第一篇：不等式的證明

復習課：不等式的證明

教學目標

1.知識與技能

（1）.理解絕對值的幾何意義并能用其證明不等式和解絕對值不等式.（2）.了解數學歸納法的使用原理.（3）.會用數學歸納法證明一些簡單問題.（4）.了解證明不等式的常用方法.2.過程與方法

通過自主學習、課上討論、提問、分析點評，讓學生更加熟練解決有關不等式證明有關的問題.3.情感、態度和價值觀

（1）培養學生分析、探究問題的能力，進一步培養學生學習數學的興趣及綜合運用基本知識解決問題的能力.（2）培養他們合作、交流、創新意識以及數形結合、抽象理解能力,使學生學會數學表達和交流，發展數學應用意識.學法與教具

（1）學法：課下自主復習、課堂上合作探究.（2）教具：教學案、多媒體.一、【知識梳理】

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容.1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述.(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：、放縮法、反證法、函數單調性法、、數形結合法等.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點.(1)反證法的一般步驟：反設——推理——導出矛盾（得出結論）；(2)放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析、多次嘗試得出,要注意

放縮的適度。常用的方法是：

1?3?1??

①添加或舍去一些項，如：a?1?a，n(n?1)?n，?a?????a??

2?4?2??

②將分子或分母放大（或縮小）如：

1n

?

n(n?1)n

ab),2

?

1n(n?1)

③真分數的性質：“若0?a?b，m?0,，則?

a?mb?m?(lg

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?（n(n?1)?

lg3?lg

2)?(lg

2)

?(lg4)

?lg4；

n?(n?1)

.⑤利用函數的單調性

⑥利用函數的有界性：如：sinA?1,A?R；2x?0,x?R.⑦利用常用結論： Ⅰ、1K1K?

2K?2K?1k(k?1)1k

K

?

2K?

2K?1k

K?1K?

1?2(K?1?K)(k?N,k?1)

*

?

K

??2(K?K?1)(k?N,k?1)

*

Ⅱ、1k

??

1k?

1? ；

1k

?

1k(k?1)

1k?1

?

1k

?

1k?1

（程度大）

Ⅲ、1k

?

?

1?

(k?1)(k?1)

?

2k?1

（?)；（程度小）

⑧絕對值不等式：a?b?a?b?a?b；

nn1n?1

⑨應用二項式定理.如：2?(1?1)?1?Cn???Cn?1?2(n?1)(n?4)

3構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式.二、【范例導航】

例1.設不等式2x?1?1的解集為M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．

解：（I）由2x?1?1解得0?x?1.所以M??x0?x?1（II）由（I）可知a?Mb?M，故0?a?1,0?b?1 所以(ab?1)?(a?b)?(a?1)(b?1)?0故ab?1?a?b

例2.已知a、b、c∈R+，且a?b?c?1求證：(1?a)(1?b)(1?c)?8(1?a)(1?b)(1?c).剖析：在條件“a?b?c?1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a?b?c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決問題.證

明

：

∵

a,b,c?R且a?b?c?

1?

?

∴要證原不等式成立，即證

?(a?b?c)?a???(a?b?c)?b???(a?b?c)?c??8?(a?b?c)?a???(a?b?c)?b???(a?b?c)?c?

也就是證

?(a?b)?(c?a)???(a?b)?(c?b)???(a?c)?(b?c)?8(b?c)(c?a)(a?b)??1?

∵(a?b)?(b?c)?2(a?b)(b?c)?0，(a?c)?(b?c)?2(a?c)(b?c)?0(a?b)?(a?c)?2(a?b)(a?c)?0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.例3．證明不等式1?

12?13???

1n

?

?2n(n?N)

證：對任意n?N?，都有： 1k?

2k?12?k13?

2k????

k?11n

?2(k?k?1),2)???2(n?

n?1)?2n.因此1??2?2(2?1)?2(3?

例4.證明

：(1?)(1?)??????(1?

112n?1)?

2n?12n?1

?

75???

2n?12n?1

?

2n?1

3?

2n?1

2證明方法

一、?1?

?(1?

13)(1?

512n?

1?

2n2n?1)?

43?

?65

(2n?1)(2n?1)2n?12n?1

???

2n2n?1

?

?

53)?(1?

5476

2n?1?76

證明方法

二、設B?則AB?又因為所以A

43?54??65?

???2n2n?

12n?1

???

2n

2n?12n，?2n?1

32n2n?1

2n?12n

?2n?1

4,?A?

2n?1

2?AB?

2n?13

例5.已知：a,b,c都是小于1的正數；求證(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a中至少有一個不大于.證明：假設(1?a)b?

14,(1?b)c?

14,(1?c)a?

1232,14，則有

12,(1?c)a?

∵a，b，c都是小于1的正數，(1?a)b?從而有(1?a)b?

(1?b)c?

(1?c)a?

(1?b)c?

?

1?b?c

?

1?c?a

?32

但是(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?

1?a?b

故與上式矛盾，假設不成立，原命題正確．

【說明】反證法是利用互為逆否命題具有等價性的思想進行推證的．反證法必須羅列各種與原命題相異的結論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命題常用反證法．

三、【解法小結】

1.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.4.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等，在放縮法中一定要注意放縮的尺度問題不能過大也不能過小.四、【布置作業】

必做題：

1.不等式x?3?x?1?a?3a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為（）

A．???,?1???4,???2.設an?

sin1

2?sin22

B．???,?2???5,???C．?1,2?D．???,?1???2,???

sinn2

n

???, 則對任意正整數m,n(m?n), 都成立的是（）

m?n2

A．an?am?

m?n2

B．an?am? C．an?am?

n

D．an?am?

n

3.(陜西長安二中2008屆高三第一學期第二次月考)設

1ba

?()?()?1，那么()222

A.aa?ab?baB.aa?ba?abC。ab?aa?baD.ab?ba?aa

4．(2012,四川文)設a,b為正實數,現有下列命題:

① 若a2?b2?1,則;a?b?1 ②若③若

1b?1a

?1,則a?b?1;

a?b?1,則a?b?1;

④若a3?b3?1,則a?b?1.其中的真命題有___________（寫出所有正確的題號）必做題答案:

1.A解析:因為x?3?x?1?a?3a對任意x恒成立，又因為x?3?x?1最大值為4所以 a?3a?4解得a?4或a??

sinn?12

n?

12.C

an?am?

?

sinn?22

n?2

???

sinm21

m

?

sin(n?1)2

n?1

?

sin(n?2)2

n?2

???

sinm2

m

?

n?1

?

n?2

???

m

?

n?1

?

n?2

???

m

1?2

n?1

?

m?1

?

n

?

m

?

n

1?

故應選C

16.答案C17、①④

選做題：（遼寧2011理21）已知函數f(x)?lnx?ax2?(2?a)x．（I）討論f(x)的單調性；（II）設a?0，證明：當0?x?

1x

時，f（1a

?x)?f（1a

?x)；

（III）若函數y?f(x)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f?(x0)?0． 解：（I）f(x)的定義域為(0,??), f?(x)?

1x

?2ax?(2?a)??

(2x?1)(ax?1)

x

??）（i）若a?0則f?(x)?0,所以f(x)在（0，單調增加.（ii）若a?0則由f?(x)?0得x?

1a

且當x?(0,)時，f?(x)?0,當x?

a

11a

時，f?(x)?0,1單調增加，在(,??)單調減少.所以f(x)在（0）a

a

（II）設函數g(x)?f（a1?ax

1x

1a

?x)?f（1a

?x)則g(x)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax

1a

g?(x)??

a1?ax

?2a?

1a

2ax

1?ax

1a,當0?x?時，g?(x)?0,而g(0)?0,所以g(x)?0.故當0?x?時，f（?x)?f（?x)

（III）由（I）可得，當a?0函數y?f(x),的圖像與x軸至多有一個交點，?1??1?

?,且f???0不妨設?a??a?

1a?x

2故a?0，從而f(x)的最大值為f?

A(x1,0)B(x20),0?x1?x2,則0?x1?

2a

1a

1a

由（II）得f（?x1)?f（?

?x1)?f(x1)?0從而x2?

2a

?x1,于是x0?

x1?x2

?

1a

由（I）知，f?(x)?0

五、【教后反思】

1.本節內容在整個高中階段是屬于比較困難的問題，本節教學案我們用了以后學生普遍感覺非常困難，題目數量不是太多，但是用的時間很長，另外還有很多的思想方法不是很清晰.2.再利用放縮法證明不等式的時候很多學生對于方法的利用太死板,不靈活,對方法的掌握還有待于進一步加強.

第二篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

第三篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實數，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對滿足x?y?z?1的一切正實數 x,y,z恒成立，求實數a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數，求證：

分析法證明不等式

7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實數，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設各項均為正數的數列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構成等比數列．

(1)證明：a2?

(2)求數列?an?的通項公式；an?2n?1

(3)證明：對一切正整數n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設數列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數n,有數學歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對一切正整數n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數a的最大值，并證明結論．25

17.用數學歸納法證明不等式：

．

第四篇：不等式證明經典

金牌師資，笑傲高考

2013年數學VIP講義

【例1】 設a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發現縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續縮小，處理的方法與剛才類似。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

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ab?1212

2013年數學VIP講義

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實數，求證：?（2）a，b，c為正實數，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結構與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發現不行，a，b，c的整式項全消去了。為了達到目的，應在系數上作調整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實數，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據x+y和x2+y2的結構特點，聯想到算術平均數與平方平均數之間的不等關系。∵ x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數，故可從求函數最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉化為一元函數，再用單調性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數學VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當的參數，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數學常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復雜（如從次數看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當的化簡、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對任意實數a，b，恒有f(a)

112.不等號兩邊字母不統一，采用常規方法難以著手。根據表達式的特點，借助于函數思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數學VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數而已，這種思路在兩數大小比較時曾講過。由此也說明，實數大小理論是不等式大小理論的基礎。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。

這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。

從特殊化的思想出發得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。

當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。

思路二：直接利用絕對值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論

① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。

評注：本題證明過程中，還應根據不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。

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2013年數學VIP講義

1、設a，b為正數，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。

12、當00且t≠1時，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數，求證：

19、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數學VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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第五篇：不等式證明

§14不等式的證明

不等式在數學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據.對一個不等式進行變形的性質：

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對兩個以上不等式進行運算的性質.（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據.（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數學歸納法、構造函數方法等.當然在證題過程中，常可“由因導果”或“執果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a,b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a,b,c?0，求證：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8

7．利用排序不等式證明Gn?An

8．證明：對于任意正整數R，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 課后練習

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數解有().（A）一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,?，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個

（C）5個

（D）6個 2．填空題

（1）的個位數分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.求三個正整數x、y、z滿足

23.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？

5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.如果p、q、、都是整數，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次22數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.222

229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數式，故嘗試用商較法.不等式關于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且

ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉化為兩個有序數組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個不等式.bcacab

222不妨設a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項

ai1?a?；可理解為兩數之積，嘗試用排序不等式.i22ii設b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次數及22系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數式呢.44要證a?b?1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數a1,a2,?an)

調和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術平均An?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均Qn?

2這四個平均值有以下關系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當且僅當a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術平均.n?11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.