第一篇：證明線面垂直的專項練習

線面垂直

1：（本小題滿分13分）(09廣東 文）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐P?EFGH，下半部分是長方體ABCD?EFGH。圖

5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖。

（1）請畫出該安全標識墩的側（左）視圖；

（3）證明：直線BD?平面PEG.w.w.w..s.5.u.c.o.m（2）求該安全標識墩的體積；(64000)

2、(09廣東 理數）如圖６，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為２，點Ｅ是正方形BCC1B1的中心，點Ｆ、Ｇ分別是棱C1D1,AA1的中點．設點E1,G1分別是點Ｅ、Ｇ在平面

DCC1D1內的正投影．

（１）求以Ｅ為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC1D1內的正投影為底面邊

界的棱錐的體積；

（２）證明：直線FG1?平面FEE1；

（３）求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值（）

33、.(11廣東 理）如圖5，在椎體P?ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且?DAB?

600,PA?PD?PB?2,E,F分別是BC,PC的中點，（1）證明：AD?平面DEF

（2）求二面角P?AD?B的余弦值。（?

21）7

14.(11湖南 文 12分）在圓錐PO

中，已知PO?O的直徑AB?2,點C在AB上,且?CAB=30,D為AC的中點．（Ⅰ）證明：AC?平面POD;

（Ⅱ）求直線 OC平面PAC所成角的正弦值.（）

35.(11北京 理）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,?BAD?60?（1）求證：BD?平面PAC

(2)PA=AB,求PB與AC所成的角的余弦值。

（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA 的長（PA?

6）

6．（本小題滿分12分）（11褔建 文）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB。（I）求證：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，∠CDA=45°，（12）求四棱錐P-ABCD的體積（7.（本小題滿分12分）(11天津 文）

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

5)6

線面垂直

8、如圖，四棱錐P的底面是邊長為1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?

（Ⅰ）求證:PA?平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱錐P?ABCD的體積.（Ⅲ）求直線PB與底面ABCD所成角的大小.9、已知三棱錐P—ABC中，PC?底面ABC，AB=BC，D、F分別

為AC、PC的中點，DE?AP于E。（1）求證：AP?平面BDE；

（2）求證：平面BDE?平面BDF；

（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分的體積比。

10、四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，_ A

_C

_D

PA=PC=2a，（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求證，直線PB與AC垂直；（3）求二面角A－PB－D的大小.11．如圖，已知兩個正四棱錐P?ABCD與Q?ABCD的高分別為1和2，AB?4．

P

（1）證明PQ?平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點P到平面QAD的距離．12.（2012年廣東理 13分）

Q

如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；(tan??3)

13.（2012

江西理12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。

（1）證明在側棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長；

（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。

14.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA?底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一點，2PE=EC。

（I）證明PC?平面BED；

（II）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小

15.（本小題滿分13分）(11廣東 文）

圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分別為

'

CD,C'D',DE,D'E'的中點，O1,O1',O2,O2分別為

CD,C'D',DE,D'E'的中點.（1）證明：O1,A,O2,B四點共面；

''

（2）設G為A A′中點，延長AO1到H′，使得O1H?AO1.證明：BO2?平面HBG

'

'

'

'

'

''

'

'

'

18（本小題滿分4分）(13廣東 理）

如圖5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900BC=6,D,E分別是AC，AB上的點，CD=BE=

錯

誤！未找到引用源。，O為BC的中點.將△ADE沿DE折起，得到如圖6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

1）

證明：A’O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.（

第二篇：線面垂直面面垂直專題練習

線面垂直專題練習

1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：

a?M?a//b?a?M?a//M?①②③b∥M④M.?b?M?a//b??????b⊥a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第2題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

4有三個命題：

①垂直于同一個平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直

其中正確命題的個數為()A.0B.1C.2D.35.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號是()．．．

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

6.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.7.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

A1C1C9、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BA

C10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問

△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉

出反例．

BA C

第三篇：線面垂直與面面垂直知識點和專項練習

知識改變命運，奮斗成就未來

線面垂直與面面垂直

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說這條直線和這個平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質定理

線面垂直判定定理：判定定理1：如果兩條平行線中的一條于一個平面，那么判定定理2：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么.性質定理3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線.3.面面垂直的判定定理：

4.面面垂直的性質定理： 例

1、.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.題型

一、線面垂直的判定與性質

1、已知：如圖，P是棱形ABCD所在平面外一點，且PA=PC

求證：AC?平面PBD

D2、已知，如圖，四面體A-BCD中，AB?CD,AD?BC,H為?BCD的垂心。求證：AH?平面BCD3、如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，點M,N分別為AB,PC的中點，B

C

D

求證：MN?AB

C

M

題型

二、面面垂直的判定與性質

4、如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上任一點，請寫出圖中互相垂直的平面，并說明理由。

5、已知：如圖，將矩形ABCD沿對角線BD將?BCD折起，使點C移到點C1，且C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。

C

1（）求證：1AD?BC1

(2)求證：面ADC1?面BDC1.6、已知四面體ABCD中，AB?AC,BD?CD,平面ABC?平面BCD,E為棱BC的中點。（1）求證：AE?平面BCD;（2）求證：AD?BC;

題型

三、平行與垂直的綜合題

7、已知PA?矩形ABCD所在的平面，M,N分別是AB,PC的中點。（1）求證：MN?CD

(2)若?PDA=45。，求證：MN?平面PCD.B

E

C

D8、一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點.（1）求證：GN?AC;

（2）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP//平面FMC,并給出證明.F

E

主視圖a

左視圖

G

D

N

C

a

a

A

MB

俯視圖

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60?，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．

（1）求證：BE∥平面PDF；

（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；

2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB?平面PAD，E為PC的中點．（1）求證：BE∥平面PAD;

（2）若AD?PB，求證：PA?平面ABC

第四篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實際上是平面內的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點,求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：線面垂直面面垂直及二面角專題練習

線面垂直專題練習

一、定理填空：

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說這條直線和這個平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質定理 線面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.判定定理1：如果兩條平行線中的一條于一個平面，那么判定定理2：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么.性質定理3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線.二、精選習題：

1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：

①a//b?a?M?a?M?a//M???b∥M④??b?M②??a//b③??b⊥M.a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第3題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.設a、b是異面直線，下列命題正確的是()

A.過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交

B.過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直

C.過a一定可以作一個平面與b垂直

D.過a一定可以作一個平面與b平行

4.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三個命題：

①垂直于同一個平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直

其中正確命題的個數為()A.0B.1C.2D.36.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

8.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．

10.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.面面垂直專題練習

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精選習題

1、正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，AB與CD所成的角等于

2、三棱錐P?ABC的三條側棱相等，則點P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一條直線與兩個平面所成角相等，那么這兩個平面的位置關系為______________

4、在正三棱錐中，相鄰兩面所成二面角的取值范圍為___________________

5、已知??l??是直二面角，A??,B??,A、B?l，設直線AB與?成30角，AB=2，B

?

到A在l上的射影N，則AB與?所成角為______________.6、在直二面角??AB??棱AB上取一點P，過P分別在?,?平面內作與棱成 45°角的斜線PC、PD，則∠CPD的大小是_____________

7、正四面體中相鄰兩側面所成的二面角的余弦值為___________________.二、解答題：

8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．

BA

C

二面角練習1210

1.正方體ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.5?2???B.C.D.632

32.邊長為a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，這時二

2面角B－AD－C的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高為折痕，將△ABC折起，若折起后的三角形ABC為等邊三角形，則二面角C－AD－B的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空間四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分別 是AC、AD、CA的中點。求證：平面BEF

^平面BEG。

性質定理：若兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定義法：在棱上取點，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求證：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；

（3）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1與平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂線法

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．點P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求證：平面PAB^平面APA^BC。?PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.將一副三角板如圖拼接，并沿BC折起成直二面角，設AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C