第一篇：線面垂直的證明中的找線技巧

?

線面垂直的證明中的找線技巧

通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直

M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：1如圖1，在正方體ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD．

1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

32322

2設正方體棱長為a，則A1O?a，MO?a．

2492222

AM?a．∵AO在Rt△AC中，∴AOM?OM?MO2?AM111111

4∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

證明：連結MO，?

． ∵OM

評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數據，通過計算來證明．

利用面面垂直尋求線面垂直

2如圖2，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．

證明：在平面PAC內作AD⊥PC交PC于D．

因為平面PAC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質，得AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外還可證BC分別與相交直線AD，AC垂直，從而得到BC⊥平面PAC）．

評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直?線面垂直?線線垂直．

判定性質

判定性質

????線面垂直???????面面垂直．這三者一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直?????

之間的關系非常密切，可以互相轉化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質定理．同學們應當學會靈活應用這些定理證明

問題．下面舉例說明．

3如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過

A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．求證：AE?SB，AG?SD．

證明：∵SA

?平面ABCD，∴SA?BC．∵AB?BC，∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴BC?AEAE?平面SBC．∴AE?SB．同理可證AG?SD．

．∵SC?平面AEFG，∴SC?AE

．∴

評注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現證明所需要的轉化． 4 如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC

∵

?BC，∴CF?AB．

AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．

∵CD

?平面CDF，∴CD?AB．

又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉化為證明線面垂直．如此反復，直到證得結論．

5如圖３，PBC． ∵PA

AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面

證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC∴PA?

?BC．

?平面ABC，BC?平面ABC，BC．∴BC?平面APC．

∵BC?平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現有的直線中尋找平面的垂線，已知條件出發尋找線線垂直的關系．

6.空間四邊形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求證：AC⊥BD

即證線面垂直，而證線面垂直則需從

D證明：過A作AO⊥平面BCD于O

?AB?CD，?CD?BO 同理BC⊥DO∴O為△ABC的垂心7.證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

于是BD?CO?BD?AC

A

C

證明：連結AC

?BD?AC

AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

8.如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

C

EN//

.證：取PD中點E，則

DC

2C

?EN

?AE/

//AM

/MN

9如圖在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過E作FG∥BC，且將ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求證:A'E⊥平面A'BC

分析：

A'C

弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數量關系和位置關系。

D

解： G∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG EAB∴A'E⊥BC

F設A'E=a，則ED=2a

由余弦定理得：

222

A'D=A'E+ED-2?A'E?EDcos60°

=3a

222

∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求證: ①AN?BC;②SC?平面ANM 分析:

①要證AN?BC, 轉證, BC?平面SAB。

②要證SC?平面ANM, 轉證, SC垂直于平面ANM內的兩條相交直線, 即證SC?AM, SC?AN。要證SC?AN, 轉證AN?平面SBC, 就可以了。證明:

①∵SA?平面ABC∴SA?BC又∵BC?AB, 且AB?SA = A∴BC?平面SAB∵AN?平面SAB∴AN?BC②∵AN?BC, AN?SB, 且SB?BC = B∴AN?平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?SC又∵AM?SC, 且AM?AN = A∴SC?平面ANM

11已知如圖，P?平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求證：平面ABC⊥平面PBC 分析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點D，證明AD垂直平PBC即可 證明：取BC中點D連結AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB為正三角形

同理ΔPAC為正三角形設PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=

CD?AE?

又?CD?AD??

??CD?平面PAD??CD//AB??MN?AB

PA?平面AC??

AE?平面PAD?AE//MN??

2a∴PD=

a在ΔABC中AD=

AB2?BD2

=

?2??2?2

a∵AD+PD=?a???a?????22

=a=AP∴ΔAPD為直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC 12.如圖，直角BAC在?證：如圖所示，AA???B?A?C為射影

AA?//BB????

??AB

?面AA?C??AA??A?B???

?A?B??13 以AB?????A?B??

???AB???AB//AB??

??AB?AA??AB//???

直。

解：

PABCAB面AEF

第二篇：線面平行的證明中的找線技巧

線面平行的證明中的找線技巧

1.已知直線a∥平面?，直線a∥平面?，平面??平面?=b，求證a//b．

分析： 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達到a∥b的目的．可借用已知條件中的a∥α及a∥β來實現．

證明：經過a作兩個平面?和?，與平面?和?分別相交于直線c和d，∵a∥平面?，a∥平面?，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d?平面?，c?平面?，∴c∥平面?，又c?平面?，平面?∩平面?=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點，求證：EF//A平面BCD． 證明：連結BD，在?ABD中，∵E,F分別是AB,AD的中點，∴EF//BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF//平面BCD．

3、已知：空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點.求證:EF∥平面BCD。

B

證明：連結BD，在△ABD中，∵E、F分別是AB、AD的中點 ∴ EF∥BD

B正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.求證：PQ∥面BCE.又 EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD（直線和平面平行判定定理）

A

F

D

C

證法一：如圖9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,連接MN,因為面ABCD∩面ABEF=AB,則AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

?PEAE,QNDC

?

BQBD

.∴

PMAB

?

QNDC

.∴即四邊形PMNQ為平行四邊形.∴PQ∥MN.又∵MN?面BCE，PQ?面BCE，∴PQ∥面BCE.證法二：如圖9-3-4(2)，連結AQ并延長交BC或BC的延長線于點K，連結EK.∵AD∥BC,∴

DQQB

?

AQQK

.又∵正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB，且AP=DQ，∴

AQQK

?APPE

.則PQ∥EK.∴EK?面BCE，PQ?面BCE.∴PQ∥面BCE.點撥：證明直線和平面平行的方法有：①利用定義采用反證法；②判定定理；③利用面面平行，證線面平行.其中主要方法是②、③兩法，在使用判定定理時關鍵是確定出面內的與面外直線平行的直線.5 已知：如圖9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求證：a∥b.證法一：過直線a作兩個平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d?面α2,c?面α2.∴c∥面α2.又∵c?面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.證法二：經過a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，則k∥l∥a.∵三個平面α

1、α

2、π兩兩相交，交線分別為k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，則a∥b.證法三：在b上任取一點A，過A和直線a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直線l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵過一點只能作一條直線與另一直線平行，∴l1與l2重合.又∵l1?面α1，l2?面α2，∴l1與l2重合于b.∴a∥b.點撥:證明直線與直線平行,有下列方法:(1)若a,b?面α，則a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,則a∥c；(4)若a∥α；a?β,α∩β=b,則a∥b.6.P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點.求證：PC∥面BDQ..證明：如答圖9-3-2，連結AC交BD于點O.∵ABCD是平行四邊形，∴AO=OC.連結OQ，則OQ在平面BDQ內，且OQ是△APC的中位線，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，設M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中點.求證：(1)E、F、B、D

四點共面；（2）面AMN∥面EFBD..證明:(1)分別連結B1D1、ED、FB，如答圖9-3-3，則由正方體性質得 B1D1∥BD.∵E、F分別是D1C1和B1C1的中點，∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D對共面.（2）連結A1C1交MN于P點，交EF于點Q，連結AC交BD于點O，分別連結PA、QO.∵M、N為A1B1、A1D1的中點，∴MN∥EF，EF?面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四邊形PAOQ為平行四邊形.∴PA∥OQ.而OQ?平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.?//

?S?72S。

證明：

GD?GH?G?AC//BD?

???EAC??FBD

HE?HA?H?AE//BF?

?

ACBD

?GAGB

?9

21AE∥BF

?

BFAE

?HBHA

?1628

AC∥BD

S?AECS?BFD

?

212

AC?AE?sinA

?

BF?BD?sinB

373??74

4∴ SBFD?96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如圖所示）M、N在對角線AC、FB上且AM= FN。求證：MN //平面BCE

證：過N作NP//AB交BE于P，過M作MQ//AB交BC于Q

CM

QM

BN

NPEF

AC

?

ABBF

??NP?MQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN

?

??MN//面BCE

PQ?面BCE?

PE

?CF

FA求證：EF//面PCD

CF

HFFB

MN//PQ

10.P為ABCD所在平面外一點，E?PB，F?AC，且EB

.證：連BF交CD于H，連PHAB//CD∴ ?ABF∽?CFH∴ FA

PE

?CFFA

?HFFB

?

在?BPH中EB

EF//PH

?

?

EF?面PCD?PH?PCD??∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求證：a、b、c證明：∵α∩β＝a，β∩∴a、b?β

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交時，不妨設a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α

∴P∈β，P∈α，故P為α和β的公共點 又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都經過點P，即a、b、c三線共點.(2)當a∥b時

∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c兩兩平行.12如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求證：EF∥平面BB1C1C.證法一：連AF延長交BC于M，連結B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

?DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

?AEB1E

∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.證法二：作FH∥AD交AB于H，連結HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

?BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

?BHBA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF?平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內.∴△END的面積為

nm

(m+p)2平方單位.13如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.分析一：本題是把證“線面平行”轉化為證“線線平行”，即在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，除上面的證法外，還可以連CN并延長交直線BA于點P，連B1P，就是所找直線，然后再設法證明MN∥B1P.分析二：要證“線面平行”也可轉化為證“面面平行”，因此，本題也可設法過MN作一個平面，使此平面與平面ABB1A1平行，從而證得MN∥平面ABB1A1.（本題證明請讀者自己完成，本題中對轉化思想的考查值得我們認真思考.）

第三篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點.求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點P為

DD1的中點。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長方體，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱

A

AA1?2，E是側棱BB1的中點.（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第四篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實際上是平面內的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點,求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定 經典試題

線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，2、如圖，棱柱

PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC?A1B1C1的側面 BCC1B1是菱形，B1C?A1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：平面AB1C?平面A1BC

1；

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.3、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD? 底面ABCD，證明：PA?BD4、如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 ?（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性質

1、S是△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60，AB?2,AD?4將 ?

?CBD沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD

求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16題圖)