不等式的性質

【例1】　如果a，b，c滿足c＜b＜a且ac＜0，則以下列選項中不一定成立的是()

A．ab＞ac

B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2

D．ac(a－c)＜0

C　[c＜b＜a，ac＜0?a＞0，c＜0.對于A：?ab＞ac，A正確．

對于B：?c·(b－a)＞0，B正確．

對于C：?cb2≤ab2cb2＜ab2，C錯，即C不一定成立．

對于D：ac＜0，a－c＞0?ac(a－c)＜0，D正確，選C.]

不等式真假的判斷，要依靠其適用范圍和條件來確定，舉反例是判斷命題為假的一個好方法，用特例法驗證時要注意，適合的不一定對，不適合的一定錯，故特例只能否定選擇項，只要四個中排除了三個，剩下的就是正確答案了.1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是()

A．ab>ac

B．ac>bc

C．a|b|>c|b|

D．a2>b2>c2

A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故選A.]

2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍為________．

－1≤a－b≤6　[∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.]

基本不等式

【例2】　設x<－1，求y＝的最大值．

[解]　∵x<－1，∴x＋1<0.∴－(x＋1)>0，∴y＝＝

＝＝(x＋1)＋＋5

＝－＋5

≤－2＋5＝1，當(x＋1)2＝4，即x＝－3時取“＝”．]

基本不等式的主要應用是求函數的最值或范圍，既適用于一個變量的情況，也適用于兩個變量的情況.基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能.解答此類問題關鍵是創設應用不等式的條件，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的目的在于使等號能夠成立.3．若x，y為實數，且x＋2y＝4，則xy的最大值為________．

2　[xy＝·x·(2y)≤·2＝2(當且僅當x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1時取“＝”)．]

一元二次不等式的解法

【例3】　解關于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a.函數y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上，所以

(1)當a＜－1時，原不等式解集為{x|a＜x＜－1}；

(2)當a＝－1時，原不等式解集為?；

(3)當a＞－1時，原不等式解集為{x|－1＜x＜a}．

解一元二次不等式時，要注意數形結合，充分利用對應的二次函數圖像、一元二次方程的解的關系.如果含有參數，則需按一定的標準對參數進行分類討論.4．若關于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，則m＝________.2　[因為ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1??]

不等式恒成立問題

【例4】(1)若不等式x2＋mx－1＜0對于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，則實數m的取值范圍是________．

(2)對任意－1≤m≤1，函數y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．

(1)－＜m＜0　[由題意，得函數y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又拋物線y＝x2＋mx－1開口向上，所以只需

即解得－＜m＜0.]

(2)[解]　由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m

＝(x－2)m＋x2－4x＋4，g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m為自變量的一次函數．

由題意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，所以

解得x＜1或x＞3.故當x＜1或x＞3時，對任意的－1≤m≤1，函數y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．

對于恒成立不等式求參數范圍問題常見類型及解法有以下兩種：

(1)變更主元法

根據實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元.(2)轉化法求參數范圍

已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值的集合為B＝{y|m≤y≤n}，則(1)y≥k恒成立?ymin≥k即m≥k；

(2)y≤k恒成立?ymax≤k即n≤k.5．若不等式ax2－2x＋2>0對于滿足1

[解]　∵10可化為a>.令y＝，且1即為所求．