第一篇：《垂直關系證明》專題

《垂直關系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關系》專題練習

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．BA

C

第二篇：證明垂直位置關系

第五課時學案垂直的證明方法

命題預測

從近幾年的高考試題來看，線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質等是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質；主觀題考查較全面，在考查上述知識的同時，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力．

預測2013年高考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點，重點考查學生的空間想象以及邏輯推理能力．

考點1 直線與平面垂直的判定與性質

例

1、（08天津）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB?3,AD?2,PA?2,PD?22,?PAB?60?．（Ⅰ）證明AD?平面PAB；

（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P?BD?A的大小．

變式1：如圖，已知三棱錐A－BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．求證：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.變式2：（12全國理）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.變式3：（06福建）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（I）求證：AO?平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點E到平面ACD的距離。

B

E

變式4：（11大綱理）如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?CD,BC?CD，側面SAB為等邊三角形，AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小．

例

2、（08二）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點E在CC1上

AC

1且C1E?3EC．（Ⅰ）證明：A1C?平面BED；（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．EC

例

3、（04湖北）在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E 是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點。（1）試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）當D1E⊥平面AB1F時，求二面角C1―EF―A的大小。

例

4、（12北京理）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

考點2平面與平面垂直的判定與性質

例

1、(2011〃高考江蘇卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分別是AP，AD的中點．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD

變式1：如圖，在直三棱柱:ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點．(1)求證：B1C∥平面A1BD；

(2)求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；(3)求三棱錐A－A1BD的體積．

變式2：（08湖南）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.變式3：（09北京）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當PD?

且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.變式4：（05）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=

2AB=1，M是PB的中點。

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

2、（12高考江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD?DE，F為B1C1的中點． 求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；（2）直線A1F//平面ADE．

變式：（11遼寧理）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=2PD．（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

例

3、如圖，四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論．

第三篇：高考復習專題---立體幾何垂直關系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點.(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第四篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個角等于，由于利用代數的方法，只要能計算出待證直角的對邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

4、圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

菱形的對角線互相垂直。

6、利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.贊同

5|評論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：。

第五篇：垂直關系小結

課題：垂直關系小結

一、學習目標：

1.掌握三種垂直關系的互相轉化。2.會求有關距離的問題。

二、重點：三種垂直關系的轉化。

難點：如何求距離（點到面、線到面、面到面）。

三、復習引入：

1.證明線線垂直的方法：

2.證明線面垂直的方法：

3.證明面面垂直的方法：

4.點到面、線到面、面到面的距離分別指什么？

四、導思探究。

1.三種垂直關系之間的轉化：線面垂直

線線垂直面面垂直

2.求距離的方法有哪些？

① 作出垂線段，并放在直角三角形中計算； ② 在三棱錐中可以用等體積求距離。

五、導練展示：

例1.已知矩形ABCD，過A作SA?平面AC，再過A作AE?

SB于E，過E作EF?SC于F ① 求證AF?SC

② 若平面AEF交SD于G，求證AG ?SD

例2.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長為2，則點A1到截面AB1D1的距離為

六、達標檢測：

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA?底面ABCD,AB?AD,AC?CD,∠ABC=60°，PA=AB=BC,E是PC的中點。⑴證明：CD?AE

⑵證明：PD?平面ABE

2.在三棱錐A-BCD中，AC?底面BCD,BD?DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30°，則點C到平面ABD的距離是

七、反思小結：