第一篇：高中數學 基本不等式及其應用教案

基本不等式及其應用教案

教學目的

(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．

教學過程

一、引入新課

師：上節課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數集？為什么？

生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(a－b)2∈R+∪{0}這一性質，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．

二、推導公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個以上實數的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結果呢？先考查兩個實數的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個正實數的立方和又具有什么性質呢？

生：由③式的推導方法，再增加一個正實數c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數的立方和會有什么結果，進一步還會想到4個正數的4次方的和會有什么結果，直至n個正數的n次方的和會有什么結果．這些問題留給同學們課外去研究．

4．推論

師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．

⑦

(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)

⑨

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

何平均數．⑨式表明：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．這是一個著名的平均數不等式定理．現在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．

三、小結

(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．

四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a2＋b2=c2表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當且僅當sin2A=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)．

三、應用公式練習

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R．若tgα、ctgα∈R．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．] +

+

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時，要根據題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件．只有公式①、②對任何實數都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(事實上對非負實數也成立)．

2．填空：

(1)當a________時，an＋a－n≥________；

(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應用重要不等式也可以求一些函數的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數值估計．如

表明任何自然數的算術平方根不大于該數加1之半．

第二篇：基本不等式 2.2.2 基本不等式的應用教案

2.2.2?基本不等式的應用

【學習目標】

掌握利用基本不等式求參數范圍

在使用均值不等式過程中，要注意定理成立的條件，為能使用定理解題，要采用配湊法、換元法，創造條件應用均值不等式。

通過運用基本不等式解決實際應用性問題，提高應用數學手段解決實際問題的能力與意識。

能應用均值不等式解決最值

【學習重點】

基本不等式求最值時，需滿足“一正，二定，三相等”的條件

【學習難點】

基本不等式求參數的取值范圍時，應注意的事項以及條件.[自主學習]

1．基本不等式，若a>b>0,m>0,則?；

若a,b同號且a>b則。

2．均值不等式:

兩個正數的均值不等式：?變形，等。

3．最值定理:設

（1）如果x,y是正數,且積,則xy時,（2）如果x,y是正數和,則x=y時,運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

[典型例析]

例1（1）設且恒成立，求的取值范圍？

變式訓練

（1）若對任意，恒成立，則的取值范圍是多少？

例2??如圖所示動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成．

(1)現有可圍36?m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

(2)要使每間虎籠面積為24?m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網總長最小？

變式訓練

（2）如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最小？

例3?已知且，則的最小值為（）

A.B.C.D.例4求函數的最大值

[當堂檢測]

1.已知，則的最小值是.2.若x，y是正數，則的最小值是

3.函數的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為???????????????．

4．已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為

[學后反思]____________________________________________________?_______

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第三篇：基本不等式教案

基本不等式

【教學目標】

1、掌握基本不等式，能正確應用基本不等式的方法解決最值問題

2、用易錯問題引入要研究的課題，通過實踐讓同學對基本不等式應用的二個條件有進一步的理解

3、會應用數形結合的數學思想研究問題 【教學重點難點】

教學重點: 基本不等式應用的條件和等號成立的條件 教學難點：基本不等式等號成立的條件 【教學過程】

一、設置情景，引發探究 問題一：x?1有最小值嗎？ x2問題二：x?3?1x?32?2正確嗎？

二、合作交流，研究課題

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，當且僅當a=b時取到等號。22

22a2?b2a?b2 R中，當且僅當a=b時取到等號。??ab?，1122?ab?注意：

1、公式應用的條件

2、等號成立的條件

三、實例分析，深化理解 例

1、求所給下列各式的最小值（1）y?a? 1(a?3)a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1當且僅當a?3??a?3?1?a?4時，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1)（2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上單調遞減，在[0,1]上單調遞增，當且僅當x?11?(1?x??1)?x?0時，y有最小值1。22(x?1)11+的最小值.xy總結：想求和的最小值，乘積為定值

例

2、已知正數x、y滿足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y?22xy，∴xy?

1； 8（2）∵x、y為正數，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy當且僅當

22yx=，即當x=2－1，y=1－時等號成立.2xy∴11+的最小值為3+22.（目的：發現同學中的等號不成立的錯解）xy總結：想求乘積的最大值，和為定值

四、總結提高，明確要點

五、布置作業，復習鞏固

教學反思：加強利用均值不等式及其他方法求最值的練習，在求最大（小）值時，有三個問題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出現積為定值或和為定值；第三，要注意等號成立的條件，若等號不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（小）值.

第四篇：高中數學不等式

數學基礎知識與典型例題

數學基礎知識與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?7?5 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?（1?x2?1

例16.解：原不等式等價于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當x>0時，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當x<0時，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當a>0時，{x|x??a或x?0}； 當a=0時，{x|x?R且x?0}； 當a<0時，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當y≠2時，要方程有實數解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述, －

2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?a?b)

另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數的情況，這時可構造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當a、b、c中有負數或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數學第二冊(上)第27頁例

1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaaa?b?c?a?b??c

a?b?c

例22.高中數學第二冊(上)第17頁習題9 法一:構造函數法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aa?m?bb?m?c

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bb?m?c

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aa?m?bb?m?c

c?m.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數學第二冊(上)第13頁例

46、當你發現有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢”吧！

Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會讓你變得偉大！

一個人的夢想有多么偉大，他就有多么偉大！

偉大的目標，即使吹起牛來都很爽！所以，目標一定要遠大！你人生才會過得充實而干勁十足！

我在這十多年瘋狂英語的奮斗路上，我發現一個真理：

“人的潛能無限！相信自己，就能創造奇跡；懷疑自己，人生就會在可憐、悲慘中度過！”

每個人其實都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財富。

而可悲的是，大多數的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因為他們的父母，和他們所處的時代，也沒有給他們這把鑰匙。

我們太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當我們發現有這把鑰匙的時候，已經年過30歲了??

其實，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。

在此，我非常急切地想與大家分享一個“18歲就成功的故事”，告訴你如果發現自己有“非凡天賦”時,就瘋狂地造夢想吧，從此，你就會自發地苦練，并為自己的家庭帶來夢中渴求的一切。

在丁俊暉8歲時，父親送給他一件特別的禮物——一支臺球桿。他很快發現：兒子在臺球桌上有非凡的天賦，兩年下來，已經打遍當地無敵手。

有一次，爸爸讓小俊暉與臺球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰勝他。”

看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個驚人的決定：賣掉家鄉的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學習臺球，成為職業臺球手。為了節省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味??竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺球當成了自己一輩子奮斗的職業。

丁俊暉練球常常進入到癡迷的狀態，整天與臺球為伴，很快，父親送給他的臺球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又斷了??反反復復，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。

即使這樣，他父親還時刻提醒、監督他，有時剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時間稍長一點，父親就過來催促：“你去房間練球吧，空調已幫你開好了。”他父親說：“人做事一定要堅定，做一件事就要把它做好，如果連這點精神和承擔失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會強加給他沒興趣的東西做。我堅信我兒子是5000年才出一個的神童！”

也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級臺球冠軍的丁俊暉。現在丁俊暉已經在老家買了新房，他實現了當初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現了奪得世界冠軍的諾言！

所以，偉大的夢想造就偉大的人生！Great dreams make great men!

目標定得小，成績就小。有大志才會有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

資料來源：回瀾閣教育 免費下載 天天更新

第五篇：高中數學知識點：不等式的證明及應用

不等式的證明及應用

知識要點：

1．不等式證明的基本方法：

?a?b?0?a?b

?（1）比較法：?a?b?0?a?b

?a?b?0?a?b?

用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）綜合法：利用題設、不等式的性質和某些已經證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因導果”即從一個（一組）已知的不等式出發，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導出所要求證的不等式。

（3）分析法：“執果索因”從求證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。

2．不等式證明的其它方法：

（1）反證法：理論依據A?B與B?A等價。先否定命題結論，提出假設，由

此出發運用已知及已知定理推出矛盾。根據原命題與逆否命題等價，A得證。

（2）放縮法：理論依據 a > b,b > c?a > c ?B

（3）函數單調性法。

3．數（式）大小的比較：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數單調性法

4．不等式在函數中的應用：

（1）求函數的定義域（2）求函數的值域（3）研究函數的單調性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數，等號可取。

（2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。

6．方程與不等式解的討論

（1）一元二次方程ax2

a?0,??b2?bx?c?0有嚴格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。

（2）函數與不等式：利用函數圖象找出等價關系，轉化為不等式問題去解決。