第一篇：高考復習專題---立體幾何垂直關系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點.(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第二篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學習內容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為AC的中點．證明：平面POD?

平面PAC;

第三篇：高中數學立體幾何：垂直關系

高中數學立體幾何：直線與平面垂直、平面與平面垂直

高考要求

1理解直線和平面垂直的概念 掌握直線和平面垂直的判定定理；

2掌握三垂線定理及其逆定理

3掌握直線和平面垂直的判定定理和性質定理

4通過例題的講解給學生總結歸納證明線面垂直的常見方法：（1）證直線與平面內的兩條相交直線都垂直；（2）證與該線平行的直線與已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性質定理；（4）同一法；⑸向量法

知識點歸納

1線面垂直定義：

如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足

直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a⊥α

2直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面

3直線和平面垂直的性質定理:

如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行

4三垂線定理

在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

說明：（1）定理的實質是判定平面內的一條直線和平面的一條斜線的垂直關系；PO??,O????（2）推理模式：PA???A??a?PA

a??,a?OA??5．三垂線定理的逆定理：

在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直PO??,O????推理模式： PA???A??a?AO．

a??,a?AP??

注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內的直線a 其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用

6兩個平面垂直的定義：

兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面

7．兩平面垂直的判定定理：

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

推理模式：a??，a??????．

8．兩平面垂直的性質定理：

若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面

推理模式：???,????l,a??,a?l ?a??9向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法：

①證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行；

②證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直

題型講解

例1 已知直線a⊥平面?，直線b⊥平面?，O、A為垂足求證：a∥b

?

設b=（x，y，z），∵b⊥?，證明：以O為原點直線a為z軸，建立空間直角坐標系，i,j,k為坐標向量，直線a、b的向量分別為a,b

???

??

????

∴b?i?0，b?j?0，??∴b=（0，0，z）=zk??

∴b?k，∴a∥b

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0?,2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

點評：因證明兩直線平行，也就是證明其方向向量共線，所以，利用兩向量共線的充要條件證明兩直線平行是新教材基本的數學方法，應做到熟練運用

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC內，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

點評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點D1，連結C1D

1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1

連結AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1

取AB的中點D，連結CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C

點評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點

（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數量積為0”的問題，當然也可用其它的證法證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

??????????????????

（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|?設AE與D1F的夾角為θ，則cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M?平面AED⊥平面A1FD

1B

例5如圖，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可

解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC．

點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC，這是尋找兩個平面的垂線的常用方法 小結:

1有關異面直線垂直的問題，除了用定義法外，還常常借助三垂線定理，轉化為同一平面內的直線的垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數量積為0

2證明直線和平面垂直我們可以用定義法，即證明直線與平面內的任一條直線垂直，但常用的還是線面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內的兩條相交直線，當然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲

3面面垂直的問題一般轉化為線面垂直的問題來解決，如證面面垂直可轉化為證明一個平面經過另一個平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關向量的數量積為0 學生練習

1“直線l垂直于平面α內的無數條直線”是“l⊥α”的 A充分條件B必要條件 C充要條件D既不充分又不必要條件 答案：B

2給出下列命題，其中正確的兩個命題是

①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥

α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 A①②B②③C③④D②④

解析：①錯誤如果這兩點在該平面的異側，則直線與平面相交②正確如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結BG、GD 設H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內

④正確如右上圖，設AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 ASG⊥平面EFGBSD⊥平面EFG CFG⊥平面SEF DGD⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG選A 答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關系不正確的是 APA⊥BCBBC⊥平面PACCAC⊥PB DPC⊥BC

解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選C

答案：C

5△ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在α的同側，則△ABC的重心到平面α的距離為__________

解析：如下圖，設A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為

G，連結CG交AB于中點E，又設E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=

5（A′A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm 2

26在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，當底面四邊形ABCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到CD1的距離為________；（2）A點到BD1的距離為________；

（3）A點到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________

6232（2）（3）（4）（5）23232

8Rt△ABC在平面α內的射影是△A1B1C1，設直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形 解析：根據兩平行平面的性質及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角

4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD 證明：連結MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1 又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

2在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM ∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

9在三棱錐S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面MAB

證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC連結MD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SC∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB

10如下圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值

解：∵P是定點，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=

4B

3∴CM=AC·sin60°=4·=2 2

答案：（1）

∴PM=PC2?CM2=?12=27

11在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD

（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結論

（2）當a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM

（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍

分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結為a為何值時，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形

（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC 故當a=2時，BD⊥平面PAC

（2）證明：當a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結AM、DM、BMN

∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM

（3）解：設M是BC邊上符合題設的點M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM

因此，M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4為所求

點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關知識因此，立體幾何解題中，要注意有關的平面幾何知識的運用事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的

第四篇：《垂直關系證明》專題

《垂直關系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關系》專題練習

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．BA

C

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓練

高中立體幾何證明垂直的專題訓練

深圳龍崗區東升學校—— 羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中點F，易證AE//BF，易證

BF⊥平面PDC

2．如圖，四棱錐P－ABCDABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中點G，易證EG//AF，又易證AF于是EG⊥平面PCD,則平面PCE⊥平面PCD

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐P?AB中，A?B平面,PAB//CD,PD?AD,E是PB的中點，F是CD上的點，且

DF?

AB,PH為?PAD中AD邊上的高。

2（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?1，AD?FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；（3）證明：EF?平面PAB.分析：要證EF?平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點G，易證EF//GD, 易證DG⊥平面PAB

4.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。證明: BE?平面PDC;

分析：取PD的中點F，易證AF//BE, 易證AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質

5、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，PC?AC．AP?BP?AB，（Ⅰ）求證：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；

P

A

C

B6、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

因為?PAB是等邊三角形，?PAC??PBC?90?, 所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。如圖，取AB中點D，連結PD,CD, 則PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為

1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?求證:PA?平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?

CD?1．

2現以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面

ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；

（2）求證：BC?平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（1）證明：連結OC?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.B

E

?BO?DO,BC?CD,?

CO?BD.在?AOC中，由已知可得AO?1,CO? 而AC?2,?AO2?CO2?AC2,??AOC?90o,即AO?OC.?BD?OC?O, ?AO?平面BCD,BC?CD，側面SAB為等邊三角形，10、如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?BC

AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;

（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形

BCDE為

矩形，DE=CB=2，連結SE，則SE?AB,SE?又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角。

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E，得AB?平面SDE，所以AB?SD。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以SD?平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中點E，連A1E,OE,易證△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：連OM,易證△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.求證：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中點E，連AE,B1E,易證△DCB≌△EBB1，從而BD⊥EB113、.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直徑所對的圓周角是直角

AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互

相垂直的各對平面.P

A15、如圖，在圓錐PO中，已知POO的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為

AC的中點．證明：平面POD?平面PAC;

16、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．

求證：平面ABM⊥平面PCD； ．

證：依題設，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B