第一篇：第71課面面垂直

高考直通車·2014屆高考數學一輪復習備課手冊

第71課面面垂直

一、考綱要求

理解平面與平面垂直的判定定理和性質定理，并能夠運用兩個定理證明簡單的面面垂直問題．

二、基礎知識回顧與梳理

回顧

1、二面角的有關概念

(1)二面角：一條直線和由這條直線出發的(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作于棱的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．

注：二面角平面角的范圍：

2、平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的判定方法

①定義法

②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面互相垂直．

符號表示:

(2)平面與平面垂直的性質

如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內的直線垂直于另一個平面．

符號表示:

解析

·兩個平面垂直的判定定理和性質定理分別由線面垂直推出面面垂直，以及由面面垂直推出線面垂直，因此在解決有關問題時，經常利用“線線垂直?線面垂直?面面垂直”這種轉化思想．

·兩平面垂直時，過第一個平面內任一點作第二個平面的垂線，則該垂線必在第一個平面內．

1、平面??平面?，????l，點P??，點Q?l，那么PQ?l是PQ??的___________條件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

【教學建議】幫助學生復習面面垂直性質定理和簡易邏輯相關知識．教學時，可以要求學生寫出面面垂直性質定理的符號語言，強調書寫應規范、到位．

2、已知平面??平面?，????a，若a?l，則下列結論正確的是________．

①l必與?,?中的一個垂直②l不可能與?,?中的一個垂直

③l同時與?,?垂直④l不可能同時與?,?垂直

【教學建議】本題是在第一題基礎上的加深，主要幫助學生理解面面垂直性質定理中的關鍵條件，訓練學生思維的完備性．教學時，可以結合圖形說明上述各選項的對錯，并再次強調性質定理書寫的規范．

3、對于直線m,n和平面?,?,???的一個充分條件是________．

①m?n,m//?,n//?②m?n,????m,n??

③m//n,n??,m??④m//n,m??,n??

【教學建議】通過填空題的形式幫助學生理解面面垂直判定定理的概念和簡易邏輯相關知識．教學時，讓學生簡述理由，對于正確的選項，可以結合面面垂直判定定理，強調定理的書寫規范；對于不正確的選項，可以讓學生舉出反例，或若由此條件應得到怎樣的結論．

4、ABCD是正方形，P為平面ABCD外一點，且PA?平面ABCD，則平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD這五個平面中，互相垂直的平面有________對．

【教學建議】通過常見圖形的研究，復習面面垂直的判定定理．幫助學生加深理解一些常見幾何體中面面垂直的結論．

三、診斷練習

1、教學處理：課上由學生自主完成4道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學習筆記欄．課前抽查批閱部分同學的解答，了解學生的解題思路及主要錯誤．教學時，對題１，題４點評要充分，對于學生不正確的解答要求其舉出反例，最好能夠畫出相應的圖形，使教學言而有物．

2、診斷練習點評

題1、已知m,n是兩條不同的直線，?,?為兩個不同的平面，有下列四個命題：

①若m??,n??,m?n，則???；②若m//?,n//?,m?n，則?//?

③若m??,n//?,m?n，則?//?；④若m??,n//?,?//?，則m?n

其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）___________．

【分析與點評】直接根據線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質定理加以判斷．對于命題②③，要求學生舉出反例；對于命題①④，可要求學生畫出圖形，簡述證明．

【交流】要求學生根據立體幾何的公理、定理、性質，列舉類似命題，并交

流討論．

題2、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?底面ABCD，底面各邊相等，M是

PC上的一點，當點M滿足_______________時，平面MBD⊥平面PCD。【分析與點評】BM⊥PC。根據線面垂直，面面垂直的判定定理可得結果．讓D 學生體會數學圖形的對稱美。

題3、設?,?是空間兩個平面，m,n是平面?,?外的兩條不同的直線，從 C ①m?n；②???；③n??；④m??中選取三個作為條件，余下的一

個作為結論，寫出一個你認為正確的命題：（用序號表示）．

【分析與點評】①③④?②或②③④?①。因為當n??,m??時，平面?及?所成的二面角與直線m,n所成的角相等或互補，所以若m?n，則???，從而由①③④?②；同理若???，則m?n，從而由②③④?①。

本題要求學生能熟練地將符號語言轉化為數學語言，進而根據數學語言想象出空間圖形，用所學過的知識得出答案。在研究垂直問題時，要注意應用“轉化”的思想，充分利用線線、線面、面面垂直(平行)關系的轉化，將一個個空間問題化歸到平面內去，使問題獲得解決。

題

4、對直線l,m與平面?,?,?滿足????l,l//?,m??和m??,下列命題必定正確的是___________．

①???且m//?;②???且l?m;③m//?且l?m;④?//?且???.【分析與點評】直接根據線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質定理加以判斷，可得只有②正確．復習線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性質定理．題給條件中線面元素較多，要求學生根據符號語言繪制出相應的圖形，然后進行判斷．

【交流】一是直線與平面平行，直線作任意平移（只要不在平面內）都與該平面平行，在經過這條直線與平面平行的平面內作任意旋轉也與原平面平行；二是直線與平面垂直，直線作任意平移仍然與平面垂直，偏轉后不能與平面垂直．

四、范例導析

例

1、如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,A1B1?ACCC1上E分別是棱BC，11,D，的點(點D 不同于點C),且AD?DE，F為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE?平面BCC1B1;

(2)直線A1F//平面ADE.【教學處理】指導學生結合圖形認真審題，看看能得出哪些

垂直的關系，分析條件與結論的關系，建議多提問，讓學

生主動發現問題，解決問題，教師延遲引導．

【啟發與引導分析】

提問：

1、面面垂直的判定定理是什么？

2、在這兩個平面中能否找到一條直線與另一個面垂直？

教師引導：

1、若在一個平面較難到一條直線與另一個面垂直，則可以在原

圖中先尋找某個平面的其它位置的垂線，然后尋找另一個已知平

面內與該垂線平行的直線；

2、要證平面ADE?平面BCC1B1,只要證平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可.它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE證得.要證直線A1F//平面ADE,只要證A1F∥平面ADE上的AD即可.例2：在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC,?ABC?90?，平面PAB?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD．

(1)求證：PA?平面ABCD；

（2）若平面PAB?平面PCD?l，問直線l能否與平面ABCD平行？

說明理由．

【教學處理】

第（1）問應讓學生自行分析、解決，選擇典型錯誤的學生上黑板板演，糾正并強調解題過程的規范性。第（2）問要求學生認真分析條件與結論，通過提問引導學生主動發現問題，解決問題。

【啟發與引導分析】

方法一：

提問：

1、在原有圖形中，平面PAB與平面PCD的交線l是否存在？

2、怎樣作出平面PAB與平面PCD的交線l？

教師引導：

1、兩點可以確定一條直線，原圖中平面PAB與平面PCD已有一個公共點P，只需再找到另一個公共點，將其與點P連接，便可得到兩平面的交線l。

2、在同一平面內找平面PAB與平面PCD內的線的交點。圖中PA?PD?P，PB?PC?，只剩直線PAB與CD。故在平面ABCD中，延長AB與CD，它們的交點即為所求。

方法二：

提問：若不作出平面PAB與平面PCD的交線l，能否有其他方式解決此問題？

教師引導：

1、本題在沒給出平面PAB與平面PCD的交線l，直接證出結論比較困難的情況下，可采用反證法。提問：反證法的步驟是怎樣的？

教師引導：

1、假設直線l能與平面ABCD平行，過點P作一條平行于AB的直線，則這條直線就是平面PAB與平面PCD的交線l，且直線l//平面ABCD。

2、由線面平行的性質定理，我們不難得出l//AB，同理可得l//CD，則AB//CD。

這與原題中的四邊形ABCD是梯形，AD//BC，這一條件矛盾。故假設不成立，原結論正確。

【點評】

1、本題主要考查立體幾何中的線面平行、線面垂直等主要知識。

2、第（2）問中兩平面的交線，是公理2的應用。通過探究空間線面關系，進一步培養學生觀察、發現的能力、空間想象能力和推理論證能力。

例3：多面體ABCDE中，AB?BC?AC?AE?1,CD?2,AE?面ABC,AE//CD．

（1）求證：AE//面BCD；

（2）求證：面BED?面BCD．

【教學處理】

指導學生審題，標注條件，看看能得出哪些平行與垂直的關系，讓學生先嘗試分析思考，教師延遲引導。E E 【啟發與引導分析】

第（1）問由學生處理，可由學生口述證明過程，或讓學生板演。

第（2）問，C C 提問：

1、證明面面垂直方法是什么？A A2、在這兩個平面中，能否在其中一個平面內找一條直線與 圖一 圖二 另一個面垂直？

教師引導：

1、欲證平面?⊥平面?，可在?內找一直線垂直于?(也可在?內找一直線垂直于?)，若都找不出，可在?內任找一條垂直于?的直線l，然后在?內找一直線平行于l即可

2、因為?ABC是等邊三角形，因此取某邊中點、作中線。（在等邊三角形中作中線是常用的輔助線做法。）容易得到AF?平面BCD。于是原題轉化為在平面BED內找一條直線與直線AF平行，即證線面平行。

3、要在平面BED內找一條直線與直線AF平行，實際上就是將直線AF平移到平面BED內。從圖中容易看出點A平移到了點E，所以不難得出點F平移到了BD的中點G。

【點評】

1、在證明面面垂直的過程中，教師要引導學生，在圖中已有的線中尋找“線面垂直”中的線，如找不到，可以先在平面內先找一條線與已知平面垂直，再將其平移到欲證平面內。

2、根據條件仔細觀察所給平面的特點，充分利用等腰、等邊三角形特殊性。作三角形某邊中線是常用的輔助線做法。

五、解題反思

1、對立體幾何中線面垂直（平行）、面面垂直（平行）的判定定理、性質定理的內容要深刻理解，條件、結論要清楚。熟練地用符號語言敘述定理，能繪制出對應的圖形。

2、處理面面垂直本質是由面面垂直?線面垂直?線線垂直化歸下去，將復雜的立體幾何問題轉化為平面幾何問題，即所謂的“降維”。

3、證明面面垂直的過程就是找垂線的過程。一般是先從一個平面內現有的直線中尋找另一個平面的垂線，若平面中這樣的直線不存在，則可以先在原幾何體中找平面的垂線，再證此垂線和另一個平面平行．當然也可以選兩面中的一面作它們交線的垂線，選哪個平面，應根據條件決定。題中等腰、等邊三角形、矩形、菱形等都可以和垂直建立聯系，應注意挖掘。

第二篇：面面垂直習題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設PC=1,由E是AC的中點，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內,且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第三篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面

然后轉化成一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第四篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成 一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面 然后轉化成

一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線 也可以運用兩個面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第五篇：面面垂直學案

§2.3.4平面與平面垂直的性質

一、學習目標：

1.掌握平面與平面垂直的性質定理的證明及應用；

2.掌握空間中的垂直關系相互轉化的方法。

二、學習過程：

(一)復習引入

1.平面與平面垂直的定義：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？

（2）觀察長方體ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D與平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一條直線垂直于平面ABCD？

（三）嚴格證明

已知???,????CD,AB??,AB?CD于B.求證:AB??.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性質定理：

兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言表述：

（五）知識應用舉例

例

1、已知平面α與β互相垂直，判斷下列命題是否正確：

（1）若b??,則b??。

（2）若???=l,b?l則b??。

（3）若b??,則b垂直于平面?內的無數條直線。

(4)過一個平面內任意一點作交線的垂線,則此垂線

必垂直于另一個平面。

例

2、平面?與平面?互相垂直，????m,P??,P?m,判斷：

（1）過點P且垂直于?的直線a是否一定在?內？

（2）過點P且垂直于?的直線l與?是什么位置關系？并證明

例

3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)求證：BC⊥平面PAC。(2)判斷平面PBC與平面PAC是否垂直，并證明。

A

O B

練習：如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓上異于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求證:AF⊥平面PBC.C

解題反思：

（六）小結反思

1.面面垂直的性質定理

2..空間垂直關系有那些？如何實現空間垂直關系的相互轉化？請指出下圖中空間垂直關系轉化的定理依據？

①

②

③

④

（七）家庭作業《同步導學》