第一篇：第21講：不等式的證明(教師用書)

（聚焦2008四川高考）第21講：不等式的證明（2）

作套題，抓住知識點；詳評講，抓常規(guī)思維；仔細看，抓典型思維。

一、知識梳理

作商比較法不

綜合分析法 分析法 判別式法向量法 三角換元均值換元 明增量換元反證法 整體換元數(shù)學歸納法

構(gòu)造函數(shù)法

放縮法和最值法

二、點解讀與例（考）題

（一）判別式法法證明不等式

依據(jù)：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則

當a＞0時，若Δ≤0，則f（x）≥0；

當a＜0時，若Δ≤0，則f（x）≤0。

⑴與二次函數(shù)有關，或通過等價變換為二次函數(shù)的問題可試用判別式法證明。

⑵對含有兩個或兩個以上的字母，若能變成某一個字母為主元的二次方程，也可利用判別式法證明。

【例1】已知a，b∈R且b＞0 b?0，求證：a2+b2＞3a－2ab－3。

注：構(gòu)造a的二次三項式。

【例2】設a，b，c∈R，證明：a2+ac+b2+3b（a+b+c）≥0，并指出等號成立的條件。

分析：⑴視為a的二次三項式；

⑵計算判別式；

⑶當b+c=0，即b=－c時，Δ=0，此時f（a）=（a+b）2=0，從而a=－b=c時等號成立。

【例3】已知x，y∈R，M= x2+y2+1，N=xy+x+y，試比較M與N的大小。

分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?M?N?x?(y?1)x?y?y?1，于是由2

2f(x)?0的???3(y?1)2?0知，當且僅當y?2時，M?N取等號。第21講：不等式的證明（2）

1【例4】已知a,b,c?R且a?b?c?2,a?b?c?2，證明：222

4a,b,c?[0,]。

3分析：依題意得a?(b?2)a?(b?1)?0，此時可將方程視為關于a的一元二次方程，于是??(b?2)?4(b?1)?0，解得0?b?理可證a,b,c?[0,]。

注：⑴當求不等式的字母指明是實數(shù)時，可構(gòu)造一個一元二次方程，使不等式的字母作為方程各項的系數(shù)或常數(shù)項，從而利用判別式可得證。

⑵輪換對稱不等式的證明方法：證明一個，其與的同；同理可證。

【例5】已知a,b,c?R且a?b?c?0,abc?1，求證：a、b、c中一定有一個不小于4。

分析：①若a,b,c均大于0，則a?b?c?0；

②若a,b,c均小于0，則a?b?c?0；

③若a,b,c兩正一負，則abc?0。則都與已知矛盾。

從而知a,b,c兩負一正，不妨令a?0，則a?b??a,bc?

c為一元二次方程x?ax?222224。同3431，即b、a14?0的兩根。于是??a2??0，即aaa?4。同理可證。a,b,c?4。

1sec2x?tanx?3。【例6】求證：?3sec2x?tanx

策略：①如果是一元二次方程，則直接可利用判別式可證。

②如果是二次三項式，則先計算判別式，然后確定判別式的符號。

【例7】已知tanx=3tany（0＜y＜x＜?），且w=x—y，求w的最大值。

2（二）數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題。

（1）數(shù)學歸納法是證明具有遞推性的自然數(shù)命題P（n）的正確性的重

要的數(shù)學方法。

（2）證明程序：①命題的遞推基礎；②遞推依據(jù)。

（3）用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵在遞推依據(jù)，證明時必須明確： 當n=k+1時，所要證明的結(jié)果P（k+1）是什么，而且必須利用歸納假設P（k），經(jīng)過推理演算得出P（k+1）。

⑷在推證程序(遞推依據(jù))時，應依據(jù)具體問題靈活恰當?shù)靥幚砗褪褂霉椒ǎ罕容^法、分析法、放縮法等。

111n*++…+（n∈N），求證：f（2n）＞。23n

21311分析：當n=1時，f(2)?1???，此時不等式成立。假設當222

111kkn=k時不等式成立，即f(2)?1?????k?。2322

11111k?1則當n=k+1時，f(2)?1?????k?k???k?1＞2322?12

kk11111+(＞+（++…????)kkkkkkkk222?12?22?22?22?2【例8】已知f（n）=1+

k2kk1k?11k???+）（共2項）??k。kkk22?22222?2

故當n=k+1時不等式成立，即命題成立。

【例9】對于一切大于1的自然數(shù)n，證明：（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1。2

分析：當n=2時不等式成立。

假設當n?k(k?2)時不等式成立，即（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1成立。2

則當n=k+1時，（1+1111）（1+）…（1+）（1+）＞352k?12k?12k?12k?2k?1+=。于是由 22k?12k?

1(k?1

2k?1)2?(2k?321)??0(k?N?,n?2)知不等式24(2k?1)

成立。

故當n=k+1時不等式成立，即命題成立。

（三）構(gòu)造函數(shù)法：數(shù)學問題若能將其某些字母視為變量二建立聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)（一次、二次、指數(shù)函數(shù)等），從而利用函數(shù)性質(zhì)解決問題將會使問題獲得簡潔的求解（證明），構(gòu)造相應的公式證明不等式。

【例10】設不等式mx?2x?m?1?0對滿足|m|?2的一切m值都成立。求實數(shù)x的取值范圍。

變式：若x,y,z?(0,1),證明：(1?y)x?(1?z)y?(1?x)z?1。注：構(gòu)造一次函數(shù)證明即可。

【例11】設a1，a2，a3，…，an∈R+，證明：對?n?N有

22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。2*

策略：由不等式

22(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n?0對一切x?R而且x?N*均成立，即(a1x?1)2?(a2x?1)2???(anx?1)2?0，于是構(gòu)造二次函數(shù)。因此令

22y?(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n(ai?0,i?1,2,?,n對x?R而且x?N均成立，從而由??0得

22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。*

變式：求證：

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)，并

討論何時取得等號（柯西不等式）。

證：若ai?0或bi?0(i?1,2,?,n)，則左=右=0。此時不等式成立，且取等號。

若ai?0(i?1,2,?,n)不全為零，則考慮函數(shù)：

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，由f(x)?0對于一切實數(shù)x恒有成立，從而

2222f(x)?(a12?a2???an)x2?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b12?b2???bn)，于是依題意a1?a2???an?0且x?R，f(x)?0，從而由??0得

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)。22

2其中等號成立?f(x)?0的??0，即方程有相等實數(shù)根x0，即?(aix0?bi)2?0，從而

i?1nbb1b2???n?x0。a1a2an

bb1b2???n?x0時等a1a2an綜上所得當ai?0或bi?0(i?1,2,3,?,n)或

號成立。

例

3、已知a?b?0，求證：ab?ab。

策略1：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?()；策略2：比商法。

例

4、設三角形三邊a、b、c，求證：

策略：令f(x)?abbaabxabc。??1?a1?b1?cx1?1?,x?(0,??)。由函數(shù)的單調(diào)性知，1?x1?x

x在區(qū)間(0,??)上是單調(diào)遞增函數(shù)，于是由a、b、c為三角形1?x的三邊知a?b?c，從而有f(x)?

f(a?b)?f(c)，即

原不等式得證。

例

5、求證：sinx?2ababc????，故1?a1?b1?(a?b)1?(a?b)1?c4?5。2sinx

策略：⑴構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?x?

必須依單調(diào)性定義證明。4，⑵利用函數(shù)的單調(diào)性得證（但x

注：一般地，當x?0,a?0,b?0時。①f(x)?x?a在區(qū)間(0,a]單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,??)單調(diào)遞增； x

111,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax②f(x)?ax?

(??,?11]?[,??)單調(diào)遞增； aa

bbb,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax③f(x)?ax?

(??,?bb]?[,??)單調(diào)遞增。aa

例

6、設a、b、c、d∈R，22求證：a?b+c?d≥(a?c)?(b?d)。2222

精析：對于一個問題，多是利用常規(guī)思維方法進行求解，幾經(jīng)周折不得結(jié)果。這時，可以啟發(fā)學生利用數(shù)形結(jié)合的思想進行試探，于是學生馬上就會聯(lián)想到兩點間的距離公式。因為x1，x2，y1，y2∈R且含有平方和開方運算，形式與題意何等相似！

于是設P（a，b），Q（c，d）為坐標平面上兩點，則|OP|=a?b，22|OQ|=c?d，|PQ|=(a?c)?(b?d)，顯然有|OP|+|OQ|≥|PQ|。2222

（五）

第二篇：第21講：勞動法(2013年新版)

2Z201170勞動法（4分；６分；5分；5分）★★

2Z201171勞動保護的規(guī)定★★

1．勞動安全衛(wèi)生

（1）用人單位必須建立．健全勞動安全衛(wèi)生制度，嚴格執(zhí)行國家勞動安全衛(wèi)生規(guī)程和標準，對勞動者進行勞動安全衛(wèi)生教育，防止勞動過程中的事故，減少職業(yè)危害；

（2）勞動安全衛(wèi)生設施必須符合國家規(guī)定的標準。新建．改建．擴建工程的勞動安全衛(wèi)生設施必須與主體工程同時設計．同時施工．同時投人生產(chǎn)和使用；★★

（3）用人單位必須為勞動者提供符合國家規(guī)定的勞動安全衛(wèi)生條件和必要的勞動防護用品，對從事有職業(yè)危害作業(yè)的勞動者應當定期進行健康檢查；★★

（4）從事特種作業(yè)的勞動者必須經(jīng)過專門培訓并取得特種作業(yè)資格；★

（5）勞動者在勞動過程中必須嚴格遵守安全操作規(guī)程。勞動者對用人單位管理人員違章指揮．強令冒險作業(yè)，有權(quán)拒絕執(zhí)行；對危害生命安全和身體健康的行為，有權(quán)提出批評．檢舉和控告。★

【例】安全及勞動衛(wèi)生規(guī)程未對用人單位提出嚴格要求的是()。

A．執(zhí)行國家勞動安全衛(wèi)生規(guī)程和標準

B．為勞動者辦理意外傷害保險

C．對勞動者進行勞動安全衛(wèi)生教育

D．對從事有職業(yè)危害作業(yè)的勞動者應當定期進行健康檢查

【參考答案】B

2．女職工和未成年工特殊保護★★★

（1）女職工的特殊保護★★★

根據(jù)婦女生理特點組織勞動就業(yè)，實行男女同工同酬。

1）禁止安排女職工從事礦山井下．國家規(guī)定的第四級體力勞動強度的勞動和其他禁忌從事的勞動。

2）不得安排女職工在經(jīng)期從事高處．低溫．冷水作業(yè)和國家規(guī)定的第三級體力勞動強度的勞動。

3）不得安排女職工在懷孕期間從事國家規(guī)定的第三級體力勞動強度的勞動和孕期禁忌從事的勞動。對懷孕7個月以上的女職工，不得安排其延長工作時間和夜班勞動。

4）女職工生育享受不少于90天的產(chǎn)假。

5）不得安排女職工在哺乳未滿一周歲的嬰兒期間從事國家規(guī)定的第三級體力勞動強度的勞動和哺乳期禁忌從事的其他勞動，不得安排其延長工作時間和夜班勞動。

【例】女大學生孫某畢業(yè)后被企業(yè)錄用，孫某為了鍛煉自己，主動要求到是最苦．最累．最臟的崗位上工作。企業(yè)可以滿足她的要求，但不得安排的工作是()。

A．高處．高溫工作

B．低溫．冷水作業(yè)

C．夜班勞動

D．礦山井下作業(yè)

【參考答案】D

（2）未成年工特殊保護★★★

1）不得安排未成年工從事礦山井下．有毒有害．國家規(guī)定的第四級體力勞動強度的勞動和其他禁忌從事的勞動。

2）用人單位應當對未成年工定期進行健康檢查。

【例】未滿十七歲的張某應聘于某施工單位，下列關于此事說法正確的是()。

A．張某未成年，簽訂勞動合同屬無效勞動合同

B．因為是臨時工作，可以不簽勞動合同

C．不得安排張某從事有毒有害的勞動

D．可以安排張某從事有毒有害的勞動，但必須保證安全

2Z201172熟悉勞動爭議的處理★★

【例】下列爭議中，屬于勞動爭議的是()。（11真）

A．企業(yè)職工張某與某地方勞動保障行政部門因工傷認定結(jié)論發(fā)生的爭議

B．公司的股東李某因股息分配與該公司發(fā)生的爭議

C．退休職工王某與社會保險經(jīng)辦機構(gòu)因發(fā)放退休費用發(fā)生的爭議

D．進城務工的黃某與勞務分包企業(yè)因支付工資報酬發(fā)生的爭議

【參考答案】D

我國處理勞動爭議的程序通常為：協(xié)商．調(diào)解．仲裁和訴訟。★

1．協(xié)商★

勞動爭議發(fā)生后，當事人首先應當協(xié)商解決。協(xié)商一致的，當事人可以形成和解協(xié)議。但和解協(xié)議不具有強制執(zhí)行力，需要當事人自覺履行。協(xié)商不是處理勞動爭議的必要程序，當事人協(xié)商不成或不愿協(xié)商的，可以依法申請調(diào)解和仲裁。

2．調(diào)解★★

（1）調(diào)解組織

1）企業(yè)勞動爭議調(diào)解委員會

2）基層人民調(diào)解組織

3）在鄉(xiāng)鎮(zhèn)．街道設立的具有勞動爭議調(diào)解職能的組織

企業(yè)勞動爭議調(diào)解委員會由職工代表．企業(yè)代表組成。

【例】某建筑企業(yè)的勞動爭議調(diào)解委員會應由()組成。（10真）

A．企業(yè)的法定代表人與勞動行政部門的代表

B．企業(yè)的工會代表與勞動行政部門的代表

C．企業(yè)的職工代表和企業(yè)代表

D．企業(yè)的職工代表．企業(yè)代表和勞動行政部門的代表

【參考答案】C

（2）調(diào)解協(xié)議書★

調(diào)解協(xié)議書由雙方當事人簽名或蓋章，經(jīng)調(diào)解員簽名并加蓋調(diào)解組織印章后生效，對雙方當事人具有約束力，當事人應當履行。

（3）調(diào)解協(xié)議的履行★★

一方當事人不履行的，另一方可以依法申請仲裁。

因勞動報酬．工傷醫(yī)療費．經(jīng)濟補償或賠償金事項達成調(diào)解協(xié)議，用人單位在約定期限內(nèi)不履行的，勞動者可以持調(diào)解書向法院申請支付令。

3．仲裁★★★

（1）勞動爭議仲裁的特點（與《仲裁法》規(guī)定的仲裁比較而言）

1）主體不同：勞動仲裁委員會是行政機關；商事仲裁是民間組織；

2）解決對象不同

3）管轄不同：勞動仲裁是法定管轄；商事仲裁是約定管轄。

4）與訴訟關系不同：勞動仲裁是“先仲后訴”；商事仲裁是“或仲或訴”

（2）勞動爭議仲裁解決原則★★

1）一次裁決原則

2）合議原則

3）強制原則

（3）勞動爭議仲裁委員會與仲裁庭★★

1）勞動爭議仲裁委員會：不按行政區(qū)劃層層設立。

2）仲裁庭：仲裁庭在仲裁委員會領導下處理勞動爭議案件，實行一案一庭制。

仲裁庭由一名首席仲裁員和二名仲裁員組成。簡單案件，也可一名仲裁員獨任審理。

3）仲裁委員會或仲裁庭組成人員的回避

（4）勞動爭議仲裁的申請與受理★★

1）申請

申請時效期間為1年。注意中斷（主觀事由）與中止（客觀事由）的條件。

例外：拖欠勞動報酬爭議不受1年限制，但勞動關系終止的，應當自勞動關系終止之日起一年內(nèi)提出。★★★

2）受理：收到仲裁申請之日起5日內(nèi)受理。受理后5日內(nèi)送達仲裁申請書副本。10日內(nèi)提交答辯狀。★★

3）審理：申請人無正當理由拒不到庭或中途退庭，視為撤回申請；被申請人無正當理由拒不到庭或中途退庭，可缺席裁決。★★

部分事實清楚的，可就該部分先行裁決。

4）執(zhí)行

當事人對仲裁裁決不服的，可自收到仲裁裁決書之日起15日內(nèi)向人民法院提起訴訟。逾期不起訴的，仲裁裁決即發(fā)生法律效力。一方當事人不履行的，另一方當事人可向人民法院申請強制執(zhí)行。★★★

【例】根據(jù)《勞動爭議調(diào)解仲裁法》的規(guī)定，勞動爭議申請仲裁的時效期間為（），仲裁時效期間從當事人知道或者應當知道其權(quán)利被侵害之日起計算。（09真）

A．2個月

B．6個月

C．1年

D．2年

【參考答案】C

第三篇：第五講 利用導數(shù)證明不等式

利用導數(shù)證明不等式的兩種通法

利用導數(shù)證明不等式是高考中的一個熱點問題，利用導數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知x?(0,?2)，求證：sinx?x?tanx

證明這個變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinx?x以后，根據(jù)sinx?1?sinx?x來證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

?2)

技巧

一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點。

二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。

1、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

1?ln(x?1)?x x?

1如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

123【例2】已知函數(shù)f(x)?x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的g(x)?x23的圖象的下方；

首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

111【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?2?3 都成立.nnn

當F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)

練習

21.設a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx求證：當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

2.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b?

52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2(?x)?3.已知函數(shù)f(x)?ln1blna?lnb?1?.a

x，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有1?x4.f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式

f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。

例3已知m?n?0,a,b?R且(a?1)(b?1)?0

?求證：(an?bn)m?(am?bm)n

利用導數(shù)證明常數(shù)類不等式的關鍵是經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑢⒉坏仁阶C明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運用的難點和關鍵所在。構(gòu)造輔助函數(shù)關鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知0?????

練習

2．當x?1時,求證:2x?3?證明：a?b

ba?2，求證：

tan??tan??1???1 tan??tan?1已知a,b為實數(shù)，并且e

3．已知函數(shù)f(x)?ex?ln(x?1)?1?x?0?（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）若0?y?x，求證：ex?y?1?ln(x?1)?ln(y?1)

求證：(?e?ee)??(???e?)e

第四篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎剑瑹o理式變?yōu)橛欣硎剑芎喕C明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

第五篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對滿足x?y?z?1的一切正實數(shù) x,y,z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項公式；an?2n?1

(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設數(shù)列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,有數(shù)學歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學歸納法證明不等式：

．