第一篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個角等于，由于利用代數的方法，只要能計算出待證直角的對邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

4、圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

菱形的對角線互相垂直。

6、利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.贊同

5|評論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成一個平面的垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面

然后轉化成一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第三篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學習內容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大??；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大??；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為AC的中點．證明：平面POD?

平面PAC;

第四篇：《垂直關系證明》專題

《垂直關系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關系》專題練習

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．BA

C

第五篇：證明垂直習題

線面、面面垂直的判定及性質

一、選擇題

1、已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線． ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線． ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面．

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．

其中正確的個數是（）A．３Ｂ．２Ｃ．１

Ｄ．０

2、已知直線l?平面?，有以下幾個判斷：①若m?l，則m//?；②若m??，則m//l；

③若m//?，則m?l；④若m//l，則m??．上述判斷中正確的是（）

Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④

3、直線a不垂直于平面?，則?內與a垂直的直線有（）

Ａ．0條 Ｂ．1條Ｃ．無數條Ｄ．?內所有直線

4、在空間四邊形ABCD中，若AB?BC，AD?CD，E為對角線AC的中點，下列判斷正確的是（）

Ａ．平面ABD?平面BDCＢ．平面ABC?平面ABD Ｃ．平面ABC?平面ADC

Ｄ．平面ABC?平面BED

二、填空題

1、已知直線a，b和平面?，且a?b，a??，則b與?的位置關系是．

2、?，?是兩個不同的平面，m，n是平面?及?之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作

為結論，寫出你認為正確的一個命題．

3、設O為平行四邊形ABCD對角線的交點，P為平面AC外一點且有PA?PC，PB?PD，則PO與平面ABCD的關系是．

第 1 頁（共 6 頁

三、解答題

1、如圖所示，ABCD為正方形，SA?平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

S2、如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA?底面ABCD，AE?PD，EF//CD，AM?EF．

求證：MF⊥AB，MF⊥PC

P

A）第 1 頁（共 6 頁）

3、如圖，直角△ABC所在平面外一點S，且SA?SB?SC，點D為斜邊AC的中點．（1）求證：SD?平面ABC；

（2）若AB?BC，求證：BD?面SAC．

4、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.C

1AC

A5、已知：如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段AB?4，AC，BD分別在平面?和平面?內，且AC?AB，DB?AB，AC?3，BD?12，求CD長．

6、如圖，在四棱錐P?ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB?AD，?DAB?60?，E，F分別是AP,AB的中點，求證：（1）EF∥平面PCD，（2）平面BEF⊥平面PAD7、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別為PA，BC的中點，PD?平面ABCD，PD?AB?

2,CD?

1（1）求證：MN∥平面PCD（2）求證：MC?BD8、如圖，已知AB?面ACD，DE?面ACD，AC?AD，DE?2AB，F為CD中點（1）求證：AF∥面BCE（2）求證：面BCE?

面CDE9、如圖，在四面體ABCD中，CD?CB，AD?BD，E，F分別是AB,BD的中點，求證：（1）EF∥面ACD（2）面EFC?

面BCD

A10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點，（1）求BE和面ABB1A1所成角的正弦值

（2）在棱C1D1是否存在一點F，使得B1F∥面A1BE？并證明你的結論

C1

AC