第一篇：立體幾何中翻折問題的求解策略

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立體幾何中翻折問題的求解策略

作者：司政君

來源：《中學課程輔導·教學研究》2013年第18期

摘要：文章結合幾道高考試題，對立體幾何中翻折問題的求解策略進行簡單分析.關鍵詞：翻折；對應；垂直；角度 在立體幾何中，經常將一些平面幾何圖形如：三角形、平行四邊形、梯形等沿其高線、中線、角平分線、對角線進行翻折，或沿經過某一頂點與邊垂直、平行的直線翻折，或過其邊上某點（頂點除外）與一邊平行的直線翻折，得到一個多面體，然后根據給出的條件，進行平行（直線與直線、直線與平面）關系、垂直（直線與直線、直線與平面和平面與平面）關系的證明及距離、角度、面積和體積等的計算.這類問題在高考中也常常出現.在解題過程中，學生由于忽視一些隱含條件而導致思路受阻或解題出錯.這些隱含條件就是翻折后得到幾何體中，一些點、線、角、面與原平面幾何圖形的對應關系，以及一些點、線段、角、面之間的位置關系的“變”和“不變”.弄清這些對應關系與變”和“不變”，是會解并正確解題的關鍵.下面就結合幾道高考試題來談談立體幾何中翻折問題的解決策略.通過上述幾道高考試題的分析及解答，立體幾何中翻折問題的解決，關鍵要弄清翻折后的幾何體中，某些點、線、面、角等 與翻折前平面圖形中點、線、面、角等的對應關系，以及一些點、線段、角、面之間的位置關系的“變”和“不變”.這些對應關系以及“變”和“不變”是解決問題的隱含條件，準確挖掘出這些隱含條件，尤顯重要.（作者單位：甘肅省隴南市武都區兩水中學 746010）

第二篇：二項式定理問題的求解策略

二項式定理的常見問題及其求解策略

濟寧一中高一數學組

賈廣素 王艷英(郵編：272000)

電話：*** 二項式問題是歷年高考必定考查的內容之一，這部分題目的難度不大，但需要一定的技巧和和求解策略，才能快速求解。本類題目首先需要明確研究的對象，即明確所要研究的是二項式系數還是二項式展開式中某項的系數，從方法上來講，主要為公式法、性質法和分析法等。下面就通過二項式定理中經常出現的問題談一談這類題目的解法。

一、求展開式中的指定項、指定項的系數及常數項問題

此類問題的求解關鍵在于求出r的值，也可以說是求出指定項是第幾項。

1??例

1、?x??展開式中間的項是__________。

x??分析：由二項工系數的性質知，若求展開式的中間項，只需判斷冪指數的奇、偶特征即可。因為2n是偶數，所以展開式的中間式是第n2n2n2n?n。根?1項，此時r?22據展開式的通項公式知：T2nnnn?1?nn?C2?x???(?1)C??n2n。

?x?例

2、在?x?3?610的展開式中，含x項的系數是（）。

4646A、?27C10

B、27C10

C、?9C10

D、9C10 解：Tr?1r10?r?C10x?3???r?0,1,2,?,10?，令10?r?6得r?4，r? 含x項的系數是C10(?10644，故選D。3)4?9C101??例

3、?x??的展開式中的常數項是_________。

3x??解：rTr?1?C10?x?10?r5?r?1?rr??3??C10???1??x6?r?0,1,2,?,10?，令

x??r55665?r?0解得r?6?常數項為T7?C10???1??210。

6二、近似計算問題

解決此類問題要注意題目要結果精確到什么或保留幾位有效數字，以便考慮最后一項的取舍，一般要四舍五入。求數的n次冪的近似值 時，把底數化為最靠近它的那個整數加一個小數(或減一個小數)的形式。

例

4、求?3.002?6的近似值(精確到0.001)

6解：原式=(3+0.002)=36?6?35?0.002?15?34?0.0022?20?33?0.0023??

?729?2.916?0.00486?731.92086?731.921

三、整除與求余問題

此類題目往往考慮用數學歸納法證明，但是步驟較為繁瑣，而用二項式定理證明則顯得更為簡捷。

例

5、利用二項式定理證明：當n?N?時，32n?2?8n?9能被64整除。

證明：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9

1n2n?1n?12n?8n?1?Cn???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8?Cn?1?8?1?8n?9 1n?223n?1?82?（8n?1?Cn。?Cn?1?8?1?8???Cn?1）1n?223n?1而8n?1?Cn?Cn?1?8?1?8???Cn?1?N?

?32n?2?8n?9能被64整除。

例

6、求C33?C33?C33???C33除以9 的余數。

解：由于C33?C33?C33???C33=233?1?811?1?(9?1)11?1

1210=911?C9?910?C9?99???C11?9?1?1 1210=9910?C9?99?C9?98???C11?2 1233312333???所求的余數為7。

四、證明有關的不等式問題

有些不等式可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去（縮小），或把某些負項刪去（放大），使等式轉化為不等式，然后再根據不等式的傳遞性進行證明。

?1?例

7、求證：2??1???3?n?2?。

?n?證明：?當n?2時，n12?1?0112n1n011?1???Cn?Cn??Cn?()???Cn()?Cn?Cn??2。

nnnn?n?1?1?0112n1n又??1???Cn?Cn??Cn?()2???Cn()

nnn?n?＝2?nn11112(1?)?(1?)(1?)???3 2!n3!nnn ?不等式2????1?1?n???3?n?2?成立。

五、利用賦值法求各項系數的和的問題

例

8、設(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2n2nx

求a1?a3?a5???a2n?1的值。

解：令x?1，得a0?a1?a2???a2n?3n ①

再令x??1得a0?a1?a2?a3???a2n?1?a2n?1 ①－②可得a3n?11?a3?a5???a2n?1＝2。

②。

第三篇：立體幾何中的最值問題

立體幾何中的最值問題

上猶中學數學教研組劉道生

普通高等學校招生全國統一考試新課程標準數學科考試大綱指出，通過考試，讓學生提高多種能力，其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學習中形成。立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關系，查遍近幾年全國各省市的高考題中，與空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現，并且成增長趨勢。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。

策略

一、公理與定義法

例

1、在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面邊長為2，點P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點的最短距離為（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如圖1，由于點P、Q分別在線段BD、SC上移動，先讓點P在BD上固定，Q在SC上移動，當OQ最小時，PQ最小。過O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?

P在BD上運動，且當P運動到點O時，PQ最小，2。又

5等于OQ的長為2，也就是異面直線BD和SC的 5

公垂線段的長。故選B。

策略二建立函數法

例2正?ABC的邊長為a，沿BC的平行線PQ折疊，使平面A?PQ?平面BCQP，求四棱錐的棱A?B取得最小值時，四棱錐A??BCQP的體積。

分析：棱A?B的長是由A?點到PQ的距離變化而變化，因此我們可建立棱A?B與點A?到PQ的距離的一個函數關系式，從而求出棱A?B的最小值，進而求出體積。

【解析】如圖所示，取PQ中點o，顯然AO?PQ，即A?O?PQ

?

由平面A?PQ?平面BCQP，則A?O?平面BCQP，如圖建立直角坐標系O?xyz，設

?3?

1?，得 A?O?x，因正?ABC的邊長為a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B?a?x,?a,0?2?2?????3?11

???A?A???0,0,?x???a?x,?a,0???a?x,?a,?x?? 2222????

3??1?2??5

2????a????x?2?2x2?ax?a2?2?x???a?xa??a?2??2???4?8???

即當x?

3a時，A?Bmin?a 4

423?11?3133a??2??SBCPQ?A?O???a?a???a? ???33?44?2??464

?VA??BCPQ

評注：對于圖形的翻折問題,關健是利用翻折前后不變的數量關系和圖形關系；同時還

要仔細觀察翻折前后圖形的性質。很多情況下，我們都是把這類動態問題轉化成目標函數，最終利用代數方法求目標函數的最值。策略三；解不等式法

例3求半徑為R的球內接正三棱錐體積的最大值。

分析:要使球內接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關系。

【解析】如右圖所示，設正三棱錐高O1A=h,底面邊長為a由正三棱錐性質可知O1B

又知OA=OB=R則在Rt?ABC中，2a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h)

3?hh???2R?h1hh??R3 2V=2h(2R?h)?

(2R?

h)??2233????

(當且僅當

h4

?2R?h，即h?R時，取等號)?正三棱錐體積最大值為

策略四；變量分析法

例4 如圖已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，當AP=AB=2，?AEF??，當?變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值。

分析：?的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時，底面積最大，則體積最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

?AC?

∴ BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PC?BC?C∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱錐P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，1112

sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?

3326

∵0???

?，∴0?2???，0?sin2??1∴ 當??

?

時，VP?AEF取得最大值為

。6

策略五：展開體圖法

例5.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，A

C

則四邊形PQRS的周長的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

圖

5【解析】如圖3-2，將四面體的側面展開成平面圖形。由于四面體各

側面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A’、D與D’在四面體中是同一點，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共線，D、B、D’共線，AA'?DD'?2BD。又四邊形PQRS在展開圖中變為折線S’PQRS，S’與S在四面體中是同

一點。因而當P、Q、R在S’S上時，′

′

S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四邊形

SPQRS周長最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故選B。策略六 布列方程法

例

6、棱長為2cm的正方形體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要 使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應 該為多大？

【解析】：過正方形對角線的截面圖如圖所示，AC1?2，AO?

3AS?AO?OS??1設小球的半徑r，tan?C1AC?

2在?AO1D中，AO1?r，∴AS?AO1?O1S∴?1?3r?r，解得r?2?3（cm）為所求。

策略

七、極限思想法

【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長棱長均為1，探討其側棱否有最值。

解析：如圖第1題：當P-ABC為三棱錐時，x的最小極限是 P、A重合，取值為0，若?PBC繞BC順時針旋轉，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時，PA為菱形ABPC

第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，側棱越小。故P、O重合時，側棱取最小極

PO無窮大時，側棱也無窮大。可知兩題所問均無最值。策略

八、向量運算法

例8.在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_______。

【解析】以A為坐標原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示

?，0，x)，的空間直角坐標系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據題意設P（x，0，x），則BP?(x?1?

GP?(x?1，?1，x?1)，那么

GP?PB?2x2?4x?3?2x2?2x?

12??2

2??211??????????x????0??

?2?(x?1)2??0??2?2??2????????

?2?1??1??2

???x????0??可以看成x軸正半軸上一點式子(x?1)??0?（x，??2?2??2???

0，0）到xAy平面上兩點?1?

??2??11?2，0?、?，的距離之和，其最小值為。所以0???2??22?

2GP+PB的最小值為2??

?2?2。2

[規律小結]

建立函數法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是把這類動態問題轉化成目標函數，最終利用代數方法求目標函數的最值。解題途徑很多，在函數建成后，可用一次函數的端點法；二次數的配方法、公試法； 有界函數界值法（如三角函數等）及高階函數的拐點導數法等。

公理與定義法通常以公理與定義作依據，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點的連線段中，以它們的公垂線段為短。球面上任意兩點間的連線中以過這兩點與球心的平面所得圓的劣弧長為最短等。如果直接建立函數關系求之比較困難，而運用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷徑。

解不等式法是解最值問題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質和一些變

a2?b

2?ab量的特殊不等關系求解：如

ab?

a?b

最小角定理所建立的不等關系2

等等。

展開體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易。

變量分析法是我們要透過現象看本質，在幾何體中的點、線、面，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關系，從而轉化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方法。

除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達到求解最值問題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計算法等等其各法的特點與普遍性，大家可以通過前述實例感受其精彩內涵與真理所在。

在解題時，通常應注意分析題目中所有的條件，首先應該在充分理解題意的基礎上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉化為函數，若能寫出確定的表意函數，則可用建立函數法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關系，看是否能運用解等不式法求解；還不行則應考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次從本文所標定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。

第四篇：含參不等式恒成立問題的求解策略

含參不等式恒成立問題的求解策略

授課人：李毅軍

“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。現就結合實例談談這類問題的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函數f(x)在定義域為D，則當x∈D時，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M。因而，含參數不等式的恒成立問題常根據不等式的結構特征，恰當地構造函數，等價轉化為含參數的函數的最值討論。

例1：已知a＞0，函數f(x)=ax－bx2，當b＞1時，證明：對任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要條件是b－1≤a≤2b。

二、分離參數法

例2：設f(x)=lg??1?2x???(n?1)x?nxa??n?，其中a是實數，n是任意給定的自

?然數且n≥2，若f(x)當x∈???，1?時有意義，求a的取值范圍。

一般地，利用最值分離參數法來確定不等式f(x，?)≥0，（x∈D ?為實參數）恒成立中參數取值范圍的基本步驟：

（1）將參數與變量分離，即化為f1(?)≥f2(x)（或f2(?)≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D時的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1(?)≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得?的取值范圍。

練習1：已知定義在R上函數f(x)為奇函數，且在?0，???上是增函數，對于任意x∈R求實數m范圍，使f(cos2?－3)+f(4m－2mcos?)＞0恒成立。

練習2：設0＜a≤54，若滿足不等式|x－a|＜b的一切實數x，亦滿足不等式| x－a 2|

＜12，求正實數b的取值范圍。

練習3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函數f(x)=a·b在區間（－1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

三、數形結合

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立的問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：

1．f(x)＞g(x)?函數f(x)圖象恒在函數g(x)圖象上方； 2．f(x)＜g(x)?函數f(x)圖象恒在函數g(x)圖象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈??1??0，3??內恒成立，求實數a的取值范圍。

練習：設f(x)=?x2?4x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求實數a的取值范圍。

四、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把變元與參數換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。

例4：若對于任意a∈??1，1?，函數f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍。

五、利用集合與集合間的關系

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：[m，n]?[f(a)，g(a)]，則f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即為實數a的取值范圍。

例5：當x∈??1??3，3??時，|logax|＜1恒成立，求實數a的取值范圍。

六、課后練習

1．已知函數f(x)=lg???x?ax?2???，若對任意x∈?2，???恒有f(x)＞0，試確定a的取值

范圍。

2．若(x，y)滿足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求實數c的取值范圍。

n??3．若不等式???1?1?n??≤e對任意的n∈N*都成立，其中e是自然對數的底數，求?的最大值。

4．定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log23且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求證f(x)為奇函數；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍。

第五篇：立體幾何的證明策略

立體幾何的證明策略：

幾何法證明

證明平行：3，2，11、線線平行：公理四，10頁

線面平行的性質定理，課本20頁面面平行的性質定理，36頁

2、線面平行：線面平行的判定定理，19頁面面平行的性質，36頁

3、面面平行：面面平行的判定定理，35頁 證明垂直：2，2，11、線線垂直：平移，相交，解三角形線面垂直的定義，23頁

2、線面垂直：線面垂直的判定定理，24頁面面垂直的性質定理，43頁

3、面面垂直：面面垂直的判定定理，43頁 向量法證明：

1、線線平行：??

a??b ????

2、線面平行：a??1b?2c

???????

3、面面平行：a??1c??2d且b??3b??4c ??

4、線線垂直：a?b?0

????

5、線面垂直：a?b?0且a?c?0

?????

6、面面垂直：n1?n2?0

求角的方法：

線線角：平移，相交，解三角形

??cos??a?b

| a|?b|||

線面角：斜線與射影夾角

??

?a?n

2?arcco|a

|?n|||

二面角：位置形狀兩個角度

位置：水平，豎直，有垂面（借助三垂線定理）形狀：等腰，直角，全等cos??

s1s

?????

與arccos|n1?n2

|n|相等或互補 1|?|n2|

求距離的方法

線線距離：公垂線段

轉化為點面距離

??

d?|a??n

|n|

|其中a是斜向量 點面距離：垂線段（可以借助垂面）轉化為其他點到平面距離等體積法

??

d?|a?n

?|n|

|其中a是斜向量