離．

B

2如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中點。(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

3如圖，已知E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點，EF與AC交于點O, PA,NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2, M是線段PA上一動點(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值；

(3)當M是PA中點時，求二面角M-EF-N的余弦值

MN

A

E

C

圖3-2

羅老師教案