第一篇：線面垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

教案

課題：直線與平面垂直的判定

（一）【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義和判定定理，并能對(duì)它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；

過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)定義的總結(jié)和對(duì)判定定理的探究，不斷提高學(xué)生的抽象概括和邏輯思維能力；

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活的同時(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致之美，簡(jiǎn)潔樸實(shí)之美，和諧自然之美，從而使學(xué)生更加熱愛(ài)數(shù)學(xué)，熱愛(ài)生活．

【教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)直線與平面垂直的定義的理解和對(duì)判定定理的探究．

【教學(xué)方法】

教法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式

學(xué)法：合作交流、動(dòng)手試驗(yàn)

【教具準(zhǔn)備】

計(jì)算機(jī)、多媒體課件、三角形卡紙

【教學(xué)過(guò)程】

一、直線與平面垂直定義的構(gòu)建

1、聯(lián)系生活——提出問(wèn)題在復(fù)習(xí)了直線與平面的三種位置關(guān)系后，給出幾幅現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的圖片，讓學(xué)生思考其中旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、大橋的橋柱與水面之間的位置關(guān)系屬于這三種情況中的那一種，它們還給我們留下了什么印象？從而提出問(wèn)題：什么是直線與平面垂直？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生意識(shí)到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出本節(jié)課的課題．另外這樣設(shè)計(jì)也吸引了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，使其主動(dòng)參與到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái)．

2、創(chuàng)設(shè)情境——分析感知播放動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察旗桿和它在地面上影子的位置關(guān)系，使其發(fā)現(xiàn)：旗桿所在直線l與地面所在平面?內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線都是垂直的．進(jìn)而提出問(wèn)題：那么直線l與平面?內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在具體的情境中，讓學(xué)生去體會(huì)和感知直線與平面垂直的定義．

3、總結(jié)定義——形成概念由學(xué)生總結(jié)出直線與平面垂直的定義，即如果直線l與平面

?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面?互相垂直．引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言將

它表示出來(lái)．然后提出問(wèn)題：如果將定義中的“任意一條直線”改成“無(wú)數(shù)條直線”，結(jié)論還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)思考和操作(用三角板和筆在桌面上比試)，加深對(duì)定義的認(rèn)識(shí)．

二、直線與平面垂直判定定理的構(gòu)建

1、類比猜想——提出問(wèn)題根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行類比，通過(guò)不斷的猜想和分析，最終提出問(wèn)題：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：不少老師都在本環(huán)節(jié)中進(jìn)行了一些有益的嘗試，但考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，我仍然決定采用類比猜想的方法，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，進(jìn)行分析．

2、動(dòng)手試驗(yàn)——分析探究演示試驗(yàn)過(guò)程：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）．

A

B

D

C

C

B

問(wèn)題一：同學(xué)們看，此時(shí)的折痕AD與桌面垂直嗎？ 又問(wèn)：為什么說(shuō)此時(shí)的折痕AD與桌面不垂直？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從另一個(gè)角度來(lái)理解直線與平面垂直的定義——只要直線l與平面

?內(nèi)有一條直線不垂直，那么直線l就與平面?不垂直．

問(wèn)題二：如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面?垂直呢？﹙學(xué)生分組試驗(yàn)﹚ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分組討論增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在交流中互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步． 問(wèn)題三：通過(guò)試驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？在回答此問(wèn)題時(shí)大部分學(xué)生都會(huì)直接給出結(jié)論：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．此時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察，直線AD還經(jīng)過(guò)BD、CD的交點(diǎn)．請(qǐng)他們思考在增加了這個(gè)條件后，試驗(yàn)的結(jié)論更準(zhǔn)確的說(shuō)應(yīng)該是什么？

A

B

D C

又問(wèn)：如果直線l與平面?內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直，但不經(jīng)過(guò)它們的交點(diǎn)，那么直線l還與平面?垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生抽象概括的能力，同時(shí)也培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng)．

3、提煉定理——形成概念給出線面垂直的判定定理，請(qǐng)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言把這個(gè)定理表示出來(lái)，并由此向?qū)W生指明，判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)線線垂直來(lái)證明線面垂直，它體現(xiàn)了降維這種重要的數(shù)學(xué)思想．

判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號(hào)語(yǔ)言： l?m，l?n，m??，n??，m?n?A ?l??．

三、初步應(yīng)用——深化認(rèn)識(shí)

1、例題剖析：

例1已知：a//b，a??．求證：b??． 分析過(guò)程：

a

b

?a?ma//b?ba??????b?na?n??

②

③

①

證明：在平面?內(nèi)作兩條相交直線m，n． 因?yàn)橹本€a??，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a?m,a?n． 又因?yàn)閎∥a 所以b?m，b?n．

又因?yàn)閙??，n??，m，n是兩條相交直線，所以b??．

（①②③表示分析的順序）

設(shè)計(jì)意圖：不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用判定定理，而且要讓他們掌握分析此類問(wèn)題的方法和步驟．

本題也可以使用直線與平面垂直的定義來(lái)證明，這可以讓學(xué)生在課下完成． 另外，例1向我們透露了一個(gè)非常重要的信息，這里可以請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將例1表示出來(lái)——如果兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面垂直，那么另外一條直線也與此平面垂直．

２、隨堂練習(xí)

練習(xí)1如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC． 求證：VB⊥AC．

證明：取AC中點(diǎn)為K，連接VK、BK，∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點(diǎn)，∴ VK⊥AC．

同理 BK⊥AC．

V

A

K

C

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC⊥平面VKB．

∵ VB?平面VKB，∴ VB ⊥ AC．

設(shè)計(jì)意圖：用展臺(tái)展示部分學(xué)生的答案，督促學(xué)生規(guī)范化做題． 變式引申如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn)．若E、F分別是AB、BC 的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面VKB的位置關(guān)系．

解：直線EF與平面VKB互相垂直．

∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點(diǎn)，∴ VK⊥AC． 同理 BK⊥AC．

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC ⊥平面VKB．

又 E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴ EF∥AC∴ EF⊥平面VKB．

B

E

F

A C

設(shè)計(jì)意圖：在定義和判定定理之外，例１又給出了第三種證明直線與平面垂直的方法，構(gòu)造這道變式引申題的目的就是讓學(xué)生在用中將其內(nèi)化．

練習(xí)2如圖，PA垂直圓O所在平面，AC是圓O的直徑，B是圓周上一點(diǎn)，問(wèn)三棱錐P-ABC中有幾個(gè)直角三角形?

解：在三棱錐P-ABC中有四個(gè)直角三角形，分別是： △ABC、△PAB、△PAC和△PBC．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)1和練習(xí)2培養(yǎng)學(xué)生熟練地進(jìn)行線線垂直和線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，從而使他們能夠?qū)Χx和判定定理進(jìn)行靈活應(yīng)用．

四、總結(jié)回顧——提升認(rèn)識(shí)

B

C

五、布置作業(yè)——鞏固認(rèn)識(shí) ? 必做題：習(xí)題2．3 B組2，4．

? 選做題：如圖SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過(guò)A作SB的垂線，垂足為E，過(guò)E作SC的垂線，垂足為F． 求證:AF⊥SC．

? 探究題：課本66頁(yè)的探究題．

S

E

B

C

第二篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點(diǎn),求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號(hào)

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第三篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數(shù)).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數(shù)）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點(diǎn).（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數(shù))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

///?

AB?AC??AA/,點(diǎn)M，N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)。

（2012大綱全國(guó)卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長(zhǎng)；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

第四篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標(biāo)：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問(wèn)題.（一）主要知識(shí)及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過(guò)證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于

這個(gè)平面；?3?一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面；?4?兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.?5?如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直,那么它們的交線與第三個(gè)平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,?1?計(jì)算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個(gè)平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無(wú)關(guān)，即對(duì)水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過(guò)程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長(zhǎng)交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時(shí)，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí).(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對(duì)角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個(gè)步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點(diǎn)評(píng)：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評(píng)：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過(guò)A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單，此時(shí)“垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問(wèn)題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點(diǎn)，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點(diǎn)評(píng)：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問(wèn)題來(lái)處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時(shí)侯將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問(wèn)題，也許會(huì)給你帶來(lái)意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯(cuò)誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn)，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯(cuò)誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過(guò)程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（1）A點(diǎn)到CD1的距離為_(kāi)_______；（2）A點(diǎn)到BD1的距離為_(kāi)_______；

（3）A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_(kāi)____________；（4）A點(diǎn)到面A1BD的距離為_(kāi)____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為_(kāi)_________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時(shí)，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時(shí)，取BC邊的中點(diǎn)M，AD邊的中點(diǎn)N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評(píng)：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-

第五篇：線面垂直教案

課題：直線與平面垂直

授課教師：伍良云

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能

1、掌握直線與平面垂直的定義及判定定理.2、使學(xué)生掌握判定直線與平面垂直的方法.過(guò)程與方法

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過(guò)程中獲取新知.教學(xué)重點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理.教學(xué)難點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合。

教學(xué)手段：PPT、實(shí)物。【教學(xué)過(guò)程】

一、實(shí)例引入，理解概念

1．通過(guò)復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系，讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系，其中最特殊、最常見(jiàn)的一種就是線面的垂直關(guān)系，從而引出課題． 2．讓學(xué)生從與生活有關(guān)的直線與平面垂直現(xiàn)象的實(shí)例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義，并給出學(xué)生非常熟悉的旗桿，引導(dǎo)他們觀察旗桿與地面位置關(guān)系，驗(yàn)證直線與平面垂直的定義，引出直線與平面垂直的定義．即：如果直線l與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面?互相垂直．記作：l⊥?.直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。

二．剖析概念，運(yùn)用定義：

例1． 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．

學(xué)生動(dòng)筆練習(xí)，投影，學(xué)生分析：欲證b??，需證直線b與面?內(nèi)任意一條直線垂直；通過(guò)直線a轉(zhuǎn)化。

通過(guò)例1，讓學(xué)生知道直線與平面垂直的定義既可以用來(lái)證明直線與平面垂直，又可以用來(lái)證明直線與直線垂直。

三：通過(guò)試驗(yàn)，探究直線與平面垂直的判定定理

準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片，三個(gè)頂點(diǎn)分別記作A，B，C．如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A折 疊紙片，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開(kāi)豎起放置在桌面上．（使BD、DC邊與桌面接觸）

問(wèn)題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

問(wèn)題2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直？ 問(wèn)題3：為什么這樣折折痕與桌面是垂直的？

問(wèn)題4：如果改變紙片打開(kāi)的角度，折痕能與桌面保持垂直嗎？

問(wèn)題5：我們就可以固定平面ABD，另一個(gè)平面繞AD旋轉(zhuǎn)，由此，你能總結(jié)出什么樣的結(jié)論？

讓學(xué)生在操作過(guò)程中，通過(guò)不斷的追問(wèn)，最終確認(rèn)并理解判定定理的條件． 最后，引導(dǎo)學(xué)生從文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三個(gè)方面歸納直線和平面垂直的判定定理．

AABD圖1CB圖2DC

文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號(hào)語(yǔ)言：l?a，l?b，a??，b??，a?b?A?l??．

圖形語(yǔ)言：

四．運(yùn)用定理，加深理解：

例2:在正方體ABCD?A'B'C'D'中，證明：棱BB'和底面ABCD垂直．

五、課堂練習(xí)

1．已知平面?與?外一直線l，下列命題中:(1)若l垂直?內(nèi)兩直線，則l⊥?(2)若l垂直?內(nèi)所有直線，則l⊥?(3)若l垂直?內(nèi)兩相交直線，則l⊥?(4)若l垂直?內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則l⊥?(5)若l垂直?內(nèi)任一條直線，則l⊥? 其中正確的個(gè)數(shù)為

l ? a b D'A'B'C'DAB

C

六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

1．學(xué)習(xí)小結(jié)：從知識(shí)和方法兩個(gè)方面進(jìn)行．

知識(shí)方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理．

方法方面：轉(zhuǎn)化思想

七．布置作業(yè)：

（1）閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；（2）學(xué)海導(dǎo)航