第一篇：線面垂直的判定定理的證明過程

線面垂直的判定定理的證明過程

證明：已知直線L1 L22相交于O點且都與直線L垂直，L3是L1 L2所在平面內任意1條不與L1 L2重合或平行的直線（重合或平行直接可得它與L1平行）

不妨假設L3過O點（可以通過平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分別過E、F作ED、FB交L2于D、B（令OD=OB）則⊿OED ≌⊿ OFB（SAS）

延長DE、BF分別交L1于A、C 則⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO與角CFO的補角相等所以它們相等）。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因為L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB（M為L 上的任意點）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF又因為 角MOE與 角MOF互補，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

第二篇：線面垂直的判定定理 教案

線面垂直的判斷定理

數學科學學院 劉桂欽 2007220113

5一、教學目標

（一）知識與技能目標

理解直線與平面垂直的定義，掌握直線與平面垂直的判定定理及其應用。

（二）過程與方法目標

通過直觀感知、操作，歸納概括出直線與平面垂直的判定定理。

（三）情感與態度目標

通過該內容的學習，培養學生的空間想象能力及合情推理能力，并從中體會“轉化”的數學思想。

二、教學重、難點

教學重點：直線與平面垂直的判定定理的理解掌握。

教學難點：直線與平面垂直的判定定理的推導歸納。

三、教學過程

（一）構建定義

1、直觀感知

通過觀察圖片，如地面上樹立的旗桿、水面上大橋的橋柱等，使學生直觀感知直線和平面垂直的位置關系，并在頭腦中產生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數學抽象做準備。然后再引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內直立的墻角線和地面位置關系，桌子腿與地面的位置關系，直立書的書脊與桌面的位置關系等，由此引出課題。

2、觀察思考

首先讓學生思考如何定義一條直線與一個平面垂直，然后帶著問題觀察在陽光下直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC所在直線的位置關系，這可以通過多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，并引導學生得出旗桿所在直線與地面內的直線都垂直這一結論。

3、抽象概括

問題：通過上述觀察分析，你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直？ 這可以讓學生討論后口頭回答，老師再根據學生回答構建出線面垂直的定義與畫法。（板書）

定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一l 的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面P 的平行四邊形的一邊垂直，如右圖所示。

4、加深理解

在給出了線面垂直的定義和畫法之后，可以繼續問學生：

（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否就與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線是否就垂直于這個平面內的任一直線？

這樣通過問題的辨析，加深學生對概念的理解，以掌握概念的本質屬性。由（1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質就是直線與平面內所有直線都垂直。由（2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質，線線垂直與線面垂直可以相互轉化。

（二）探索發現

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

然后讓學生觀察跨欄、簡易木架等實物的圖片，并引導學生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認

如圖，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕

AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥

CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？ C 通過這個實驗，可以引導學生獨立發現直線與平面D垂直的條件，并培養學生的動手操作能力和幾何直

觀能力。

3、合情推理

在上面的試驗后，可以引導學生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內所有直線垂直”逐步歸結到“與平面內兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理，這充分體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想。

定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：m??,n??,m?n?P???l?? l?m,l?n?

（三）例題分析

例

1、求證：與三角形的兩條邊都垂直的直線必與第三條邊垂直。

分析：這道題主要是讓學生感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。

例

2、如右圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。分析：這道題主要是讓學生進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉化思想在證題中的作用，發展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。首先引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可

用判定定理證，再提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內α內找到兩條與直線b垂直的相交直線上。

（四）課堂小結

（1）通過本節課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現的什么數學思想？

（3）關于直線與平面垂直你還有什么問題？

P

（五）鞏固練習

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M內，P為M外一點，PA=PC．

求證：AC⊥平面PBD．

（六）布置作業

1．課本：課后練習1、2題．

2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BDC1．

（七）板書設計

第三篇：《2.3.1線面垂直判定定理》教學設計

《直線與平面垂直的判定》教學設計

一、學習內容分析

本節課內容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修2（人教A版）》第二章2.3.1節。本節課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。

本節課中的線面垂直定義是探究線面垂直判定定理的基礎；線面垂直的判定定理充分體現了線線垂直與線面垂直之間的轉化，它既是后面學習面面垂直的基礎，又是連接線線垂直和面面垂直的紐帶。學好這部分內容，對于學生建立空間觀念，實現從認識平面圖形到認識立體圖形的飛躍，是非常重要的。

二、學習者分析

本節課的學生是高一的學生，在學習本節課之前，學生已經學習了掌握了線線垂直的證明，并且學習了空間內直線與平面位置關系以及直線與平面平行的知識，因此學生對于線面垂直的判定定理的學習有良好的認知基礎。但是學生對于理解線面垂直的定義有一定的困難，受線面平行的影響，很容易由一直線垂直于一平面內一直線得出線面垂直，由于平面內看不到直線，要讓學生去體會“與平面內所有直線垂直”就有一定困難；同時，線面垂直判定定理的發現具有一定的隱蔽性，學生不易想到。

三、教學重點、難點

重點：直線與平面垂直的判定定理。

難點：探究得出出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

四、教學目標

（1）知識與技能目標： 1.描述直線與平面垂直的定義；

2.運用直線與平面垂直的判定定理證明簡單的的空間位置關系問題.（2）過程與方法目標：

1.通過對實例、圖片的觀察，概括定義，正確理解定義，增強觀察能力；

2.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.（3）情感態度與價值觀目標：

1.通過對空間中直線與平面垂直定義的歸納，感受生活中的數學美； 2.通過經歷直線與平面垂直判定定理的探究，體驗探索的樂趣

五、教學過程

1．復習回顧，引入新課

問題：同學們，我們已經學習了空間中直線與平面的位置關系，有哪些位置關系？ 【師生活動】學生集體可能回答：直線在平面內，直線與平面平行，直線與平面相交

【追問】有些位置關系是比較特殊的，一種是線面平行，還有一種呢？

【師生活動】教師引導學生回答線面垂直這種位置關系是一種特殊的線面位置關系并揭示課題 2．逐步探索，得出定義

問題：在日常生活中你見到的線面垂直的現象有哪些？

【師生活動】學生列舉生活中的線面垂直現象，然后教師也展示生活中的一些線面垂直現象，例如籃球架和地面垂直，旗桿和地面垂直。對于旗桿與地面垂直的現象進行抽象化，讓學生對下列問題進行思考。思考：

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動, 而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關系如何?依據是什么？

【設計意圖】：第（1）與（2）兩問是為了讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直，第（3）問是為了進一步讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，那么學生就可以得到直線AB與地面內任意一條直線垂直。在這里，主要引導學生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念．

【師生活動】師生一起給出線面垂直的定義：如果直線l與平面內?的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直，記作：l??.直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點p叫做垂足。3.創設情境，猜想定理

【師生活動】教師引導學生認識到由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直是非常困難的，需要尋找簡捷、可行的方法來判定直線與平面垂直。【實驗】準備一個三角形紙片，三個頂點分別記作得到折痕，．如圖，過△、的頂點

折疊紙片，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上．（使邊與桌面接觸）

【師生活動】教師引導學生分別根據這兩個示意圖進行實驗，并思考：

與桌面一定垂直嗎？ 1.折痕2.為什么圖2中折痕不一定與桌面垂直？ 對于思考2教師引導學生根據定義進行回答。

【設計意圖】：從另一個角度理解定義：如果想說明一條直線與平面不垂直，只需要在平面內找到一條直線與它不垂直就夠了,實際上就是舉反例.【師生活動】教師引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內。問：直線AD現在還垂直于桌面所在平面嗎？

【設計意圖】：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內，從而更凸現出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內兩條相交直線。

問題：如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線認為保證直線與平面垂直的條件是什么？

問題：如果將圖3中的兩條相交直線平面嗎？、的位置改變一下，仍保證，你認為直線還垂直于，把桌面抽象為平面

(如圖3)，那么你【設計意圖】：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的。

【師生活動】教師引導學生根據試驗給出直線與平面垂直的判定方法。引導學生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面表述直線和平面垂直的判定定理．

文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直． 強調：兩條相交直線，必須滿足，不可忽略.圖形語言：

m??,n??,m?n?B?符號語言：??l?a

l?m,l?n?【教師歸納】“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.4.運用定理，證明問題

練習：1.如圖５，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線．并說明這些直線有怎樣的位置關系？

2.如圖６，已知，則

嗎？請說明理由．

【師生活動】引導學生分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明，并用文字語言概括：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．

【教師歸納】：這個問題給出了判斷直線和平面垂直的又一個方法，間接判定直線與平面垂直．這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系．

練習：3如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點．

證：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC 的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關系；（請學生判定后，追問：EF與VB的位置關系如何？）5.回顧總結，作業布置

【師生活動】教師引導學生從知識和方法兩個方面進行總結．

知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理．

方法方面：轉化思想．

第四篇：線面垂直的判定定理說課

線面垂直的判定定理

大家好！今天我說課的內容是《線面垂直的判定定理》。下面，我將從教材分析、教法學法分析、教學流程等方面闡述我對本節課的理解。

一 教材分析

《線面垂直的判定定理》是人教版高中數學《必修二》第二章第三節的內容。本節課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。直線與平面垂直的是直線與平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位置關系的拓展。它既是后面學習面面垂直的基礎，又是連接線線垂直和面面垂直的紐帶！因此線面垂直是空間中垂直位置關系間轉化的重心，它是點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一。在教材中起到了承上啟下的作用。基于以上考慮，我將本節課的教學目標定為：

(1)知識與技能：1.經歷對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并

能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題；

(2)過程與方法：1.通過類比空間的平行關系提高提出問題、分析問題的能力．

2.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力，同時

感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂

直”、“無限轉化為有限”等化歸的數學思想．

3.嘗試用數學語言(文字、符號、圖形語言)對定義和定理進行準確表

述和合理轉換．

(3)情感態度價值觀：經歷線面垂直的定義和定理的探索過程，提高嚴謹與求實的學習作風，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度．

另外，我將本節課的重點定為：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。難點定為：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、教學與學法

教法：本節課以“感知—探究—歸納”為主線，通過實例，引導學生利用手中的工具自助探究，總結規律，發現概括線面垂直的定義和判定定理。在教學中以引導啟發為主，層層設疑，激發學生的學習興趣，在學生自助地動手實驗、觀察比較的基礎上，師生以對話形式共同研究探討，步步深入，完成本節課的教學任務，從而實現“教師引導，學生探究、師生互動、探求新 知”的教學模式。

學法：教師的“教”就是為了學生的學，課堂教學要體現以學生的發展為本的精神。本節課通過創設具體的問題情境，教會學 生主動“觀察猜想、實驗確認、總結規律”的學習方法。讓學生積極地參與到 教學的全過程中，使學生在教師的指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習。在學習中體會研究數學規律的一般過程，體會研究數學問題的樂趣。

三、教學流程：

（1）復習引入、導入課題；

（2）引導探究、獲得性質；

（3）應用遷移、交流反思；

（4）拓展升華、發散思維；

（5）小結歸納、布置作業

第五篇：線面垂直的判定

漯河高中2013—2014高一數學必修二導學案

2.3.3直線與平面垂直的性質

2.3.4平面與平面垂直的性質

編制人：魏艷麗方玉輝審核人：高一數學組時間：2013.12.0

3【課前預習】

一、預習導學

1、直線與平面垂直的性質定理：_________________________________________.2、垂直于同一條直線的兩個平面____________.3、平面與平面垂直的性質定理：_________________________________________.4、如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在___________.二、預習檢測教材P71、P7

3【課內探究】

［例1］如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.［例2］如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F.（1）求證：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.我主動，我參與，我體驗，我成功第1頁（共4頁）

［例3］

10、在三棱錐P—ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90o.（1）證明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P—ABC的體積.［例4］如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

（2）過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM=MA1嗎？請敘述你的判斷理由

.我主動，我參與，我體驗，我成功第2頁（共4頁）

【鞏固訓練】

1．已知兩個平面互相垂直，那么下列說法中正確的個數是

()

①一個平面內的直線必垂直于另一個平面內的無數條直線；

②一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線； ③過一個平面內一點垂直于另一個平面的直線，垂足必落在交線上； ④過一個平面內的任意一點作交線的垂線，則此直線必垂直于另一個平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是A．相交

B．平行

C．異面

D．相交或平行

3．若m、n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個數為

m∥n?m⊥α???

???m∥n； ①?n⊥α；②??m⊥α?n⊥α?

m⊥α?m∥α??????n⊥α.③?m⊥n;④??n∥α?m⊥n?A．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一點P，且PA＝PB＝PC，則P在α內的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．內心

5.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為45和30.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．設α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()

A．a與b可能垂直，但不可能平行 B．a與b不可能垂直，但可能平行 C．a與b可能垂直，也可能平行 D．a與b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關系為________．

8．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內，使a∥b成立的條件是________．

①a和b垂直于正方體的同一個面； ②a和b在正方體兩個相對的面內，且共面； ③a和b平行于同一條棱；

④a和b在正方體的兩個面內，且與正方體的同一條棱垂直． 9.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主動，我參與，我體驗，我成功第3

頁（共4頁）

求證：BC⊥AB.10.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．

11．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．

※12．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中點，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

我主動，我參與，我體驗，我成功第4頁（共4頁）