2.2　基本不等式

第1課時　基本不等式

學習

目

標

核

心

素

養

1.了解基本不等式的證明過程．(重點)

2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數式的大小.1.通過不等式的證明，培養邏輯推理素養．

2．借助基本不等式形式求簡單的最值問題，提升數學運算素養.1．重要不等式

?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．

2．基本不等式

(1)有關概念：當a，b均為正數時，把叫做正數a，b的算術平均數，把叫做正數a，b的幾何平均數．

(2)不等式：當a，b是任意正實數時，a，b的幾何平均數不大于它們的算術平均數，即≤，當且僅當a＝b時，等號成立．

1．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是()

A．a＝±1

B．a＝1

C．a＝－1

D．a＝0

B　[當a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1時，“＝”成立．]

2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()

A．a2＋b2

B．2

C．2ab

D．a＋b

D　[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．]

3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為()

A．1　　　　B．2

C．4　　　　D．8

B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，當且僅當a＝b＝1時取等號，故a＋b的最小值為2.]

4．當a，b∈R時，下列不等關系成立的是________．

①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③　[根據≥xy，≥成立的條件判斷，知①②④錯，只有③正確．]

對基本不等式的理解

【例1】　給出下面四個推導過程：

①∵a、b為正實數，∴＋≥2＝2；

②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；

③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正確的推導為()

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

B　[①∵a、b為正實數，∴、為正實數，符合基本不等式的條件，故①的推導正確．

②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，∴＋a≥2＝4是錯誤的．

③由xy＜0，得、均為負數，但在推導過程中將整體＋提出負號后，、均變為正數，符合均值不等式的條件，故③正確．]

1．基本不等式≤

(a＞0，b＞0)反映了兩個正數的和與積之間的關系．

2．對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a、b都是正數．(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，≤的等號成立，即a＝b?＝；僅當a＝b時，≥的等號成立，即＝?a＝b.1．下列不等式的推導過程正確的是________．

①若x＞1，則x＋≥2＝2.②若x＜0，則x＋＝－

≤－2＝－4.③若a，b∈R，則＋≥2＝2.②　[

①中忽視了基本不等式等號成立的條件，當x＝時即x＝1時，x＋≥2等號成立，因為x＞1，所以x＋＞2，③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數這一條件．]

利用基本不等式比較大小

【例2】(1)已知a，b∈R＋，則下列各式中不一定成立的是()

A．a＋b≥2

B.＋≥2

C.≥2

D.≥

(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關系是________．

(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac　[(1)由≥得a＋b＝2，∴A成立；

∵＋≥2＝2，∴B成立；

∵≥＝2，∴C成立；

∵≤＝，∴D不一定成立．

(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．

即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]

1．在理解基本不等式時，要從形式到內含中理解，特別要關注條件．

2．運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是()

A．P＞Q＞M

B．M＞P＞Q

C．Q＞M＞P

D．M＞Q＞P

B　[顯然＞，又因為＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]

利用基本不等式證明不等式

【例3】　已知a，b，c是互不相等的正數，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋>9.[思路點撥]　看到＋＋>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，裂項構造基本不等式的形式，用基本不等式證明．

[證明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋＋＋＋

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2

＝3＋2＋2＋2

＝9.當且僅當a＝b＝c時取等號，∴＋＋>9.本例條件不變，求證：>8.[證明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴

＝··

≥＝8，當且僅當a＝b＝c時取等號，∴＞8.1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創造條件，另一方面可實現約分與不等式的右邊建立聯系．

2．先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．

3．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[證明]　由基本不等式可得

a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求證：a＋2b≥2＋7.[證明]　由＋＝1，得b＝(a＞1)，則a＋2b＝a＋＝a＋

＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7

≥2＋7，當a－1＝時，即a＝1＋時，取等號．

1．應用基本不等式時要時刻注意其成立的條件，只有當a>0，b>0時，才會有≤.對于“當且僅當……時，‘＝’成立…”這句話要從兩個方面理解：一方面，當a＝b時，＝；另一方面：當＝時，也有a＝b.2．應用基本不等式證明不等式的關鍵在于進行“拼”、“湊”、“拆”、“合”、“放縮”等變形，構造出符合基本不等式的條件結構..1．思考辨析

(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．()

(2)若a≠0，則a＋≥2＝2.()

(3)若a>0，b>0，則ab≤2.()

[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當a，b都為正數時，不等式a＋b≥2成立．

(2)只有當a>0時，根據基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．

(3)因為≤，所以ab≤2.[答案](1)×(2)×(3)√

2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()

A．a－b<0

B．0<<1

C.<

D．ab>a＋b

C　[∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]

3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號成立的條件是()

A．x＝3

B．x＝－3

C．x＝5

D．x＝－5

C　[由基本不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]

4．設a>0，b>0，證明：＋≥a＋b.[證明]　∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋≥a＋b.