第一篇：面面垂直證明例題
數學面面垂直例題
例4答案：
例8答案：取AC的中點為O，連接OP、OB。AO=OC,PA=PC,故PO垂直
AC
第二篇：如何證明面面垂直
如何證明面面垂直
設p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC
過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC
2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面
然后轉化成一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線
也可以運用兩個面的法向量互相垂直。
這是解析幾何的方法。
2一、初中部分
1利用直角三角形中兩銳角互余證明
由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。
2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
1向量法兩條直線的方向向量數量積為0
2斜率兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線
一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊
4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：
Ⅰ.平行關系：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。
Ⅱ.垂直關系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。
第三篇：怎么證明面面垂直
怎么證明面面垂直證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成 一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面 然后轉化成
一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線 也可以運用兩個面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。
證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明
由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
1向量法 兩條直線的方向向量數量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線
一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：
Ⅰ.平行關系：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。
第四篇：怎樣證明面面垂直
怎樣證明面面垂直
如果一平面經過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)
為方便，下面#后的代表向量。
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.對角線的點積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD
兩組對邊平方和分別為：
AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC
AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA
則AB2+CD2=AD2+BC2等價于#BD·#BC=#BD·#BA等價于#AC·#BD=0
所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等
證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面
然后轉化成一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線
也可以運用兩個面的法向量互相垂直。
這是解析幾何的方法。
2一、初中部分
1利用直角三角形中兩銳角互余證明
由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。
2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
如果一平面經過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)
1向量法兩條直線的方向向量數量積為0
2斜率兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線
一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊
4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：
Ⅰ.平行關系：
線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。
Ⅱ.垂直關系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。
第五篇：面面垂直習題（模版）
例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。
解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E
作EF⊥PA于F，連接BF
∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC
C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC
由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設PC=1,由E是AC的中點，?BE?
32,EF?
12sin45?0B
24?tg?BFE
?BE
EF?6
例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:
AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC
∴ PA⊥BC
又AC⊥BC PA∩AC=A
∴ BC⊥平面PAC
?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC
?平面PAC,∵AF⊥PCAF
平面PBC∩平面PAC=PC
∴ AF⊥平面PBC
如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E
D
C
A
B
如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC
(1)求證：AB?BC ；
(2)若設二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小
S
E
a
A 2aC
已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內,且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角
C
如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD
G C
E B
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