第一篇:線面垂直教學(xué)設(shè)計(jì)
教案
課題:直線與平面垂直的判定
(一)【教學(xué)目標(biāo)】
知識(shí)與技能目標(biāo):通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義和判定定理,并能對(duì)它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用;
過(guò)程與方法目標(biāo):通過(guò)對(duì)定義的總結(jié)和對(duì)判定定理的探究,不斷提高學(xué)生的抽象概括和邏輯思維能力;
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):通過(guò)學(xué)習(xí),使學(xué)生在認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活的同時(shí),體會(huì)到數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致之美,簡(jiǎn)潔樸實(shí)之美,和諧自然之美,從而使學(xué)生更加熱愛(ài)數(shù)學(xué),熱愛(ài)生活.
【教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn):直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn):對(duì)直線與平面垂直的定義的理解和對(duì)判定定理的探究.
【教學(xué)方法】
教法:?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式
學(xué)法:合作交流、動(dòng)手試驗(yàn)
【教具準(zhǔn)備】
計(jì)算機(jī)、多媒體課件、三角形卡紙
【教學(xué)過(guò)程】
一、直線與平面垂直定義的構(gòu)建
1、聯(lián)系生活——提出問(wèn)題在復(fù)習(xí)了直線與平面的三種位置關(guān)系后,給出幾幅現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的圖片,讓學(xué)生思考其中旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、大橋的橋柱與水面之間的位置關(guān)系屬于這三種情況中的那一種,它們還給我們留下了什么印象?從而提出問(wèn)題:什么是直線與平面垂直?
設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生意識(shí)到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出本節(jié)課的課題.另外這樣設(shè)計(jì)也吸引了學(xué)生的注意力,激發(fā)了學(xué)生的好奇心,使其主動(dòng)參與到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái).
2、創(chuàng)設(shè)情境——分析感知播放動(dòng)畫,引導(dǎo)學(xué)生觀察旗桿和它在地面上影子的位置關(guān)系,使其發(fā)現(xiàn):旗桿所在直線l與地面所在平面?內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線都是垂直的.進(jìn)而提出問(wèn)題:那么直線l與平面?內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線垂直嗎?
設(shè)計(jì)意圖:在具體的情境中,讓學(xué)生去體會(huì)和感知直線與平面垂直的定義.
3、總結(jié)定義——形成概念由學(xué)生總結(jié)出直線與平面垂直的定義,即如果直線l與平面
?內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面?互相垂直.引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言將
它表示出來(lái).然后提出問(wèn)題:如果將定義中的“任意一條直線”改成“無(wú)數(shù)條直線”,結(jié)論還成立嗎?
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過(guò)思考和操作(用三角板和筆在桌面上比試),加深對(duì)定義的認(rèn)識(shí).
二、直線與平面垂直判定定理的構(gòu)建
1、類比猜想——提出問(wèn)題根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行類比,通過(guò)不斷的猜想和分析,最終提出問(wèn)題:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直嗎?
設(shè)計(jì)意圖:不少老師都在本環(huán)節(jié)中進(jìn)行了一些有益的嘗試,但考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平,我仍然決定采用類比猜想的方法,從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā),進(jìn)行分析.
2、動(dòng)手試驗(yàn)——分析探究演示試驗(yàn)過(guò)程:過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).
A
B
D
C
C
B
問(wèn)題一:同學(xué)們看,此時(shí)的折痕AD與桌面垂直嗎? 又問(wèn):為什么說(shuō)此時(shí)的折痕AD與桌面不垂直?
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生從另一個(gè)角度來(lái)理解直線與平面垂直的定義——只要直線l與平面
?內(nèi)有一條直線不垂直,那么直線l就與平面?不垂直.
問(wèn)題二:如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面?垂直呢?﹙學(xué)生分組試驗(yàn)﹚ 設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)分組討論增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍,讓學(xué)生在交流中互相學(xué)習(xí),共同進(jìn)步. 問(wèn)題三:通過(guò)試驗(yàn),你能得到什么結(jié)論?在回答此問(wèn)題時(shí)大部分學(xué)生都會(huì)直接給出結(jié)論:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.此時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察,直線AD還經(jīng)過(guò)BD、CD的交點(diǎn).請(qǐng)他們思考在增加了這個(gè)條件后,試驗(yàn)的結(jié)論更準(zhǔn)確的說(shuō)應(yīng)該是什么?
A
B
D C
又問(wèn):如果直線l與平面?內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直,但不經(jīng)過(guò)它們的交點(diǎn),那么直線l還與平面?垂直嗎?
設(shè)計(jì)意圖:提高學(xué)生抽象概括的能力,同時(shí)也培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng).
3、提煉定理——形成概念給出線面垂直的判定定理,請(qǐng)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言把這個(gè)定理表示出來(lái),并由此向?qū)W生指明,判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)線線垂直來(lái)證明線面垂直,它體現(xiàn)了降維這種重要的數(shù)學(xué)思想.
判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.
符號(hào)語(yǔ)言: l?m,l?n,m??,n??,m?n?A ?l??.
三、初步應(yīng)用——深化認(rèn)識(shí)
1、例題剖析:
例1已知:a//b,a??.求證:b??. 分析過(guò)程:
a
b
?a?ma//b?ba??????b?na?n??
②
③
①
證明:在平面?內(nèi)作兩條相交直線m,n. 因?yàn)橹本€a??,根據(jù)直線與平面垂直的定義知a?m,a?n. 又因?yàn)閎∥a 所以b?m,b?n.
又因?yàn)閙??,n??,m,n是兩條相交直線,所以b??.
(①②③表示分析的順序)
設(shè)計(jì)意圖:不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用判定定理,而且要讓他們掌握分析此類問(wèn)題的方法和步驟.
本題也可以使用直線與平面垂直的定義來(lái)證明,這可以讓學(xué)生在課下完成. 另外,例1向我們透露了一個(gè)非常重要的信息,這里可以請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將例1表示出來(lái)——如果兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面垂直,那么另外一條直線也與此平面垂直.
2、隨堂練習(xí)
練習(xí)1如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC. 求證:VB⊥AC.
證明:取AC中點(diǎn)為K,連接VK、BK,∵ 在△VAC中,VA=VC,且K是AC中點(diǎn),∴ VK⊥AC.
同理 BK⊥AC.
V
A
K
C
又 VK?平面VKB,BK?平面VKB,VK∩BK=K,∴ AC⊥平面VKB.
∵ VB?平面VKB,∴ VB ⊥ AC.
設(shè)計(jì)意圖:用展臺(tái)展示部分學(xué)生的答案,督促學(xué)生規(guī)范化做題. 變式引申如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn).若E、F分別是AB、BC 的中點(diǎn),試判斷直線EF與平面VKB的位置關(guān)系.
解:直線EF與平面VKB互相垂直.
∵ 在△VAC中,VA=VC,且K是AC中點(diǎn),∴ VK⊥AC. 同理 BK⊥AC.
又 VK?平面VKB,BK?平面VKB,VK∩BK=K,∴ AC ⊥平面VKB.
又 E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),∴ EF∥AC∴ EF⊥平面VKB.
B
E
F
A C
設(shè)計(jì)意圖:在定義和判定定理之外,例1又給出了第三種證明直線與平面垂直的方法,構(gòu)造這道變式引申題的目的就是讓學(xué)生在用中將其內(nèi)化.
練習(xí)2如圖,PA垂直圓O所在平面,AC是圓O的直徑,B是圓周上一點(diǎn),問(wèn)三棱錐P-ABC中有幾個(gè)直角三角形?
解:在三棱錐P-ABC中有四個(gè)直角三角形,分別是: △ABC、△PAB、△PAC和△PBC.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)練習(xí)1和練習(xí)2培養(yǎng)學(xué)生熟練地進(jìn)行線線垂直和線面垂直之間的轉(zhuǎn)化,從而使他們能夠?qū)Χx和判定定理進(jìn)行靈活應(yīng)用.
四、總結(jié)回顧——提升認(rèn)識(shí)
B
C
五、布置作業(yè)——鞏固認(rèn)識(shí) ? 必做題:習(xí)題2.3 B組2,4.
? 選做題:如圖SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過(guò)A作SB的垂線,垂足為E,過(guò)E作SC的垂線,垂足為F. 求證:AF⊥SC.
? 探究題:課本66頁(yè)的探究題.
S
E
B
C
第二篇:專題線面垂直
專題九: 線面垂直的證明
題型一:共面垂直(實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1:如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中,O為底面ABCD的中心,E為CC1中點(diǎn),求證:AO?OE
1題型二:線面垂直證明(利用線面垂直的判斷定理)
例2:在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心,E為CC1,1BC11D1中,?平面BDE 求證:AO1
題型三:異面垂直(利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明,高考中的意圖)例3.在正四面體ABCD中,求證AC?BD
P N D C A M B 練:如圖,PA?平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),求證:MN?AB
題型四:面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)
例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號(hào)
是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD
例5.如圖,AB是圓O的直徑,C是圓周上一點(diǎn),PA?平面ABC.若AE⊥PC,E為垂足,F是PB上任意一點(diǎn),求證:平面AEF⊥平面PBC.
第三篇:線面垂直高考題
高考真題演練:
(2012天津文數(shù)).(本小題滿分13分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PD=CD=2.(I)求異面直線PA與BC所成角的正切值;
(II)證明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。
(2012天津理數(shù))(本小題滿分13分)P如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面
直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).C
D
(2010年安徽)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF,?BFC?90?,BF=FC,H為BC的中點(diǎn).(I)求證:FH//平面EDB;
(II)求證:AC⊥平面EDB;
(III)求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數(shù))如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD
是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).已知AB=2,AD=22,PA=2.求:
E
(1)三角形PCD的面積;(6分)(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)
B
(2012山東)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。(Ⅰ)求證:BD⊥平面AED;
(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值。
(2012年北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,(I)求證:A1C⊥平面BCDE;
(II)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小;
(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說(shuō)明理由
(2012遼寧)如圖,直三棱柱ABC?ABC,?BAC?90,[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
///?
AB?AC??AA/,點(diǎn)M,N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。
(Ⅰ)證明:MN∥平面AACC;
(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角,求?的值。
(2012江蘇)如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,A1B1?ACCC1E分別是棱BC,11,D,上的點(diǎn)(點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C),且AD?DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn). A1求證:(1)平面ADE?平面BCC1B1;
(2)直線A1F//平面ADE.
(2012湖南),在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn)。(Ⅰ)證明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積。
B A
D
/
/
/
C1
E
(2012湖北),∠ACB=45°,BC=3,過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2所示),(1)當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐A-BCD的體積最大;
(2)當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn),試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得EN⊥BM,并求EN與平面BMN所成角的大小
(2012廣東),在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn) E在線段PC上,PC⊥平面BDE。
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;
(2012年福建)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn)。(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由。(Ⅲ)若二面角A-B1EA1的大小為30°,求AB的長(zhǎng)。
(2012大綱全國(guó)卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.(Ⅰ)證明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小。
(2012安徽)平面圖形ABB1AC11C如圖4所示,其中BB1C1C是矩形,BC?2,BB1?
4,AB?AC?,A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊,使?ABC
與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題。
(Ⅰ)證明:AA1?BC;(Ⅱ)求AA1的長(zhǎng);(Ⅲ)求二面角A?BC?A1的余弦值。
第四篇:線面垂直教案
2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案
線面垂直、面面垂直
教學(xué)目標(biāo):掌握線面垂直、面面垂直的證明方法,并能熟練解決相應(yīng)問(wèn)題.(一)主要知識(shí)及主要方法:
【思考與分析】要證明線面垂直,我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,這道題可以通過(guò)證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD,BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直,可利用三垂線定理的三步曲證明.基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面.
1.線面垂直的證明:?1?判定定理;?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于
這個(gè)平面;?3?一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面;?4?兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.?5?如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直,那么它們的交線與第三個(gè)平面垂直.P A?6?向量法:
???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0
PQ??????? ???????????????
???PQ?AC?PQ?AC?0
CQ
2.面面垂直的證明:?2?如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,?1?計(jì)算二面角的平面角為90? ;
那么這兩個(gè)平面垂直;
題型講解證明線線垂直
三垂線定理與平面的位置無(wú)關(guān),即對(duì)水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理.下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過(guò)程.
例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直,求證:P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心.
【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心,我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影,因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行:①定線面:即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC,②找三線:即垂線PO,斜線PA,射影AO,③證垂直:即AO⊥BC.同理可證其它兩條.
證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O,所以PO⊥平面ABC,連結(jié)AO且延長(zhǎng)交BC于D,則AO是PA在平面ABC上的射影.
∵ AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,∴ PA⊥平面PBC,又BC平面PBC,∴ AP⊥BC.根據(jù)三垂線定理的逆定理知,AD⊥BC,所以AD是△ABC中BC邊上的高.連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于F,同理可證CF⊥AB;所以CF是△ABC中AB邊上的高,AD∩CF=O,所以O(shè)是△ABC的垂心.【反思】 解這道題時(shí),首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理,然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理,所以要想快速解題,我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí).(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:對(duì)角線A1C⊥平面C1BD.
證明:∵ A1A⊥平面ABCD,A1C是斜線,連AC,AC⊥BD,由三垂線定理知BD⊥A1C.∵ A1B1⊥平面BCC1B1,A1C是斜線,連B1C,B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影,又∵ BC1⊥B1C,由三垂線定理知BC1⊥A1C.又BD∩BC1=B,∴ A1C⊥平面DBC1.
【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個(gè)步驟,而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1,求證:A1B⊥B1C
證明:取A1B1的中點(diǎn)D1,連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1,∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1,則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影,∵A1B⊥AC1,∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD、B1D,則B1D∥AD1,且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B,∴A1B⊥B1C點(diǎn)評(píng):證明異面直線垂直的常用方法有:證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面;利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直
例3 已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E,求證:AE⊥平面PBC
證明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC 而PC∩AC=C,∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi),∴BC⊥AE∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評(píng):證明直線與平面垂直的常用方法有:利用線面垂直的定義;利用線面垂直的判定定理;利用“若直線a∥直線b,直線a⊥平面α,則直線b⊥平面α”
練習(xí):
1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A,C在圓上,連PB、PC過(guò)A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,試判斷圖中還有幾組線面垂直。
PA???
BC????
?PAAB為直徑?AC?BC
??
????AF?面PAC
??
??AF?PC
??
?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?
?AE?PB???PB?AEF
cos?BAC?
AB2?AC2?BC
22?AB?AC ?
a2?b2?a2?c2?b2?c2
2?AB?AC
?
a
a2?b2?a2?c2
?0
?BAC為銳角,同理?ABC為銳角?。
P在底面射影為?ABC垂心。
BC?面ABC??
PA?BC?
? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?
??Q為?ABC垂心
同理?AC?BQ?
?
?CQ?AB?
??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC
同理A、B5.如圖,?B?AAA?//BB?確定平面?
????A?B??
??AB?????AB//AB??
?
??AB//?????AB?AA??
?
??AB?面AA?CAA??A?B?
??
??
AB?AC
??
?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角
證明面面垂直
例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1,CD的中點(diǎn)(1)求證:AD⊥D1F;(2)求AE與D1F所成的角;(3)證明平面AED⊥平面A1FD
1分析:涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問(wèn)題,建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解,不僅容易找到解題方向,而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單,此時(shí)“垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問(wèn)題,當(dāng)然也可用其它的證證明:建立空間直角坐標(biāo)系如圖,并設(shè)AB=2,則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)
D1(0,2,2),E(2,0,1),F(1,2,0)
?????????
(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)
?????????
? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F
??????????????????(2)AE=(2,0,1)D1F=(1,0,-2),|AE|?,|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ,則 cosθ1?
2?1?0?0?1?(?2)
5?0
所以,直線AE與D1F所成的角為90°(3)由(1)知D1F⊥AD,由(2)知D1F⊥AE,又AD∩AE=A,?D1F⊥平面AED,∵D1F?平面A1FD1M
?平面AED⊥平面A1FDB
例5已知AB是圓O的直徑,PA垂直于?O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任一
點(diǎn),求證:平面PAC?平面PBC.
分析:根據(jù)“面面垂直”的判定定理,要證明兩平面互相垂直,只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另解:∵AB是圓O的直徑,∴AC?BC,又∵PA垂直于?O所在的平面,∴PA?BC,∴BC?平面PAC,又BC在平面PBC中,所以,平面PAC?平面PBC. 點(diǎn)評(píng):由于平面PAC與平面PBC相交于PC,所以如果平面PAC?平面PBC,則在平面PBC中,垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):
1垂直問(wèn)題來(lái)處理或在兩直線上分別取它們的方向向量,然后證它們的數(shù)量積為0
2面垂直的判定定理,證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,當(dāng)然再證這直線(這平面)與已知直線(或平面)重合,有時(shí)侯將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問(wèn)題,也許會(huì)給你帶來(lái)意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線
用向量法證明垂直,就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB
CD 答案:B①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則此直線與平面平行②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面③直線m⊥平面α,直線n⊥m,則n∥α④a、b是異面直線,則存在唯一的平面α,使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析:①錯(cuò)誤與平面相交如下圖,平面α∥β,A∈α,C∈α,D∈β,B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),過(guò)C作CG∥AB交平面β于G,連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn),則EH∥BG,HF∥GD∴EH∥平面β,HF∥平面β
∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α,EF∥β
③錯(cuò)誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段,E為AB的中點(diǎn),過(guò)E作a′∥a,b′∥b,則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面,并且它是唯一確定的答案:D
3在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,那么,在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF
解析:注意折疊過(guò)程中,始終有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,即SG⊥GE,SG⊥GF,所以SG⊥平面EFGA答案:A
4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A、B的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析:由三垂線定理知AC⊥PB,故選答案:C 5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm,且它們?cè)讦恋耐瑐?cè),則△ABC的重心到平面α的距離為解析:如下圖,設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′,△ABC的重心為G,連結(jié)CG交
AB于中點(diǎn)E,又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′,則E′∈A′B,G′∈C′E,EE′=A′
A+B′B)=,CC′=4,CG∶GE=2∶1,在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案:3 cm
6ABCD—A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí),有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況)答案:A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則(1)A點(diǎn)到CD1的距離為_(kāi)_______;(2)A點(diǎn)到BD1的距離為_(kāi)_______;
(3)A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_(kāi)____________;(4)A點(diǎn)到面A1BD的距離為_(kāi)____________;(5)AA1與面BB1D1D的距離為_(kāi)_________6622(2)(3)(4)(5)232
328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1,設(shè)直角邊AB∥α,則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案:(1)
解析:根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理,知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案:直角 4ABCD—A1B1C1D1中,M為CC1的中點(diǎn),AC交BD于點(diǎn)O,求證:A1O⊥平面MBD證明:連結(jié)MO ∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A∩AC=A,∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1,∴A1O⊥DB
(1)解:當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時(shí),BD⊥平面PAC(2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形,∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD,由三垂線定理得,PM⊥DM,故當(dāng)a=4時(shí),BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM(3)解:設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M,∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM因此,M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn),則AD≥2AB,即a≥4點(diǎn)評(píng):本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此,立體幾何解題中,要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上,立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中,tan∠AA1O=
22,tan∠MOC=,22
∴∠AA1O=∠MOC,則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O,∴A1O⊥平面9S—ABC中,N是S在底面ABC上的射影,且N在△ABC的AB邊的高CD上,點(diǎn)M∈SC,截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC,求證:SC⊥截面證明:∵CD是SC在底面ABC上的射影,AB⊥CD,∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC,∴DM⊥SCAB∩DM=D,∴SC⊥截面MABABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM的最小值解:∵P是定點(diǎn),要使PM的值最小,只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB,由于PC⊥平面ABC,∴只需使CM⊥AB即可
∵∠BAC=60°,AB=8,∴AC=AB·cos60°=4
∴CM=AC·sin60°=4·
=2
B
∴PM=PC2?CM2=?
12P—ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論(2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PM⊥(3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PM⊥DM,求a的取值范圍分析:本題第(1)問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BD⊥PA,問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí),BD⊥AC,從而知ABCD為正方形-4-
第五篇:線面垂直教案
課題:直線與平面垂直
授課教師:伍良云
【教學(xué)目標(biāo)】
知識(shí)與技能
1、掌握直線與平面垂直的定義及判定定理.2、使學(xué)生掌握判定直線與平面垂直的方法.過(guò)程與方法
培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力,使他們?cè)谥庇^感知,操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論.情感、態(tài)度與價(jià)值觀
在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過(guò)程中獲取新知.教學(xué)重點(diǎn)
直線與平面垂直的定義及判定定理.教學(xué)難點(diǎn)
直線與平面垂直的定義及判定定理
教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合。
教學(xué)手段:PPT、實(shí)物。【教學(xué)過(guò)程】
一、實(shí)例引入,理解概念
1.通過(guò)復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系,讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系,其中最特殊、最常見(jiàn)的一種就是線面的垂直關(guān)系,從而引出課題. 2.讓學(xué)生從與生活有關(guān)的直線與平面垂直現(xiàn)象的實(shí)例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義,并給出學(xué)生非常熟悉的旗桿,引導(dǎo)他們觀察旗桿與地面位置關(guān)系,驗(yàn)證直線與平面垂直的定義,引出直線與平面垂直的定義.即:如果直線l與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面?互相垂直.記作:l⊥?.直線l叫做平面?的垂線,平面?叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。
二.剖析概念,運(yùn)用定義:
例1. 求證:如果兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.
學(xué)生動(dòng)筆練習(xí),投影,學(xué)生分析:欲證b??,需證直線b與面?內(nèi)任意一條直線垂直;通過(guò)直線a轉(zhuǎn)化。
通過(guò)例1,讓學(xué)生知道直線與平面垂直的定義既可以用來(lái)證明直線與平面垂直,又可以用來(lái)證明直線與直線垂直。
三:通過(guò)試驗(yàn),探究直線與平面垂直的判定定理
準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片,三個(gè)頂點(diǎn)分別記作A,B,C.如圖,過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A折 疊紙片,得到折痕AD,將折疊后的紙片打開(kāi)豎起放置在桌面上.(使BD、DC邊與桌面接觸)
問(wèn)題1:折痕AD與桌面一定垂直嗎?
問(wèn)題2:如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直? 問(wèn)題3:為什么這樣折折痕與桌面是垂直的?
問(wèn)題4:如果改變紙片打開(kāi)的角度,折痕能與桌面保持垂直嗎?
問(wèn)題5:我們就可以固定平面ABD,另一個(gè)平面繞AD旋轉(zhuǎn),由此,你能總結(jié)出什么樣的結(jié)論?
讓學(xué)生在操作過(guò)程中,通過(guò)不斷的追問(wèn),最終確認(rèn)并理解判定定理的條件. 最后,引導(dǎo)學(xué)生從文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三個(gè)方面歸納直線和平面垂直的判定定理.
AABD圖1CB圖2DC
文字語(yǔ)言:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.
符號(hào)語(yǔ)言:l?a,l?b,a??,b??,a?b?A?l??.
圖形語(yǔ)言:
四.運(yùn)用定理,加深理解:
例2:在正方體ABCD?A'B'C'D'中,證明:棱BB'和底面ABCD垂直.
五、課堂練習(xí)
1.已知平面?與?外一直線l,下列命題中:(1)若l垂直?內(nèi)兩直線,則l⊥?(2)若l垂直?內(nèi)所有直線,則l⊥?(3)若l垂直?內(nèi)兩相交直線,則l⊥?(4)若l垂直?內(nèi)無(wú)數(shù)條直線,則l⊥?(5)若l垂直?內(nèi)任一條直線,則l⊥? 其中正確的個(gè)數(shù)為
l ? a b D'A'B'C'DAB
C
六、歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí)
1.學(xué)習(xí)小結(jié):從知識(shí)和方法兩個(gè)方面進(jìn)行.
知識(shí)方面:線面垂直的定義、線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理.
方法方面:轉(zhuǎn)化思想
七.布置作業(yè):
(1)閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí);(2)學(xué)海導(dǎo)航