第一篇：立體幾何復習資料

立體幾何判定方法匯總

一、判定兩線平行的方法

1、平行于同一直線的兩條直線互相平行

2、垂直于同一平面的兩條直線互相平行

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

5、在同一平面內的兩條直線，可依據平面幾何的定理證明

二、判定線面平行的方法

1、據定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點

2、如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行

3、兩面平行，則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面

4、平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面

5、平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面

三、判定面面平行的方法

1、定義：沒有公共點

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行

3垂直于同一直線的兩個平面平行

4、平行于同一平面的兩個平面平行

四、面面平行的性質

1、兩平行平面沒有公共點

2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面

3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行

4、垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面

五、判定線面垂直的方法

1、定義：如果一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，則線面垂直

2、如果一條直線和一個平面內的兩條相交線垂直，則線面垂直

3、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面

4、一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面

5、如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直它們交線的直線垂直于另一個平面

6、如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么它們的交線垂直于另一個平面

六、判定兩線垂直的方法

1、定義：成90?角

2、直線和平面垂直，則該線與平面內任一直線垂直

3、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

4、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直

5、一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定義：兩面成直二面角,則兩面垂直

2、一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性質

1、二面角的平面角為90?

2、在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面

3、相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面

第二篇：立體幾何2018高考

2018年06月11日青岡一中的高中數學組卷

一．選擇題（共11小題）

1．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

4．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第1頁（共23頁）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

7．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

第2頁（共23頁）

A．2 B．2 C．3 D．2

10．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ

1二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第3頁（共23頁）

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．

（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是上異于C，D（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．

第4頁（共23頁）

17．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是（2）當三棱錐M﹣ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分別為AD，PB的中點．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

第5頁（共23頁）

第6頁（共23頁）

2018年06月11日青岡一中的高中數學組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共11小題）

1．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，小的長方體，是榫頭，從圖形看出，輪廓是長方形，內含一個長方形，并且一條邊重合，另外3邊是虛線，所以木構件的俯視圖是A．

故選：A．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

【解答】解：設圓柱的底面直徑為2R，則高為2R，圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：4R2=8，解得R=，第7頁（共23頁）

則該圓柱的表面積為：故選：D．

=10π．

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，則A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），設異面直線AE與CD所成角為θ，則cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．

∴異面直線AE與CD所成角的正切值為．

故選：C．

第8頁（共23頁）

1為z軸，建立空間直角DD

4．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，），D（0，0，0），∴A（1，0，0），D1（0，0，B1（1，1，），），=（﹣1，0，=（1，1，），設異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=

=

=，． ∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為故選：C．

5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第9頁（共23頁）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：根據三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱．

如圖所示：故該幾何體的體積為：V=故選：C．

．

6．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，即∠AC1B=30°，可得BC1=可得BB1=

=

2．=8

．

=2

．

所以該長方體的體積為：2×故選：C．

第10頁（共23頁）

7．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9，可得，解得AB=6，球心為O，三角形ABC 的外心為O′，顯然D在O′O的延長線與球的交點如圖： O′C==，OO′=

=2，則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：故選：B．

=18

．

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）

第11頁（共23頁）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：四棱錐的三視圖對應的直觀圖為：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，可得三角形PCD不是直角三角形． PC=3，PD=2所以側面中有3個直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，△PAD． 故選：C．

9．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

第12頁（共23頁）

A．2 B．2 C．3 D．2

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16，高為：2，直觀圖以及側面展開圖如圖：

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度：故選：B．

10．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

=2．

【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，α截此正方體所得截面面積的最大，此時正六邊形的邊長故選：A．

明明就的最大值為：6×

=

．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1

第13頁（共23頁）

【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心． 過E作EF∥BC，交CD于F，過底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，連接SN，取CD中點M，連接SM，OM，OE，則EN=OM，則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角． ∵tanθ1=∴θ1≥θ3，又sinθ3=∴θ3≥θ2． 故選：D．，sinθ2=，SE≥SM，=，tanθ3=，SN≥SO，二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．

【解答】解：（1）∵圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4，第14頁（共23頁）

∴圓錐的體積V==

=．

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，∴以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），設異面直線PM與OB所成的角為θ，則cosθ==

=

．

∴θ=arccos．

∴異面直線PM與OB所成的角的為arccos

．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第15頁（共23頁）

DF為折痕

【解答】（1）證明：由題意，點E、F分別是AD、BC的中點，則，由于四邊形ABCD為正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，則BF⊥平面PEF．

又因為BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中，過P作PH⊥EF于點H，聯結DH，由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱錐P﹣DEF中，可以利用等體積法求PH，因為DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因為△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，故VF﹣PDE=，因為BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．

設正方形邊長為2a，則PD=2a，DE=a 在△PDE中，所以故VF﹣PDE=，，第16頁（共23頁）

又因為所以PH==，=，． 所以在△PHD中，sin∠PDH=即∠PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．

【解答】（1）證明：∵AB=BC=2角形，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三又O為AC的中點，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=在△COM中，OM=S，=

．

=××=，第17頁（共23頁）

S△COM==．，設點C到平面POM的距離為d．由VP﹣OMC=VC﹣POM?解得d=，． ∴點C到平面POM的距離為

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

【解答】（Ⅰ）證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；

（Ⅱ）解：取棱AC的中點N，連接MN，ND，∵M為棱AB的中點，故MN∥BC，∴∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=∴異面直線BC與MD所成角的余弦值為

；

．

（Ⅲ）解：連接CM，∵△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=，第18頁（共23頁）

又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD，則∠CDM為直線CD與平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=在Rt△CMD中，sin∠CDM=，．

． ∴直線CD與平面ABD所成角的正弦值為

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．

所在平面垂直，M是

上異于C，D

【解答】（1）證明：矩形ABCD所在平面與半圓弦半圓弦所在平面，CM?半圓弦

所在平面，所在平面垂直，所以AD⊥∴CM⊥AD，M是上異于C，D的點．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD?平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中點，理由：

連接BD交AC于O，取AM的中點P，連接OP，可得MC∥OP，MC?平面BDP，OP?平面BDP，第19頁（共23頁）

所以MC∥平面PBD．

17．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）當三棱錐M﹣ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

所在平面垂直，M是

【解答】解：（1）證明：在半圓中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面與半圓弧∴AD⊥平面BCM，則AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC?平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面積為定值，∴要使三棱錐M﹣ABC體積最大，則三棱錐的高最大，此時M為圓弧的中點，建立以O為坐標原點，如圖所示的空間直角坐標系如圖 ∵正方形ABCD的邊長為2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），則平面MCD的法向量=（1，0，0），設平面MAB的法向量為=（x，y，z）

第20頁（共23頁）

所在平面垂直，則=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由?=2y=0，?=﹣2x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=2，即=（1，0，2），則cos＜，＞=

=

=，則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sinα=

=

．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

【解答】證明：（1）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，?AB∥平面A1B1C；

（2）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，?四邊形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．

第21頁（共23頁）

在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1?AB1⊥BC． ∴

?AB1⊥面A1BC，且AB1?平面ABB1A1?平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分別為AD，PB的中點．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

【解答】證明：（Ⅰ）PA=PD，E為AD的中點，可得PE⊥AD，底面ABCD為矩形，可得BC∥AD，則PE⊥BC；

（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一個公共點P，且AB∥CD，在平面PAB內過P作直線PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD=PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD為平面PAB和平面PCD的平面角，第22頁（共23頁）

由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）取PC的中點H，連接DH，FH，在三角形PCD中，FH為中位線，可得FH∥BC，FH=BC，由DE∥BC，DE=BC，可得DE=FH，DE∥FH，四邊形EFHD為平行四邊形，可得EF∥DH，EF?平面PCD，DH?平面PCD，即有EF∥平面PCD．

第23頁（共23頁）

第三篇：教案 立體幾何

【教學過程】 *揭示課題 9 立體幾何 *復習導入

一、點線面的位置關系 點與直線的位置關系：A?a　A?a 2.點與面的位置關系： A??　A?? 3.直線與直線的位置關系：平行 相交 異面 4直線與平面的位置關系： 在平面內 相交平行

二、線面平行的判定定理

1.線線平行：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

2.線面平行：如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線就和這個平面平行

3.面面平行：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行

三、線面平行的性質定理

1.線線平行：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等

2.線面平行：如果一條直線和一個平面平行，并且經過這條直線的平面和這個面相交，那么這條直線和交線平行

3.面面平行：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

四、線面垂直的判定定理

1.線面垂直：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直

2.面面垂直：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

五、線面垂直性質定理

1.線面垂直：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行

2.面面垂直：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面

六、柱、錐、球 1.棱柱、圓柱

S側=底面周長?高V體=底面面積?高2.棱錐、圓錐

1底面周長?母線2 1V體=底面積?高3S側?3.球

S表=4?r243 V體=?r3*練習講解 復習題A組 *歸納小結

本章立體幾何部分概念偏多，需要著重分辨判定定理與性質定理的適用范圍，將點線面位置關系化為最簡單的線線判斷，由此可提高位置判定的速度，能夠更加地熟練運用各大定理。

第四篇：高中立體幾何

高中立體幾何的學習

高中立體幾何的學習主要在于培養空間抽象能力的基礎上，發展學生的邏輯思維能力和空間想象能力。立體幾何是中學數學的一個難點，學生普遍反映“幾何比代數難學”。但很多學好這部分的同學，又覺得這部分很簡單。那么,怎樣才能學好立體幾何呢?我這里談談自己的認識。

一．空間想象能力的提高。

開始學習的時候，首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習題，輔導書上的練習題，不看原圖，自己先畫。畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對比一下，那個圖更容易解題。

二．邏輯思維能力的培養。

培養邏輯思維能力，首先是牢固掌握數學的基礎知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。

1.加強對基本概念理解。

數學概念是數學知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數學概念是學好數學，提高數學能力的關鍵。

對于基本概念的理解，首先要多想。比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個[平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數學上怎么才能保證兩條直

線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對于不平行的條件，在平面幾何中我們已經知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。

這在立體幾何“簡單幾何體”部分的學習中顯得尤為突出，本章節中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴謹性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區別和聯系。

2.加強對數學命題理解，學會靈活運用數學命題解決問題。

對數學的公理，定理的理解和應用，突出反映在題目的證明和計算上。需要避免證明中出現邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據，或以主觀臆斷代替嚴密的科學論證，書寫格式不合理，層次不清，數學符號語言使用不當，不合乎習慣等。

（1）重視定理本身的證明。我們知道，定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養,以及規范的書寫格式的養成。做到不僅會分析定理的條件和結論,而且能掌握定理的內容,證明的思想方法,適用范圍和表達形式.特別是進入高中學習以后所涉及到的一些新的證題的思想方法,如新教材上的立體幾何例題:“過平面外一點與平面內一點的直線,和平面內不經過該點的直線是異面直線.”此定理的證明就采用了反證法,那么反

證法的證題思想就需要去體會,一般步驟,書寫格式,注意要點等.并配以適當的訓練,以初步掌握應用反證法證明立體幾何題.(2)提高應用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現在遇到一個幾何題以后,不知從何下手.對于習題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。當然這要根據具體情況，需要多看習題，我反對題海，但必要的練習是不可以缺少的。

第五篇：立體幾何復習題

立 體 幾 何 復習題

二、垂直關系

一、平行關系

（1）線線平行（2）線面平行（3）面面平行

證明線線平行的常用方法： 證明線面平行的常用方法： 證明面面平行的常用方法： 練習：

1、已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP?DQ，求證：PQ∥平面CBE。

D2、在正方體AC1中，E是DD1的中點，求證D1B∥平面EAC。

3、在正方體AC1中，M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點，1求證：（1）M,E,F,N四點共面；（2）平面MAN∥平面EFDB。A

方法指導與點評：要證明平行關系，首先我們要深刻地理解和牢記證明平行關系的常用方法，解題是，我們的頭腦里要同時展現這些方法，然后再根據圖形的具體特征選擇適當的方法；證明線面平行和面面平行一般情況可以轉化為證明線線平行，所以我們一定要掌握證明線線平行的方法。證明線面平行時，關鍵在于在平面內找到一條直線與已知直線平行，這條直線如果已經存在，那直接證明即可，如果不存在，那需要作出這條直線，常用的作法有兩種，構造平行四邊形或三角形的中位線。（如練習1和練習2）

（1）線線垂直（2）線面垂直（3）面面垂直 證明線線垂直的常用方法：

證明線面垂直的常用方法： 證明面面垂直的常用方法： 三垂線定理： 三垂線的逆定理： 練習：、在正方體AC1中，O為底面ABCD的中心，M為BB1的中點，求證

D

1D1O?平面AMC。

2、已知Rt?ABC中，?C?900,PA?平面ABC,且AE?PB，AF?PC，E、F分別為垂足，求證：(1)AF?平面PBC；(2)PB?

平面AEF。

B3、已知四棱錐P?ABCD,底面ABCD為菱形,?DAB?60?,PD?平面ABCD ,點E為

AB的中點,求證:平面PED?平面PAB.A

E4、如圖,四棱錐P?ABCD中,PA?平面ABCD,PB與底面所成的角為45?,底面ABCD為直角梯形,?ABC??BAD?90?,PA?BC?

12AD.(1)求證:平面PAC?平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一點E,使得CE平行于平面PAB?若存在,請確定E的位置;若不

存在,請說明理由.方法指導與點評：要證明垂直關系,首先,我們要深刻地理解和牢記證明垂直關系的常用方法,解題時,頭腦里要同時展現這些方法,然后再根據圖形的具體特征選擇適當的證明方法.證明 線面垂直和面面垂直一般情況可以轉化為證明線線垂直，所以我們一定要掌握證明線線垂直的方法。一般情況下,要證明兩條異面直線相互垂直,考慮通過證明線面垂直來證明線線垂直，如果給出線線之間的大小關系,我們 可以考慮用勾股定理來證明線線垂直.對于用證明兩條直線所成的角為90?,在證明線線垂直時,可以分為兩類,一類是直接證明這兩條直線所成的角為

90?,另一類是通過證明這兩條直線中的一條的平行線和另一條所成的角為90?,（如練習4，都

可用上述的證明方法證明）.三、求值問題(解求值問題分三步:作,證,求)

1、異面直線所成的角

(1)異面直線所成的角的定義和范圍.(2)作異面直線所成的角的平面角常用方法:平移法,補形法.練習:

1、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?CBA?900,點D,F分別是A1C1,A1B1的中點，若

AB?BC?CC1,求CD與AF所成的角的余弦值。

C

1C

A

B2、在正四面體ABCD中, M,N分別是BC,AD的中點，求

AM與CN所成的角的余弦值。D3、正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長都相等, 求AB1與BC1所成的角的余弦值。

4、如圖所示,正方體ABCD?AB

1B1C1D1中,(1)A1C1與B1C所成角的大小;(2)A

11C與AD1所成角的大小.方法指導與點評： 作異面直線所成的角的平面角有兩種方法:平移法和補形法.一般情況下,如 果我們用平移法作異面直線所成的角的平面角時,我們可以考慮在其中一條直線的頂點或者中 點作另一條直線的平行線,常用的作平行線的方法有構造平行四邊形和三角形的 中位線(如練習1、2),有時我們在其中一條直線的頂點或者中點作另一條直線的平行線時,這條直線跑到圖 形的外面去,此時考慮兩條都要平移.如何平移呢？關鍵在于找到這樣一條連接兩條異面直線 端點的線段,然后在這條線段的中點作這兩條異面直線的平行線(如練習3中BB 1);補形法就

是在長方體或者正方體中,當我們在其中的一條直線的頂點作另一條直線的平行線時,這條直線跑到圖形的外面去,此時,可以考慮在原長方體或者正方體的旁邊補上一個大小相同的長方體或者正方體,從而作出異面直線所成的角的平面角.2、直線與平面所成的角

直線與平面所成的角的定義和范圍：

練習：

1、在正方體AC1中，求(1)BC1與平面ACC1A1所成的角;(2)A1B1與平面A1C1B所成的角.3、四棱錐中S?ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC?底面ABCD

。已知

?ABC?450,AB?

2,BC?SA?SB?（1）證明SA?BC；

（2）直線SD與平面SAB所成的角.A

方法指導與點評：求線面角的關鍵是尋找兩“足”(斜足和垂足).垂足的 尋找方法:一般可以考慮從斜線的頂點或中點作平面的垂線,通常用到面面垂直的性質定理(如練習1)和三垂線定理，過斜邊的頂點或中點作平面的垂線.有時候,我們必須考慮垂足到底在哪里,所以必須掌握點在平面內的射影的定位問題(詳見立體幾何證明常用方法),(如練習1第2問),有時候.我們過斜線的定點或中點作底面的垂線時,垂足不好確定,此時,考慮用點到平面的距離把垂線段的長度給求出來(如練習3的第2問).3、二面角

1、二面角的定義和范圍

2、二面角平面角的定義

3、作二面角平面的方法

（1）根據定義的圖形的特征作圖

（2）根據三垂線定理或者逆定理的方法 練習:

1、在正方體中ACC11，過頂點在正方體中B、D、C1作截面，則二面角B?DC1?C的大小為

2、在正方體中AC1，二面角A1?B1D?B的大小為

C13、如圖，在直二面角D?AB?E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE?EB,F

為CE上的點，且BF?平面ACE.(1)求證：AE?平面BCE;(2)求二面角B?AC?E的大小;(3)點D到平面ACE的距離.4、如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐

P?ABCD中，AB?AC,PA?平面

ABCD,且PA?AB,點E是PD的中點。

（1）求證：AC?PB;

（2）求證：PB∥平面AEC;

（3）求二面角E?AC?B的大小.C

E

D5、如圖所示，過正方形ABCD的頂點A作PA?平面ABCD，設PA?AB?a求：

（1）二面角B?PC?D的大小;（2）平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。

方法指導與點評： 根據三垂線定理或者逆定理作二面角的平面角時,難點在于找到半平面的垂線,解決辦法:線找面面垂直,利用面面垂直的性質定理即可找到半平面的垂線,然后作棱的垂線連接垂足與兩垂線的端點,運用三垂線定理證明所求的角是二面角的平面角.如果二面角是鈍角時,用三垂線法作二面角的平面角時,垂足跑到二面角的外面去,則可先求出二面角的補角的大小,然后求出二面角的大小(如練習4);若二面角無棱,則先作棱(常用線面平行的性質定理,如練習5).4、點到平面的距離 練習

1、在三棱錐S?ABC中，側棱SA?SB?SC?7，AB?6,BC?8,AC?10，求點S到

平面ABC的距離。

C

D2、在棱長為a正方體中AC1中，求點B1到平面A1BC1的距離。

3、在四棱錐M?ABCD中，MD?平面ABCD, MD?a。ABCD是邊長為a的棱

形,?DAB?600，E是MB的中點。（1）求證：平面EAC?平面ABCD；（2）求二面

3、棱錐的底面是等腰三角形,這個等腰三角形的底邊長為12cm,腰長為 10cm,棱錐的側面與

底面所成的二面角都是45?,求棱錐的側面積和體積。(頂點在底面三角形的射影為該三角形的內心)

C

角A?EC?B的正切值；（3）求點E到平面MDC的距離。

方法指導與點評： 點到平面的距離常用的方法:直接法和間接法.利用直接法求距離需要找到

點到兩面內的射影.(必須掌握點在兩面內射影的定位問題,詳見立體幾何證明常用方法),其中,我們經常考慮兩垂點的性質定理與幾何圖形的特征性質;間接法常用的是等積法和轉移法,轉移法即根據“如果一條直線和一個平面平行,則線上的點到面的距離相等”(如練習3).5、棱錐體積的計算和側面積棱錐體積公式v?1

3sh

練習:

1、如圖所示，在直三棱柱ABC?A?900

1B1C1中，?ABC,AB?AC?1.(1)求異面直線B1C1與AC所成的角的大小；

(2)若直線A0

1C與平面ABC所成的角為45，求三棱錐的體積A1?ABC。

2、在三棱錐S?ABC中，已知SA?BC,SA?BC?l,SA、BC的公垂線段ED?h，求

在三棱錐S?ABC的體積。

C4、已知?ABC中, AB?2,BC?1,?ABC?90? ,平面ABC外的一點P滿足

PA?

PB?

PC?2,求棱錐P?ABC的體積.(頂點在底面三角形的射影為該三角形的外心)

方法指導與點評：對三棱錐體積的計算要懂得靈活轉換頂點的底，使得棱錐的高和底面面積能

求出來，其棱錐體積的方法常用的還有割補法。、球、正四面體的內切球的半徑與正四面體的高的比為多少?內切球的半徑與外切球的半徑的比

為多少?、在長方體AC'中,AB?3,AD?4,AA1?5,則該長方體的外切球的的直徑為

613、已知球O的半徑為R，正方體的各頂點都在球O的表面上，則正方體的棱長為

3證明線線平行的方法：

R

立體幾何中證明的常用方法

（1）證明這兩條直線所在的四邊形為平行四邊形（2）構造三角形的中位線（3）公理4（4）線面平行的性質（5）面面平行的性質定理 證明線面平行的方法：

（1）線面平行的判定定理（2）面面平行的性質

證明面面平行的方法：

（1）面面平行的判定定理（2）垂直于同一條直線的兩平面互相平行（3）平行的傳遞性 證明線線垂直的方法：

（1）線面垂直的定義（2）三垂線定理和逆定理（3）勾股定理（4）證明這兩條直線所成的角為90o（5）證明其中的一條直線的平行線和另一條直線垂直 證明線面垂直的方法：

4、水盆里的水冬天結冰時,一個球漂在水上,取出后(冰面未受損),冰面上留下一個直徑為

24cm,深為8cm的空穴,那么該球的半徑為(C)

A 8cmB5、地球半徑為R,在北緯30?的圓上有A,B兩點,A點在東經120?,B點在西經60?,則A,B

兩點的球面距離為(D)A ?

RB

3?RD ?R RC 23

4（1）線面垂直的判定定理（2）面面垂直的性質（3）平行線中一條垂直一個平面，另一條也

?R，6、設地球半徑為R，在北緯450圈上有A、B兩地，它們的緯線圈上的弧長等于求A、B兩地的球面距離。(? R)

垂直這個平面（4）直線垂直平行平面中的一個，也垂直另一個。

（5）如果兩個相交的平面與第三個垂直，那么交線垂直于第三個平面。證明面面垂直的方法：

（1）面面垂直判定定理（2）定義法 作二面角的平面角的常用方法：

（1）定義法（2）三垂線法（3）垂面法 點在平面內射影的定位：

法

1、通常先過這一點作平面內一條直線的垂線，然后再證明這條垂線就是平面的垂線 法

2、利用面面垂直的性質定理

法

3、如果一個角所在平面外一點到這個角兩邊的距離相等，那么這個點在平面內的射影在這個角的平分線所在的直線上。

方法指導與點評：有關球面距離的計算,根據公式??|?|R,需要先求出球心角,而要求球心角

則需要先求球心角所對的弦長,求出弦長后再根據圖形的特征或者余弦定理求出球心角(如練習6),若球心角不是特殊角時則用反三角函數來表示.法

4、利用一些比較常用的結論： P為△ABC所在平面?外的一點，1）若P到點A，B，C的距離相等，那么點P在平面?內的射影是△ABC的外心

2）若P到直線AB，AC，BC的距離相等，那么點P在平面?內的射影是△ABC的內心。3）若平面PAB，PBC，PCA與平面?所成的二面角大小相等，那么點P在平面?內的射影是△ABC的內心。

4）若直線PA與BC，PC與AB互相垂直，那么點P在平面?內的射影是△ABC的垂心。5）若直線PA，PB，PC兩兩互相垂直，那么點P在平面?內的射影是△ABC的垂心。

6）若平面PAB，平面PBC，平面PCA兩兩互相垂直，那么點P在平面?內的射影是△ABC的垂

心。

有了上述這些結論，我們就可以很快的判斷出某個點在某一平面內的射影的位置方便解題。