第一篇：證明線面垂直的三步法

證明線面垂直的萬能法則

王霖普

方法1

一條線垂直于平面內的兩條直線

（構建等腰三角形高，勾股定理，三角形組相似產生互余角，或三角函數值證明相似，求出三角形中兩角的三角函數值，若不是特殊值可能用到誘導公式，致使令一角為90度

方法2

三垂線定理

（1）與上面的法則配合使用

（2）射影定理繼而構建三垂線定理

（3）由線面角，面面角誘導線面垂直

看邊角關系就是看是否構成直角或等腰的情況

第二篇：證明線面垂直的專項練習

線面垂直

1：（本小題滿分13分）(09廣東 文）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐P?EFGH，下半部分是長方體ABCD?EFGH。圖

5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖。

（1）請畫出該安全標識墩的側（左）視圖；

（3）證明：直線BD?平面PEG.w.w.w..s.5.u.c.o.m（2）求該安全標識墩的體積；(64000)

2、(09廣東 理數）如圖６，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為２，點Ｅ是正方形BCC1B1的中心，點Ｆ、Ｇ分別是棱C1D1,AA1的中點．設點E1,G1分別是點Ｅ、Ｇ在平面

DCC1D1內的正投影．

（１）求以Ｅ為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC1D1內的正投影為底面邊

界的棱錐的體積；

（２）證明：直線FG1?平面FEE1；

（３）求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值（）

33、.(11廣東 理）如圖5，在椎體P?ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且?DAB?

600,PA?PD?PB?2,E,F分別是BC,PC的中點，（1）證明：AD?平面DEF

（2）求二面角P?AD?B的余弦值。（?

21）7

14.(11湖南 文 12分）在圓錐PO

中，已知PO?O的直徑AB?2,點C在AB上,且?CAB=30,D為AC的中點．（Ⅰ）證明：AC?平面POD;

（Ⅱ）求直線 OC平面PAC所成角的正弦值.（）

35.(11北京 理）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,?BAD?60?（1）求證：BD?平面PAC

(2)PA=AB,求PB與AC所成的角的余弦值。

（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA 的長（PA?

6）

6．（本小題滿分12分）（11褔建 文）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB。（I）求證：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，∠CDA=45°，（12）求四棱錐P-ABCD的體積（7.（本小題滿分12分）(11天津 文）

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

5)6

線面垂直

8、如圖，四棱錐P的底面是邊長為1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?

（Ⅰ）求證:PA?平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱錐P?ABCD的體積.（Ⅲ）求直線PB與底面ABCD所成角的大小.9、已知三棱錐P—ABC中，PC?底面ABC，AB=BC，D、F分別

為AC、PC的中點，DE?AP于E。（1）求證：AP?平面BDE；

（2）求證：平面BDE?平面BDF；

（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分的體積比。

10、四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，_ A

_C

_D

PA=PC=2a，（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求證，直線PB與AC垂直；（3）求二面角A－PB－D的大小.11．如圖，已知兩個正四棱錐P?ABCD與Q?ABCD的高分別為1和2，AB?4．

P

（1）證明PQ?平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點P到平面QAD的距離．12.（2012年廣東理 13分）

Q

如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；(tan??3)

13.（2012

江西理12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。

（1）證明在側棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長；

（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。

14.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA?底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一點，2PE=EC。

（I）證明PC?平面BED；

（II）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小

15.（本小題滿分13分）(11廣東 文）

圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分別為

'

CD,C'D',DE,D'E'的中點，O1,O1',O2,O2分別為

CD,C'D',DE,D'E'的中點.（1）證明：O1,A,O2,B四點共面；

''

（2）設G為A A′中點，延長AO1到H′，使得O1H?AO1.證明：BO2?平面HBG

'

'

'

'

'

''

'

'

'

18（本小題滿分4分）(13廣東 理）

如圖5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900BC=6,D,E分別是AC，AB上的點，CD=BE=

錯

誤！未找到引用源。，O為BC的中點.將△ADE沿DE折起，得到如圖6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

1）

證明：A’O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.（

第三篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點.求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點P為

DD1的中點。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長方體，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱

A

AA1?2，E是側棱BB1的中點.（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第四篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實際上是平面內的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點,求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點.（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來源:學科網]

///?

AB?AC??AA/,點M，N分別為A/B和B/C/的中點。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點（點D 不同于點C），且AD?DE，F為B1C1的中點． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長。

（2012大綱全國卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。