第一篇：線面垂直教學設計

教案

課題：直線與平面垂直的判定

（一）【教學目標】

知識與技能目標：通過本節課的學習，使學生理解直線與平面垂直的定義和判定定理，并能對它們進行簡單的應用；

過程與方法目標：通過對定義的總結和對判定定理的探究，不斷提高學生的抽象概括和邏輯思維能力；

情感態度與價值觀目標：通過學習，使學生在認識到數學源于生活的同時，體會到數學中的嚴謹細致之美，簡潔樸實之美，和諧自然之美，從而使學生更加熱愛數學，熱愛生活．

【教學重點及難點】

教學重點：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應用．

教學難點：對直線與平面垂直的定義的理解和對判定定理的探究．

【教學方法】

教法：啟發誘導式

學法：合作交流、動手試驗

【教具準備】

計算機、多媒體課件、三角形卡紙

【教學過程】

一、直線與平面垂直定義的構建

1、聯系生活——提出問題在復習了直線與平面的三種位置關系后，給出幾幅現實生活中常見的圖片，讓學生思考其中旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、大橋的橋柱與水面之間的位置關系屬于這三種情況中的那一種，它們還給我們留下了什么印象？從而提出問題：什么是直線與平面垂直？

設計意圖：使學生意識到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出本節課的課題．另外這樣設計也吸引了學生的注意力，激發了學生的好奇心，使其主動參與到本節課的學習中來．

2、創設情境——分析感知播放動畫，引導學生觀察旗桿和它在地面上影子的位置關系，使其發現：旗桿所在直線l與地面所在平面?內經過點B的直線都是垂直的．進而提出問題：那么直線l與平面?內不經過點B的直線垂直嗎？

設計意圖：在具體的情境中，讓學生去體會和感知直線與平面垂直的定義．

3、總結定義——形成概念由學生總結出直線與平面垂直的定義，即如果直線l與平面

?內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直．引導學生用符號語言將

它表示出來．然后提出問題：如果將定義中的“任意一條直線”改成“無數條直線”，結論還成立嗎？

設計意圖：讓學生通過思考和操作(用三角板和筆在桌面上比試)，加深對定義的認識．

二、直線與平面垂直判定定理的構建

1、類比猜想——提出問題根據線面平行的判定定理進行類比，通過不斷的猜想和分析，最終提出問題：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直嗎？

設計意圖：不少老師都在本環節中進行了一些有益的嘗試，但考慮到學生的認知水平，我仍然決定采用類比猜想的方法，從學生已有的知識出發，進行分析．

2、動手試驗——分析探究演示試驗過程：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）．

A

B

D

C

C

B

問題一：同學們看，此時的折痕AD與桌面垂直嗎？ 又問：為什么說此時的折痕AD與桌面不垂直？

設計意圖：讓學生從另一個角度來理解直線與平面垂直的定義——只要直線l與平面

?內有一條直線不垂直，那么直線l就與平面?不垂直．

問題二：如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面?垂直呢？﹙學生分組試驗﹚ 設計意圖：通過分組討論增強數學學習氛圍，讓學生在交流中互相學習，共同進步． 問題三：通過試驗，你能得到什么結論？在回答此問題時大部分學生都會直接給出結論：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．此時注意引導學生觀察，直線AD還經過BD、CD的交點．請他們思考在增加了這個條件后，試驗的結論更準確的說應該是什么？

A

B

D C

又問：如果直線l與平面?內的兩條相交直線m、n都垂直，但不經過它們的交點，那么直線l還與平面?垂直嗎？

設計意圖：提高學生抽象概括的能力，同時也培養他們嚴謹細致的作風．

3、提煉定理——形成概念給出線面垂直的判定定理，請學生用符號語言把這個定理表示出來，并由此向學生指明，判定定理的實質就是通過線線垂直來證明線面垂直，它體現了降維這種重要的數學思想．

判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號語言： l?m，l?n，m??，n??，m?n?A ?l??．

三、初步應用——深化認識

1、例題剖析：

例1已知：a//b，a??．求證：b??． 分析過程：

a

b

?a?ma//b?ba??????b?na?n??

②

③

①

證明：在平面?內作兩條相交直線m，n． 因為直線a??，根據直線與平面垂直的定義知a?m,a?n． 又因為b∥a 所以b?m，b?n．

又因為m??，n??，m，n是兩條相交直線，所以b??．

（①②③表示分析的順序）

設計意圖：不僅讓學生學會使用判定定理，而且要讓他們掌握分析此類問題的方法和步驟．

本題也可以使用直線與平面垂直的定義來證明，這可以讓學生在課下完成． 另外，例1向我們透露了一個非常重要的信息，這里可以請學生用文字語言將例1表示出來——如果兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，那么另外一條直線也與此平面垂直．

２、隨堂練習

練習1如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC． 求證：VB⊥AC．

證明：取AC中點為K，連接VK、BK，∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點，∴ VK⊥AC．

同理 BK⊥AC．

V

A

K

C

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC⊥平面VKB．

∵ VB?平面VKB，∴ VB ⊥ AC．

設計意圖：用展臺展示部分學生的答案，督促學生規范化做題． 變式引申如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點．若E、F分別是AB、BC 的中點，試判斷直線EF與平面VKB的位置關系．

解：直線EF與平面VKB互相垂直．

∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點，∴ VK⊥AC． 同理 BK⊥AC．

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC ⊥平面VKB．

又 E、F分別是AB、BC的中點，∴ EF∥AC∴ EF⊥平面VKB．

B

E

F

A C

設計意圖：在定義和判定定理之外，例１又給出了第三種證明直線與平面垂直的方法，構造這道變式引申題的目的就是讓學生在用中將其內化．

練習2如圖，PA垂直圓O所在平面，AC是圓O的直徑，B是圓周上一點，問三棱錐P-ABC中有幾個直角三角形?

解：在三棱錐P-ABC中有四個直角三角形，分別是： △ABC、△PAB、△PAC和△PBC．

設計意圖：通過練習1和練習2培養學生熟練地進行線線垂直和線面垂直之間的轉化，從而使他們能夠對定義和判定定理進行靈活應用．

四、總結回顧——提升認識

B

C

五、布置作業——鞏固認識 ? 必做題：習題2．3 B組2，4．

? 選做題：如圖SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F． 求證:AF⊥SC．

? 探究題：課本66頁的探究題．

S

E

B

C

第二篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實際上是平面內的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點,求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第三篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點.（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來源:學科網]

///?

AB?AC??AA/,點M，N分別為A/B和B/C/的中點。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點（點D 不同于點C），且AD?DE，F為B1C1的中點． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長。

（2012大綱全國卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

第四篇：線面垂直教案

2012第一輪復習數學教案

線面垂直、面面垂直

教學目標：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應問題.（一）主要知識及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉化為證明線線垂直，這道題可以通過證明A1C與平面C1BD內兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎平面分別取下底面及右側面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于

這個平面；?3?一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面；?4?兩個平面垂直,在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.?5?如果兩個相交平面都與第三個平面垂直,那么它們的交線與第三個平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,?1?計算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無關，即對水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過實例來體驗“三步曲”的具體應用過程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應用三垂線定理.分三步進行：①定線面：即面內直線BC與基礎平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因為P在平面ABC內的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結AO且延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結CO并延長交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時，首先應用的是線面垂直的判定定理，然后運用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應用所學知識.(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應用三垂線定理解題一定要熟記這三個步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點D1，連結C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點D，連結CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習：

1.以AB為直徑的圓在平面?內PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數量積為0”的問題，當然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結:

1垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內的兩條相交直線，當然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉化為證明一個平面經過另一個平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關向量的數量積為1“直線l垂直于平面α內的無數條直線”是“l⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結BG、GD設H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在α的同側，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結CG交

AB于中點E，又設E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當底面四邊形ABCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到CD1的距離為________；（2）A點到BD1的距離為________；

（3）A點到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內的射影是△A1B1C1，設直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據兩平行平面的性質及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當a=2時，BD⊥平面PAC（2）證明：當a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM（3）解：設M是BC邊上符合題設的點M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關知識因此，立體幾何解題中，要注意有關的平面幾何知識的運用事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值解：∵P是定點，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結論（2）當a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結為a為何值時，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-

第五篇：線面垂直教案

課題：直線與平面垂直

授課教師：伍良云

【教學目標】

知識與技能

1、掌握直線與平面垂直的定義及判定定理.2、使學生掌握判定直線與平面垂直的方法.過程與方法

培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結論.情感、態度與價值觀

在體驗數學美的過程中激發學生學習興趣，從而培養學生勤于思考、勤于動手的良好品質.培養學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.教學重點

直線與平面垂直的定義及判定定理.教學難點

直線與平面垂直的定義及判定定理

教學方法：啟發式與試驗探究式相結合。

教學手段：PPT、實物。【教學過程】

一、實例引入，理解概念

1．通過復習空間直線與平面的位置關系，讓學生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關系，其中最特殊、最常見的一種就是線面的垂直關系，從而引出課題． 2．讓學生從與生活有關的直線與平面垂直現象的實例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義，并給出學生非常熟悉的旗桿，引導他們觀察旗桿與地面位置關系，驗證直線與平面垂直的定義，引出直線與平面垂直的定義．即：如果直線l與平面?內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直．記作：l⊥?.直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

二．剖析概念，運用定義：

例1． 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．

學生動筆練習，投影，學生分析：欲證b??，需證直線b與面?內任意一條直線垂直；通過直線a轉化。

通過例1，讓學生知道直線與平面垂直的定義既可以用來證明直線與平面垂直，又可以用來證明直線與直線垂直。

三：通過試驗，探究直線與平面垂直的判定定理

準備一個三角形紙片，三個頂點分別記作A，B，C．如圖，過△ABC的頂點A折 疊紙片，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上．（使BD、DC邊與桌面接觸）

問題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

問題2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直？ 問題3：為什么這樣折折痕與桌面是垂直的？

問題4：如果改變紙片打開的角度，折痕能與桌面保持垂直嗎？

問題5：我們就可以固定平面ABD，另一個平面繞AD旋轉，由此，你能總結出什么樣的結論？

讓學生在操作過程中，通過不斷的追問，最終確認并理解判定定理的條件． 最后，引導學生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納直線和平面垂直的判定定理．

AABD圖1CB圖2DC

文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號語言：l?a，l?b，a??，b??，a?b?A?l??．

圖形語言：

四．運用定理，加深理解：

例2:在正方體ABCD?A'B'C'D'中，證明：棱BB'和底面ABCD垂直．

五、課堂練習

1．已知平面?與?外一直線l，下列命題中:(1)若l垂直?內兩直線，則l⊥?(2)若l垂直?內所有直線，則l⊥?(3)若l垂直?內兩相交直線，則l⊥?(4)若l垂直?內無數條直線，則l⊥?(5)若l垂直?內任一條直線，則l⊥? 其中正確的個數為

l ? a b D'A'B'C'DAB

C

六、歸納小結，提高認識

1．學習小結：從知識和方法兩個方面進行．

知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理及線面垂直的性質定理．

方法方面：轉化思想

七．布置作業：

（1）閱讀課本相關內容進行復習；（2）學海導航