2021年高中數學人教A版（新教材）選擇性必修第二冊第四章章末復習課

(滿分：150分　時間：120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知數列1，，3，…，…，則是這個數列的()

A．第10項

B．第11項

C．第12項

D．第21項

2．已知等差數列{an}滿足3a3＝4a4，則該數列中一定為零的項為()

A．a6

B．a7

C．a8

D．a9

3．等比數列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的兩根，則a4等于()

A．8

B．－8

C．±8

D．以上選項都不對

4．已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()

A．1

B．9

C．10

D．55

5．設{an}是公差不為0的等差數列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比數列，則{an}的前n項和Sn＝()

A．＋

B．＋

C．＋

D．n2＋n

6．大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理．數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，它是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，該數列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則該數列第18項為()

A．200

B．162

C．144

D．128

7．已知數列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，則a2

020＝()

A．2

017

B．2

018

C．2

019

D．2

020

8．已知等差數列的公差不為零，其前n項和為Sn，若S3，S9，S27成等比數列，則＝()

A．3

B．6

C．9

D．12

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9．已知等比數列的前n項和為Sn，下列數列中一定是等比數列的有()

A．

B．

C．

D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n

10．設是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5S8，則下列結論正確的是()

A．d<0

B．a7＝0

C．S9>S5

D．S6與S7均為Sn的最大值

11．已知兩個等差數列和的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則使得為整數的正整數n的值為()

A．2

B．3

C．4

D．14

12．在公比q為整數的等比數列中，Sn是數列的前n項和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是()

A．q＝2

B．數列是等比數列

C．S8＝510

D．數列是公差為2的等差數列

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)

13．已知各項均不為0的等差數列，滿足2a3－a＋2a11＝0，數列為等比數列，且b7＝a7，則b1·b13＝________.14．數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________.15．《張丘建算經》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今共織九十尺，問織幾日？”．其中“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布，則每天比前一天少織布的尺數為________．

16．已知數列滿足a1＝21，an＋1＝an＋2n，則a4＝________，數列的最小值為________．(本題第一空2分，第二空3分)

四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．(本小題滿分10分)已知數列{an}為等差數列，且a3＝5，a7＝13.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列{bn}滿足an＝log4bn，求數列{bn}的前n項和Tn.18．(本小題滿分12分)已知正項數列的前n項和為Sn，且Sn＝2.(1)求a1，a2；

(2)求證：數列是等差數列．

19．(本小題滿分12分)已知數列{an}，{bn}滿足an＋1－an＝bn，為等比數列，且a1＝2，a2＝4，a3＝10.(1)試判斷列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(2)求an.20．(本小題滿分12分)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k.(1)求{an}的通項公式；

(2)若bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn.21．(本小題滿分12分)已知{an}是各項均為正數的等比數列，{bn}是等差數列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)設cn＝anbn，n∈N*，求數列{cn}的前n項和．

22．(本小題滿分12分)某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2

000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元．

(1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關系式；

(2)若公司希望經過m(m≥3)年使企業的剩余資金為4

000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值(用m表示)．

參考答案

(滿分：150分　時間：120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．答案：B

解析：觀察可知該數列的通項公式為an＝(事實上，根號內的數成等差數列，首項為1，公差為2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故選B.2．

答案：B

解析：∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d，∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故選B.3．

答案：A

解析：∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q為公比)，∴a4＝8.4．

答案：A

解析：a10＝S10－S9.由條件知S1＋S9＝S10.∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故選A.5．

答案：A

解析：設公差為d，則a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝.∴an＝2＋(n－1)×＝n＋.∴Sn＝＝n2＋.故選A.6．

答案：B

解析：偶數項分別為2，8，18，32，50，即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，即偶數項對應的通項公式為a2n＝2n2，則數列的第18項為第9個偶數，即a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162，故選B.7．

答案：C

解析：∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)，即數列{an－n}是以1為首項，－1為公比的等比數列，∴an－n＝(－1)n－1，∴an＝n＋(－1)n－1，∴a2

020＝2

020－1＝2

019.8．

答案：C

解析：由題意，知S3，S9，S27成等比數列，所以S

＝

S3

×S27，即＝×，整理得81a＝

3a2

×27a14，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，解得d＝2a1，所以＝÷＝＝＝＝9，故選C.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9．答案：AB

解析：由數列{an}為等比數列可知，＝q，(q≠0)，對于A，＝

q2，故A正確；對于B，＝＝q2≠0，故B正確；對于C，lg

an－lg

an－1＝lg＝lg

q，為等差數列，但是不一定為常數，即不一定為等比數列，故C錯誤；對于D，若an＝(－1)n為等比數列，公比為－1，則Sn有可能為0，不一定成等比數列，故D錯誤．故選AB.10答案：ABD

解析：由是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5S8，則a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0，則數列為遞減數列，即選項A，B正確；

由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，即S9

由a1>a2>…>a6＞a7＝0>a8>a9>…，可得S6與S7均為Sn的最大值，即選項D正確，故選ABD.11.答案：ACD

解析：由題意可得＝＝＝，則＝＝＝＝3＋，由于為整數，則n＋1為15的正約數，則n＋1的可能取值有3，5，15，因此，正整數n的可能取值有2，4，14.故選ACD.12．

答案：ABC

解析：因為數列為等比數列，又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，所以

或又公比q為整數，則

即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，對于選項A，由上可得q＝2，即選項A正確；

對于選項B，Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，則數列是等比數列，即選項B正確；

對于選項C，S8＝29－2＝510，即選項C正確；

對于選項D，lg

an＋1－lg

an＝(n＋1)lg2－nlg2＝lg2，即數列是公差為lg2的等差數列，即選項D錯誤．故選ABC.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)

13．答案：16

解析：各項均不為0的等差數列，2a3－a＋2a11＝0，∴4a7－a＝0，∴a7＝4，b1

·b13

＝

b

＝

a

＝

16.14.答案：768

解析：由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以數列{Sn}是首項為1，公比為4的等比數列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.15．

答案：

解析：設第n天織布的尺數為an，可知數列為等差數列，設等差數列的公差為d，前n項和為Sn，則a1＝5，an＝1，Sn＝90，則Sn＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－，因此，每天比前一天少織布的尺數為.16．

答案：33

解析：因為an＋1＝an＋2n，所以an＋1－an＝2n，從而an－an－1＝2(n－1)(n≥2)．所以

a4－a3＝2×3＝6，a3－a2＝2×2＝4，a2－a1＝2×1＝2，a1＝21，∴a4＝6＋4＋2＋21＝33.an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)

＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＝2×[1＋2＋…＋(n－1)]＝2×＝n2－n.而a1＝21，所以an＝n2－n＋21，則＝＝n＋－1，因為f

(n)＝n＋－1在(0，4]遞減，在[5，＋∞)遞增，當n＝4時，＝＝8.25，當n＝5時，＝＝8.2，所以n＝5時取得最小值，最小值為.四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．解：(1)設an＝a1＋(n－1)d，則解得a1＝1，d＝2.所以{an}的通項公式為an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)依題意得bn＝4an＝42n－1，因為＝＝16，所以{bn}是首項為b1＝41＝4，公比為16的等比數列，所以{bn}的前n項和Tn＝＝(16n－1)．

18．解：(1)由已知條件得：a1＝2，∴a1＝1.又有a1＋a2＝2，即a－2a2－3＝0，解得a2＝－1(舍)或a2＝3.(2)由Sn＝2得n≥2時，Sn－1＝2，∴Sn－Sn－1＝＝，即4an＝a－a＋2an－2an－1，∴a－a－2an－2an－1＝0，∴＝0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，經過驗證n＝1也成立，所以數列是首項為1，公差為2的等差數列．

19．解：(1)數列{bn}不是等比數列．

理由如下：

由an＋1－an＝bn，且a1＝2，a2＝4，a3＝10得：

b1＝a2－a1＝2，b2＝a3－a2＝6，又因為數列{bn＋2}為等比數列，所以可知其首項為4，公比為2.所以b3＋2＝4×22＝16，∴b3＝14，顯然b＝36≠b1b3＝28，故數列{bn}不是等比數列．

(2)結合(1)知，等比數列{bn＋2}的首項為4，公比為2，故bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2，因為an＋1－an＝bn，∴an－an－1＝2n－2(n≥2)．

令n＝2，…，(n－1)，累加得an－2＝－2(n－1)，∴an＝－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n，又a1＝2滿足上式，∴an＝2n＋1－2n.20．解：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－22－k－k＝4n＋k－2，當n＝1時，a1＝S1＝2k＋2，又數列為等差數列，故當n＝1時，a1＝2k＋2＝2＋k，解得k＝0，故an＝4n－2.(2)由(1)可知，bn＝＝，故Tn＝＝＝

.故數列{bn}的前n項和Tn＝.21．解：(1)設數列{an}的公比為q，數列{bn}的公差為d，由題意知q＞0.由已知，得

消去d，整理得q4－2q2－8＝0.因為q＞0，解得q＝2，所以d＝2.所以數列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N*；

數列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，設{cn}的前n項和為Sn，則

Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n

＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.22．解：(1)由題意得a1＝2

000(1＋50%)－d＝3

000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4

500－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d

＝·an－2－d－d

＝…

＝a1－d.整理得an＝(3

000－d)－2d＝·(3

000－3d)＋2d.由題意知am＝4

000，所以(3

000－3d)＋2d＝4

000，解得d＝＝.故該企業每年上繳資金d的值為萬元時，經過m(m≥3)年企業的剩余資金為4

000萬元．