第一篇：教案 立體幾何

【教學過程】 *揭示課題 9 立體幾何 *復習導入

一、點線面的位置關系 點與直線的位置關系：A?a　A?a 2.點與面的位置關系： A??　A?? 3.直線與直線的位置關系：平行 相交 異面 4直線與平面的位置關系： 在平面內 相交平行

二、線面平行的判定定理

1.線線平行：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

2.線面平行：如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線就和這個平面平行

3.面面平行：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行

三、線面平行的性質定理

1.線線平行：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等

2.線面平行：如果一條直線和一個平面平行，并且經過這條直線的平面和這個面相交，那么這條直線和交線平行

3.面面平行：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

四、線面垂直的判定定理

1.線面垂直：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直

2.面面垂直：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

五、線面垂直性質定理

1.線面垂直：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行

2.面面垂直：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面

六、柱、錐、球 1.棱柱、圓柱

S側=底面周長?高V體=底面面積?高2.棱錐、圓錐

1底面周長?母線2 1V體=底面積?高3S側?3.球

S表=4?r243 V體=?r3*練習講解 復習題A組 *歸納小結

本章立體幾何部分概念偏多，需要著重分辨判定定理與性質定理的適用范圍，將點線面位置關系化為最簡單的線線判斷，由此可提高位置判定的速度，能夠更加地熟練運用各大定理。

第二篇：立體幾何最全教案doc

直線、平面垂直的判定及其性質

一、目標認知 學習目標

1．了解空間直線和平面的位置關系；

2．掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；進一步熟悉反證法的實質及其一般解題步驟．

3．通過探究線面平行定義、判定和性質定理及其應用，進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象

能力．

4．通過有關定理的發現、證明及應用，提高學生的空間想象力和類比、轉化的能力，提高學生的邏輯

推理能力．

重點：

直線與平面平行的判定、性質定理的應用；

難點：

線面平行的判定定理的反證法證明，線面平行的判定和性質定理的應用．

二、知識要點梳理

知識點

一、直線和平面垂直的定義與判定

1.直線和平面垂直定義

如果直線和平面的垂線；平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面

互相垂直，記作

.直線叫平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點叫垂足.要點詮釋：

(1)定義中“平面

注意區別.(2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.(3)若，則.內的任意一條直線”就是指“平面

內的所有直線”，這與“無數條直線”不同，2.直線和平面垂直的判定定理

判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號語言：

特征：線線垂直

要點詮釋： 線面垂直

(1)判定定理的條件中：“平面內的兩條相交直線”是關鍵性詞語，不可忽視.(2)要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線

垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則無關緊要.知識點

二、斜線、射影、直線與平面所成的角

一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點間平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.要點詮釋：

(1)直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線.(2)直線與平面垂直射影是點.(3)斜線任一點在平面內的射影一定在斜線的射影上.(4)一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是

0°的角.知識點三、二面角

1.二面角定義

平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角

.有時為了方便，也可在內(棱以外的半平面部分)分別取點角或.，將這個二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個二面角記作二面

2.二面角的平面角

在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，則這兩條構成的角叫做二面角的平面角.二面角叫做直二面角.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的

知識點

四、平面與平面垂直的定義與判定

1.平面與平面垂直定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作

.畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖：

2.平面與平面垂直的判定定理

判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.符號語言：

圖形語言：

特征：線面垂直

要點詮釋： 面面垂直

平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”.因此，處理面面垂直問題處理線面垂直問題，進一步轉化為處理線線垂直問題.以后證明平面與平面垂直，只要在一個平面內找到兩條相交直線和另一個平面垂直即可.知識點

五、直線與平面垂直的性質

1.基本性質

一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的所有直線.符號語言：

圖形語言：

2.性質定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：

圖形語言：

知識點

六、平面與平面垂直的性質

性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：

圖形語言：

三、規律方法指導

垂直關系的知識記憶口訣：

線面垂直的關鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清，平面之內兩直線，兩線交于一個點，面外還有一條線，垂直兩線是條件，面面垂直要證好，原有圖中去尋找，若是這樣還不好，輔助線面是個寶，先作交線的垂線，面面轉為線和面，再證一步線和線，面面垂直即可見，借助輔助線和面，加的時候不能亂，以某性質為基礎，不能主觀憑臆斷，判斷線和面垂直，線垂面中兩交線，兩線垂直同一面，相互平行共伸展，兩面垂直同一線，一面平行另一面，要讓面和面垂直，面過另面一垂線，面面垂直成直角，線面垂直記心間.經典例題透析

類型

一、直線和平面垂直的定義

1．下列命題中正確的個數是()內的無數條直線垂直，則內的一條直線垂直，則，則，則

； ；

①如果直線與平面

②如果直線與平面

③如果直線不垂直于

④如果直線不垂直于

內沒有與垂直的直線； 內也可以有無數條直線與垂直.A.0

B.1C.2D.3

答案：B

解析：當當與當與內的無數條直線平行時，與

不一定垂直，故①不對； 垂直，故②不對；

內的一條直線垂直時，不能保證與不垂直時，可能與

內的無數條直線垂直，故③不對；④正確.故選B.總結升華：注意直線和平面垂直定義中的關鍵詞語.舉一反三：

【變式1】下列說法中錯誤的是()

①如果一條直線和平面內的一條直線垂直，該直線與這個平面必相交；

②如果一條直線和平面的一條平行線垂直，該直線必在這個平面內；

③如果一條直線和平面的一條垂線垂直，該直線必定在這個平面內；

④如果一條直線和一個平面垂直，該直線垂直于平面內的任何直線.A.①②

B.②③④

C.①②④

D.①②③

答案：D

解析：如圖所示，直線

∴ ①錯；

由于

，，但，但，∴ ②錯；，∴ ③錯.，面ABCD，顯然，由直線與平面垂直的定義知④正確，故選D.總結升華：本題可以借助長方體來驗證結論的正誤.類型

二、直線和平面垂直的判定

2．如圖所示，已知Rt△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因為SA=SC，D為AC的中點，所以SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB=BC，D是AC的中點，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線，所以BD⊥平面SAC.總結升華：挖掘題目中的隱含條件，利用線面垂直的判定定理即可得證.舉一反三：

【變式1】如圖所示，三棱錐的四個面中，最多有________個直角三角形.答案：4

解析：如圖所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，則圖中四個三角形都是直角三角形.故填4.總結升華：注意正確畫出圖形.【變式2】如圖所示，直三棱柱的兩條對角線交點為D，求證：CD⊥平面BDM.的中點為M.中，∠ACB=90°，AC=1，側棱，側面

證明：如右圖，連接

∵

又知D為其底邊

∵

又，∴、，∴、，則

為等腰三角形....的中點，∴，∴.∵ 為直角三角形，D為的中點，∴，.又

∵、，∴

.即CD⊥DM..為平面BDM內兩條相交直線，∴ CD⊥平面BDM.類型

三、直線和平面所成的角

BC=3．如圖所示，已知∠BOC在平面，求OA和平面所成的角.內，OA是平面的斜線，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，解析：∵

正三角形，∴

∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴ △AOB、△AOC為.，∴，∴ △ABC為直角三角形.同理△BOC也為直角三角形.過A作AH垂直平面于H，連接OH，∵ AO=AB=AC，∴ OH=BH=CH，H為△BOC的外心.∴ H在BC上，且H為BC的中點.∵ Rt△AOH中，∴

所成角為45°.，∴ ∠AOH=45°.即AO和平面

總結升華：

(1)確定點在平面內的射影的位置，是解題的關鍵，因為只有確定了射影的位置，才能找到直線與平面

所成的角，才能將空間的問題轉化為平面的問題來解.(2)求斜線與平面所成的角的程序：

①尋找過直線上一點與平面垂直的直線；

②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求解；

③把該角放入三角形計算.(3)直線和平面所成的角，也應考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內諸情況，也就是直

線和平面成90°角和0°角的情況，所以求線面所成角時，應想到以上兩種情況.舉一反三：

【變式1】如圖所示，在正三棱柱

中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則

與側面所成的角是________.答案：

解析：如右圖.由題取AC中點O，連接BO.則BO⊥平面

.故為與平面所成角.又在中，.∴，∴.類型四、二面角

4．如圖所示，在四面體ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，求以BC為棱，以面BCD和面BCA為面的二面角大小.解析：取BC的中點E，連接AE、DE，∵ AB=AC，∴ AE⊥BC.又∵ △ABD≌△ACD，AB=AC，∴ DB=DC，∴ DE⊥BC.∴ ∠AED為二面角的平面角.又∵ △ABC≌△BDC，∴ AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=

同理.，BE=1，∴，在△AED中，∵，∴，∴ ∠AED=90°.∴ 以面BCD和面ABC為面的二面角大小為90°.總結升華：確定二面角的平面角，常常用定義來確定.舉一反三：

【變式1】已知D、E分別是正三棱柱E、C1的平面與棱柱的下底面的側棱和上的點，且.求過D、所成的二面角的大小.解析：如圖，在平面

則F是面與面內延長DE和的公共點，的平面角.，交于點F，為這兩個平面的交線，∴ 所求二面角就是

∵

∴ E、∵

∴

又面

∴

∴

∴ 面.是二面角.，而，且分別DF和A1F的中點.，面面，.的平面角，由已知，∴.總結升華：當所求的二面角沒有給出它的棱時，找出二面角的兩個面的兩個公共點，從而找出它的棱，進而求其平面角的大小即可.類型

五、平面與平面垂直的判定

5．在四面體ABCD中，AB=AD=CB=CD=AC=，如圖所示.求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：∵ △ABD與△BCD是全等的等腰三角形，∴ 取BD的中點E，連接AE、CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，∴ ∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，∴.同理.在△AEC中，由于，，∴ AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角為90°.∴平面ABD⊥平面BCD.總結升華：利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直，判定的方法是

(1)找出兩個相交平面的平面角；

(2)證明這個平面角是直角；

(3)根據定義，這兩個平面互相垂直.舉一反三：

【變式1】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分別為CD、DA和對角線AC的中點，求證：平面BEF⊥平面BGD.證明：∵ AB=BC，CD=AD，G是AC的中點，∴ BG⊥AC，DG⊥AC，∴ AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴ EF⊥平面BGD.∵ EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.總結升華：證面面垂直的方法：

(1)證明兩平面構成的二面角的平面角為90°；

(2)證明一個平面經過另一個平面的一條垂線，將證明“面面垂直”的問題轉化為證明線面垂直的問題.【變式2】如圖所示，在Rt△AOB中，斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中點.求證：平面COD⊥平面AOB；

證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵ 二面角B-AO-C是直二面角.∴ CO⊥BO.又∵ AO∩BO=O，∴ CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.【變式3】過點P引三條長度相等但不共面的線段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求證：平面ABC⊥平面BPC.證明：如圖，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB為正三角形，則有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中點為E

直角△BPC中，由AB=AC，AE⊥BC，，直角△ABE中，，在△PEA中，∴，，平面ABC⊥平面BPC.類型

六、綜合應用

6．如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中點，求證：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

證明：(1)取EC的中點F，連接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中點N，連接MN、BN，MN

∵ BDCF，∴ MN

CF．

BD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．

(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．

總結升華：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質和判定，這里證明的關鍵是BN⊥平面ECA，應充分體會線線垂直、線面垂直與面面垂直的關系．

7．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點．

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．

思路點撥：要證明MN∥平面PAD，須證MN平行于平面PAD內某一條直線．注意到M、N分別為AB，PC的中點，可取PD的中點E，從而只須證明MN∥AE即可．證明如下．

證明：(1)取PD的中點E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN

平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要證MN⊥CD，可證MN⊥AB．

由(1)知，需證AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再證AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E為PD的中點．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

總結升華：本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多知識點的一道綜合題．(1)的關鍵是選取PD的中點E，所作的輔助線使問題處理的方向明朗化．線線垂直→線面垂直→線線垂直是轉化規律．

學習成果測評 基礎達標

1.平面

A.2.已知直線a、b和平面，下列推論錯誤的是().外的一條直線與

B.內的兩條平行直線垂直，那么().相交

D.與的位置關系不確定

C.與

A.B.C.D.3.若直線a⊥直線b，且a⊥平面

A.4.若P是平面

B.，則有().D.或

C.外一點，則下列命題正確的是().相交 垂直平行平行

A.過P只能作一條直線與平面

B.過P可作無數條直線與平面

C.過P只能作一條直線與平面

D.過P可作無數條直線與平面

5.設是直二面角，直線，直線，且a不垂直于，b不垂直于，那么().A.a與b可能垂直，但不能平行

B.a與b可能垂直，也可能平行

C.a與b不可能垂直，但可能平行

D.a與b不可能平行，也不能垂直

6.設

、為兩個不同的平面，、m為兩條不同的直線，且，則；②若，則

屆那么().，有如下兩個命題：①若

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①②都是真命題

D.①②都是假命題

7.關于直線m、n與平面

①若

③若且且與，有下列四個命題：

且且，則

；，則m∥n；②若，則

；④若，則m∥n.其中真命題的序號是().A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

8.已知直線m⊥平面

①若，則，直線；②若，給出下列四個命題，其中正確的命題是().，則m∥n；③若m∥n，則

；④若，則

.A.③④

B.①③

C.②④

D.①②

9.下面四個命題：

①兩兩相交的三條直線只可能確定一個平面；

②經過平面外一點，有且僅有一個平面垂直這個平面；

③平面內不共線的三點到平面的距離相等，則

；

④兩個平面垂直，過其中一個平面內一點作它們交線的垂線，則此垂線垂直于另一個平面其中真命題

的個數是().A.0個

B.1個

C.2個

D.3個

10.設有不同的直線a、b和不同的平面

①若，則；②若、，、，給出下列三個命題：，則

；③若，則

.其中正確的個數是()

A.0

B.1C.2

D.3

11.已知直線⊥平面

③；④，直線

平面

.，有四個命題：①

；②

；

其中正確的命題是__________.(把所有正確命題的序號都填上)

12.長方體 中，MN在平面內，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關系是_______.13.如圖所示，直角△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC.求證：BD⊥面SAC.能力提升

1.下面四個命題：

①若直線a∥平面

②若直線a⊥平面

③若平面

④若平面∥平面⊥平面，則，則，則，則內任何直線都與a平行； 內任何直線都與a垂直； 內任何直線都與內任何直線都與

平行； 垂直.其中正確的兩個命題是()

A.①與②

B.②與③

C.③與④

D.②與④

2.一個二面角的兩個面分別垂直于另一個二面角的兩個面，那么這兩個二面角().A.相等

B.互補

C.關系無法確定

D.相等或互補

3.、是兩個不同的平面，m、n是平面⊥；③n⊥；④m⊥

.、外的兩條不同直線，給出四個結論：

①m⊥n；②

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________________.4.已知直線PA與平面

5.已知ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，過點A作AE⊥SB于點E，過點E作EF⊥SC于點F，如圖所示.(1)求證：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于點G，求證：AG⊥SD.內過點A的三條直線AB、AC、AD成等角，求證：PA⊥平面

.綜合探究

1.已知：如圖所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)證明：PA∥平面EDB；

(2)證明：PB⊥平面EFD.參考答案 基礎達標

1.D 內兩條直線若相交則

；若平行則不能確定與的位置關系.2.D a與b位置關系不能確定.3.D

4.D 過P能作無數條直線與

5.C 若，如圖，在平行，這些直線均在過P與，則

.平行的平面內.內可作

∴，則，與已知矛盾.∴ a與b不可能垂直；當a、b均與平行時，a∥b，故選C.6.D

7.D

8.B

9.B 面面垂直的性質定理對于④顯然成立；在①中應考慮兩兩相交的幾種情況，對于三條直線交于一點

時，且不在同一平面時，顯然不成立；在②中，平面外一點只能引一條直線與平面垂直，但過這條

直線的平面有無數個，不是真命題；對于③，若的三點到

10.B平行于同一平面的兩直線可能平行，也可能相交或異面，故①錯.平行于同一直線的兩平面可能平

行，也可能相交，故②也錯.11.①③ ①∵

②設

③∵，，∴，∴，且m∥d時，.又

.∴ ①正確..故命題②錯.，∴

.故③正確.的距離相等，故不是真命題.與

相交，在兩側且在內一定存在不共線

④由②知④不正確.12.MN⊥AB 如下圖，由長方體的性質知，平面

內，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.AB

平面ABCD，交線為BC.因為MN在平面

平面ABCD，∴ MN⊥AB.13.證明：(1)∵ SA=SC，D為AC的中點，∴ SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，則AD=DC=BD.∴ △ADS≌△BDS.∴ SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴ SD⊥面ABC.(2)∵ AB=BC，D為AC中點，∴ BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴ SD⊥BD.∵ SD∩AC=D，∴ BD⊥平面SAC.能力提升

1.B ①是錯誤的，a與

④是錯誤的.2.C 可類比“空間中一個角的兩條邊分別垂直于另一個角的兩條邊”可知，這兩個角關系不確定.3.①③④ ②或②③④①，成立，如圖.過m上一點P作PB∥n，則PB⊥m，、的交線交于點C.內的一簇平行線平行.②③由線面垂直，面面平行的性質可判斷出是正確的.假設①③④為條件，即

PB⊥.設垂足為點B，又設，垂足為點A，過PA、PB的平面與

∵ ⊥PA，⊥PB，∴ ⊥平面PAB.∴ ⊥AC.⊥BC.∴ ∠ACB是二面角

由m⊥n，顯然PA⊥PB.∴ ∠ACB=90°.∴

由①③④.②成立.的平面角.反過來，如果②③④成立，與上面證法類似可得①成立.4.證明：如圖，在AB、AC、AD上分別取點E、F、G，使AE=AF=AG，連接PE、PF、PG、EF、FG，設EF、FG的中點分別為H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.∴ PE=PF.∵ H是EF中點，∴ PH⊥EF，AH⊥EF.∴ EF⊥平面PAH.∴ EF⊥PA.同理可證FG⊥PA.又EF∩FG=F，∴ PA⊥平面EFG，即PA⊥平面.5.證明：(1)∵ SA⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，∴ SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴ BC⊥平面SAB，AE

平面SAB.∴ BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB=B.∴ 有AE⊥平面SBC，又SC平面SDC，∴ AE⊥SC.又EF⊥SC，AE∩EF=E，∴ SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴ AF⊥SC.(2)∵ SC⊥平面AEF，AG

平面AEF，∴ SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A.∴ CD⊥平面SAD，AG

平面SAD.∴ CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴ AG⊥平面SDC.又SD平面SDC，∴ AG⊥SD.綜合探究

1.證明：(1)在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于點F.∴平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴ DF⊥平面PAC.PC平面PAC，∴ DF⊥AP.作DG⊥AB于點G.同理可證DG⊥AP.又DG、DF都在平面ABC內.∴ PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于H.∵ E是△PBC的垂心，∴ PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂線.∴ PC⊥BH.∴ PC⊥平面ABE.∴ PC⊥AB.又∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥AB.∴ AB⊥平面PAC.∴ AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.2.證明：(1)連接AC，AC交BD于點D.連接EO，如圖.∵ 底面ABCD是正方形.∴ 點O是AC的中點.在△PAC中，EO是中位線，∴ PA∥EO.而EO平面EDB且PA

平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵ PD⊥底面ABCD且DC

∴ PD⊥DC.∵ PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴ DE⊥PC.同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴ BC⊥平面PDC。而DE

∴ BC⊥ED。

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，∴ DE⊥PB.平面PDC，底面ABCD.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴ PB⊥平面EFD.

第三篇：立體幾何電子教案總綱

《解析幾何》課程電子教案總綱

一、本課程地位、性質和任務

本課程為高等院校數學系各專業的一門必修的專業基礎課程。它為學習數學系的其它課程（諸如《數學分析》、《高等代數》及《微分幾何》等打好基礎，同時，它在自然科學與工程技術中，也有廣泛的應用。

通過本課程的教學，應使學生系統地掌握空間解析幾何的基礎知識和基本理論；正確地理解和使用向量；在掌握幾何圖形性質的同時，提高運用代數方法，解決幾何問題的能力；進一步培養學生的空間想象能力；能在較高的理論水平基礎上，處理教學或工程技術中的有關問題。

二、課程教學的基本要求

能夠以向量代數為工具，用標架法建立空間直線、平面方程；掌握直線、平面的位置關系及幾何量計算；掌握特殊曲面方程的推導并能利用平面截割法刻劃曲面的幾何性質；二次曲線（曲面）的一般理論。

三、課程教學要求及主要內容

第一章 向量與坐標

教學目的和要求：向量代數及坐標法在自然科學和工程技術中有著廣泛的應用。本章是工具性的知識，是學習后面各章的基礎。本章通過向量代數與空間坐標系基本知識的教學，使學生能以向量為工具，研究并簡單地解決某些幾何問題。

教學重點和難點:

1、透徹理解向量的有關基本概念。

2、牢固掌握向量的各種運算及其對應的幾何意義與算律。

3、理解坐標系建立的依據以及向量與點坐標的意義，熟練地利用向量的坐標進行運算。

4、利用向量代數的知識解決某些初等幾何問題。

教學內容：

1、向量的概念；

2、向量的加減法；

3、數量乘向量；

4、向量的線性關系與向量的分解；

5、標架與坐標；

6、向量在軸上的射影；

7、兩向量的數量積；

8、兩向量的向量積；

9、三向量的混合積。

第二章 軌跡與方程

教學目的和要求：本章通過圖形與方程相互關系的學習，使學生能運用坐標法建立空間圖形的方程。了解空間曲面與曲線方程的一般形式，同時了解球坐標系和柱坐標系。

教學重點和難點:掌握根據圖形的性質，利用坐標法，建立空間曲面與曲線方程的一般步驟。

教學內容：

1、平面曲面的方程；

2、曲面的方程；

3、空間曲線的方程。

第三章平面與空間直線

教學目的和要求：空間中，點、直線、平面是最簡單的幾何圖形，它們也是空間解析幾何研究的重要內容。本章利用向量代數為工具，建立空間中平面與直線方程的各種形式，并討論空間中點、直線、平面之間的相互位置關系，為研究復雜的幾何圖形打下基礎。

教學重點和難點: 理解并掌握平面和三元一次方程之間的對應關系。能夠熟練地根據不同的已知條件，導出平面和直線方程的各種形式。掌握空間中，點、直線、平面之間相互位置關系的判斷以及它們之間幾何量的計算。注意與中學平面解析幾何有關知識進行比較。

教學內容：

1、平面的方程；

2、平面與點的相關位置；

3、兩平面間的相關位置；

4、空間直線的方程；

5、直線與平面的相關位置；

6、空間直線與點的相關位置；

7、空間兩直線的相關位置。

第四章 柱面、錐面、旋轉曲面和二次曲面

教學目的和要求：本章介紹的幾種常見的曲面，它們在數學、物理和工程技術中都有廣泛的應用。柱面、錐面及旋轉曲面有明顯的幾何特征，因此可用這些曲面的幾何特征，利用軌跡法建立它們的方程。然后，對于二次曲面的標準方程，利用平行截割法研究它們的幾何性質，并作圖。最后，研究二次曲面的直紋性。

教學重點和難點: 掌握柱面、錐面、旋轉曲面方程的導出方法與過程；能夠利用二次曲面標準方程的特點，研究二次曲面的特征；掌握利用平行截割法作二次曲面及空間區域的圖形，提高空間想象能力；掌握單葉雙曲面與雙曲拋物面的直紋性質。

教學內容：

1、柱面；

2、錐面；

3、旋轉曲面；

4、橢球面；

5、雙曲面；

6、拋物面；

7、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。

第五章 二次曲線的一般理論

教學目的和要求：二次曲面-線是日常生活和科學技術中常見的曲線。通過本章學習，使學生掌握二次曲線的中心、主方向、主直徑和二次曲線方程的化簡等知識。掌握二次曲線的分類，培養學生的空間想象能力。

教學重點和難點: 掌握二次曲線的漸近方向、中心、主方向與主直徑等概念，會求二次曲線的切線；熟悉空間坐標變換公式的導出，并且深入領會其實質；熟練地運用空間坐標變換和坐標變換下的不變量，對一般二次曲線的方程進行化簡，并對二次曲線進行分類。

教學內容：

1、二次曲線與直線的相關位置；

2、二次曲面的漸近方向與中心；

3、二次曲線的切線；

4、二次曲線的直徑；

5、二次曲線的主直徑與主方向；

6、二次曲線的方程化簡與分類；

7、應用不變量化簡二次曲線的方程。

四、使用教材與參考書目

[1] 呂林根、許子道，《解析幾何》（第四版），高等教育出版社，2006年5月。

[2] 呂林根、許子道，《解析幾何學習輔導書》，高等教育出版社，2006年5月。

[3] 李養成，《空間解析幾何》，科學出版社，2007年8月。

[4] 丘維聲，《解析幾何》（第二版），北京大學出版社，2005年9月。

第四篇：高中立體幾何教案

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 兩個平面平行的性質教案

教學目標

1．使學生掌握兩個平面平行的性質定理及應用；

2．引導學生自己探索與研究兩個平面平行的性質定理，培養和發展學生發現問題解決問題的能力．

教學重點和難點

重點：兩個平面平行的性質定理；

難點：兩個平面平行的性質定理的證明及應用． 教學過程

一、復習提問

教師簡述上節課研究的主要內容（即兩個平面的位置關系，平面與平面平行的定義及兩個平面平行的判定定理），并讓學生回答：

（1）兩個平面平行的意義是什么？

（2）平面與平面的判定定理是怎樣的？并用命題的形式寫出來？

（教師板書平面與平面平行的定義及用命題形式書寫平面與平面平行的判定定理）（目的：（1）通過學生回答，來檢查學生能否正確敘述學過的知識，正確理解平面與平面平行的判定定理．（2）板書定義及定理內容，是為學生猜測并發現平面與平面平行的性質定理作準備）

二、引出命題

（教師在對上述問題講評之后，點出本節課主題并板書，平面與平面平行的性質）師：從課題中，可以看出，我們這節課研究的主要對象是什么？ 生：兩個平面平行能推導出哪些正確的結論．

師：下面我們猜測一下，已知兩平面平行，能得出些什么結論．（學生議論）

師：猜測是發現數學問題常用的方法．“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以對已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結

論．也可通過類比法即通過兩個對象類似之處的比較而由已經獲得的知識去引出新的猜想等來得到新的命題．

（不僅要引導學生猜想，同時又給學生具體的猜想方法）

師：前面，復習了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結論是兩平面平行，這對我們猜想有何啟發？

生：由平面與平面平行的定義，我猜想：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個面．

師：很好，把它寫成命題形式．

（教師板書并作圖，同時指出，先作猜想、再一起證明）猜想一：

已知：平面α∥β，直線a 求證：a∥β．

生：由判定定理“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．我猜想：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．

[教師板書]

α，猜想二：

已知：平面α∥β，直線l⊥α．

求證：l⊥β．

師：這一猜想的已知條件不僅是“α∥β”，還加上了“直線l⊥α”．下面請同學們看課本上關于判定定理“垂直于同一直線的兩平面平行”的證明．在證明過程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a與a′是什么關系？

生：a∥a′．

師：若改為γ不是過AA′的平面，而是任意一個與α，β都相交的平面γ．同學們考慮一下是否可以得到一個猜想呢？

（學生討論）

生：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，也必與另一個平面相交．” [教師板書] 猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交． 師：怎么作這樣的猜想呢？

生：我想起平面幾何中的一個結論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交．”

師：很好，這里實質用的是類比法來猜想．就是把原來的直線類似看作平面．兩平行直線類似看作兩個平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個平面與兩個平行平面相交，得到的交線有什么位置關系？

生：平行

師：請同學們表達出這個命題．

生：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行． [教師板書]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求證：a∥b．

[通過復習定理的證明方法，既發現了猜想三，猜想四，同時又復習了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊] 師：在得到猜想三時，我們用到了類比法，實際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題與平面幾何中的有關問題作類比，常常能給我們以啟示，發現立體幾何中的新問題．比如：在平面幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請同學們用類比的方法，看能否得出一個立體幾何中的猜想？

生：把兩條平行線看作兩個平行平面，可得猜想：夾在兩個平行平面間的平行線段相等． [教師板書] 猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求證：AA′=BB′．

[該命題，在教材中是一道練習題，但也是平面與平面平行的性質定理，為了完整體現平面與平面平行的性質定理，故爾把它放在課堂上進行分析]

三、證明猜想

師：通過分析，我們得到了五個猜想，猜想的結論往往并不完全可靠．得到猜想，并不意謂著我們已經得到了兩個平面平行的性質定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確．

[師生相互交流，共同完成猜想的論證] 師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應用定義． [猜想一證明] 證明：因為α∥β，所以α與β無公共點． 又 因為a α，所以 a與β無公共點． 故 a∥β．

師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平面平行的性質定理一．簡言之，“面面平行，則線面平行．”

[教師擦掉“猜想一”，板書“性質定理一”] [論證完猜想一之后，教師與學生共同研究了“猜想二”，發現，若論證了“猜想四”的正確性質，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”] 師：“猜想三”是類比平面幾何中的結論得到的，還記得初中時，是怎么證明的？ [學生回答：反證法] 師：那么，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢？

生：用反證法：假設γ與β不相交，則γ∥β．這樣過直線a有兩個平面α和γ與β平行．與“過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．

師：很好．由此可知：不只是發現問題時可用類比法，就是證明方法也可用類比方法．不過猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質定理，大家在今后應用中要注意．

[猜想四的證明] 師：猜想四要證明的是直線a∥b，顯然a，b共面于平面γ，只需推導出a與b無公共點即可． 生：（證法一）因為 a∥β，所以 a與β無公共點．

又因為 a α，b β．

所以 a與b無公共點． 又因為 a γ，b 所以 a∥b．

師：我們來探討其它的證明方法．要證線線平行，可以轉化為線面平行． 生：（證法二）

因為 a α，又因為 α∥β，所以 a∥β．

又因為 a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．

師：用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的．這是平面和平面平行的性質定理二． [教師擦掉“猜想四”，板書“性質定理二”] 師：平面與平面平行的性質定理二給出了在兩個平行平面內找一對平行線的方法．即：“作一平面，交兩面，得交線，則線線平行．”同時也給我們證明兩條直線平行的又一方法．簡言之，“面面平行，則線線平行”．

[猜想二的證明] 師：猜想二要證明的是直線l⊥β，根據線面垂直的判定定理，就要證明l和平面β內的兩條相交直線垂直．那么如何在平面β內作兩條相交直線呢？

[引導學生回憶：“垂直于同一直線的兩個平面平行”的定理的證明] γ，生：（證法一）設l∩α=A，l∩β=B．

過AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因為 α∥β，所以 a∥a′．

再過AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．

又因為l⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．

師：要證明l⊥β，根據線面垂直的定義，就是要證明l和平面β內任何一條直線垂直． 生：（證法二）

在β內任取一條直線b，經過b作一平面γ，使γ∩α=a，因為 α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因為b為β內任意一條直線，所以 l⊥β．

[教師擦掉“猜想二”，板書“性質定理三”] [猜想五的證明] 證明：因為 AA′∥BB′，所以過AA′，BB′有一個平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因為 α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B為平行四邊形． 故 AA′=BB′．

[教師擦掉“猜想五”，板書“性質定理四”] 師：性質定理四，是類比兩條平行線的性質得到的．平行線的性質有許多，大家還能類比得出哪些有關平行平面的猜想呢？你能證明嗎？請大家課下思考．

[因類比法是重要的方法，但平行性質定理已得出，故留作課下思考]

四、定理應用

師：以上我們通過探索一猜想一論證，得出了平面與平面平行的四個性質定理，下面來作簡單的應用．

例 已知平面α∥β，AB，CD為夾在α，β間的異面線段，E、F分別為AB，CD的中點． 求證：EF∥α，EF∥β．

師：要證EF∥β，根據直線與平面平行的判定定理，就是要在β內找一條直線與EF平行． 證法一：

連接AF并延長交β于G． 因為 AG∩CD=F，所以 AG，CD確定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． 因為 α∥β，所以 AC∥DG，所以 ∠ACF=∠GDF，又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以 △ACF≌△DFG． 所以 AF=FG． 又 AE=BE，所以 EF∥BG，BG 故 EF∥β． 同理：EF∥α．

師：要證明EF∥β，只須過EF作一平面，使該平面與β平行，則根據平面與平面平行性質定理即可證．

證法二：因為AB與CD為異面直線，所以A CD． β．

在A，CD確定的平面內過A作AG∥CD，交β于G，取AG中點H，連結AC，HF． 因為 α∥β，所以 AC∥DG∥EF．

因為 DG β，所以 HF∥β． 又因為 E為AB的中點，因此 EH∥BG，所以 EH∥β． 又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以 EF∥β． 同理，EF∥α．

平面EFH，師：從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問題，但都是通過轉化為平面幾何的問題來解決的．這是解決立體幾何問題的一種技能，只是依據的不同，轉化的方式也不同．

五、平行平面間的距離

師：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段．兩個平行平面有幾條公垂線？這些公垂線的位置關系是什么？

生：兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是平行直線．

師：夾在兩平行平面之間的公垂線段有什么數量關系？根據是什么？ 生：相等，根據“夾在兩個平行平面間的平行線段相等．”

師：可見夾在兩個平行平面的公垂線段長度是唯一的．而且是夾在兩個平行平面間的所有線段中最短的．因此我們把這公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．顯然兩個平行平面的距離等于其中一個平面上的任一點到另一個平面的垂線段的長度．

六、小結

1．由學生用文字語言和符號語言來敘述兩個平面平行的性質定理．

教師總結本節課是由發現與論證兩個過程組成的．簡單的說就是：由具體問題具體素材用類比等方法猜想命題，并由轉化等方法論證猜想的正確性，得到結論．

2．在應用定理解決立體幾何問題時，要注意轉化為平面圖形的問題來處理．大家在今后學習中一定要注意掌握這一基本技能．

3．線線平行、線面平行與面面平行的判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系．在學習中應發現其內在的科學規律：低一級位置關系判定著高一級位置關系；高一級位置關系一定能推導低一級位置關系．下面以三種位置關系為綱應用轉化的思想整理如下：

七、布置作業

課本：p．38，習題五5，6，7，8． 課堂教學設計說明

1．本節課的中心是兩個平行平面的性質定理．定理較多，若采取平鋪直敘，直接地給出命題，那樣就繞開了發現、探索問題的過程，雖然比較省事，但對發展學生的思維能力是不利的． 在設計本教案時，充分考慮到教學研究活動是由發現與論證這樣兩個過程組成的．因而把“如何引出命題”和“如何猜想”作為本節課的重要活動內容．在教師的啟發下，讓學生利用具體問題；運用具體素材，通過類比等具體方法，發現命題，完成猜想．然后在教師的引導下，讓學生一一完成對猜想的證明，得到兩個平面平行的性質定理．也就在這一“探索”、“發現”、“論證”的過程中，培養了學生發現問題，解決問題的能力．

在實施過程中，讓學生處在主體地位，教師始終處于引導者的位置．特別是在用類比法發現猜想時，學生根據兩條平行線的性質類比得出許多猜想．比如：根據“平行于同一條直線的兩條直線平行”得到“平行于同一個平面的兩個平面平行．”根據“兩條直線平行，同位角相等”等，得到“與兩個平行平面都相交的直線與兩個平面所成的角相等”等等，當然在這些猜想中，有的是正確的，有的是錯誤的，這里不一一敘述．這就要求教師在教學過程中，注意變化，作適當處理．學生在整節課中，思維活躍，沉浸在“探索、發現”的思維樂趣中，也正是在這種樂趣中，提高了學生的思維能力．

2．在對定理的證明過程中，課上不僅要求證出來，而且還考慮多種證法．對于定理的證明，是解決問題的一些常用方法，也可以說是常規方法，是要學生認真掌握的．因此教師要把定理的證明方法，作為教學的重點內容進行必要的講解，培養學生解決問題的能力．

3．轉化是重要的數學思想及數學思維方法．它在立體幾何中處處體現．實質上處理空間圖形問題的基本思想方法就是把它轉化為平面圖形的問題，化繁為簡．特別是在線線平行，線面平行，面面平行三種平行的關系上轉化的思想也有較充分的體現，因而在小結中列出三個平行關系相互轉讓的關系圖，一方面便于學生理解，記憶，同時通過此表，能馬上發現三者相互推導的關系，能打開思路，發現線索，得到最佳的解題方案．

第五篇：立體幾何教案奧數

第九講 立體幾何

知識導航：

在小學階段，我們除了學習習近平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下：

在數學競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關鍵在于精巧的構思和恰當的設計，把形象思維和抽象思維結合起來． 經典例題：

例1：下圖是由 18 個邊長為 1 厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。

例2：一個圓柱體底面周長和高相等．如果高縮短了 2 厘米，表面積就減少 12.56平方厘米．求這個圓柱體的表面積？

例3：一個正方體形狀的木塊，棱長為 1 米．若沿正方體的三個方向分別鋸成 3 份、4 份和 5 份，如下圖，共得到大大小小的長方體60 塊，這 60 塊長方體的表面積的和是多少平方米？

例4：一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖．已知它的容積

神經依舊制作貢獻 為 26.4π立方厘米．當瓶子正放時，瓶內的酒精的液面高為 6 厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為 2 厘米。問：瓶內酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？

例5：一個稻谷囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體（如下圖）．圓柱的底面周長是 9.42 米，高 2 米，圓錐的高是 0.6 米．求這個糧囤的體積是多少立方米？

例6：皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為 12 厘米，水桶底面直徑為 60 厘米．皮球有一半浸在水中（下圖）．問皮球掉進水中后，水桶的水面升高多少厘米？

例7：下圖所示為一個棱長 6 厘米的正方體，從正方體的底面向內挖去一個最

神經依舊制作貢獻 大的圓錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾？

課堂練習

1、大、中、小三個正方體形的水缸都盛有缸水，它們的內邊長分別為 4 分米、3 分米、2 分米．把兩堆碎石分別沉浸在中、小水缸的水中，兩個水池的水面分別升高了 4 厘米和 11 厘米．如果將這兩堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面將升高多少厘米？

2、一根圓柱形鋼材，沿底面直徑割開成兩個相等的半圓柱體，如下圖．已知一個剖面的面積是 960平方厘米，半圓柱的體積是3014.4 立方厘米．求原來鋼材的體積和側面積．

3、在一只底面直徑是 40 厘米的圓柱形盛水缸里，有一個直徑是10 厘米的圓錐形鑄件完全浸于水中．取出鑄件后，缸里的水下降 0.5厘米，求鑄件的高．

4、在邊長為 4 厘米的正方體木塊的每個面中心打一個邊與正方體的邊平行的洞．洞口是邊長為 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下圖）．求挖洞后木塊的表面積和體積．

神經依舊制作貢獻

5、如下圖所示一個零件，中間一段是高為 10 厘米，底面半徑為 2 厘米圓柱體，上端是一個半球體，下端是一個圓錐，它的高是 2厘米．求這個零件的體積

6、塑料制的三棱柱形的筒里裝著水（如圖（1）是這個筒的展開圖，圖中數字單位為厘米）．把這個筒的 A 面作為底面，放在水平桌面上，水面的高度是 2 厘米（如圖（2））問：（1）若把 B 面作為底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？（2）若把 C 面作為底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？

7、有一個圓柱體的零件，高 10 厘米，底面直徑是 6 厘米，零件的一端有一個圓柱形的直孔，如下圖．圓孔的直徑是 4 厘米，孔深5 厘米．如果將這個零件接觸空氣部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？

神經依舊制作貢獻