第一篇：高中數學 《基本不等式的證明》教案3 蘇教版必修5

第 10 課時：§3.4.1基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

2.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力

【教學重點與難點】：

?a?b的證明過程；

2a?b等號成立條件及 “當且僅當a?b時取等號”的數學內涵

2【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

a?

b

2a?b2.的幾何背景： 21.提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，對于任意實數 a、b，我們有a?b?2ab，當且僅當a?b時，等號成立。

證明: a?b?2ab?(a?b),當a?b時，(a?b)?0,當a?b時,(a?b)?0,2222

2所以a?b?2ab

22注意強調當且僅當a?b時, a?b?2ab 22

注意：（1）等號成立的條件，“當且僅當”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛。

基本不等式：對任意正數a、b，有a?b?當且僅當a?b時等號成立。

2a?b?當且僅當a?b時等號成立。2證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。由基本不等式1，得2?2?

?

證法2：a?

b11?

?2?2??2?

0?a?b222

時，取“?”。

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?

b，只要證0?2

a?

b??a?b時，取“?”。2

a?b?證法4：對于正數a,b

有2?

0，?a?b?

?0?a?b??2

a?

b說明： 把a,b的算術平均數和幾何平均數，上述不等式可敘述為：兩個正2證法

3?

數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。上述結論可推廣至3個正數。

（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）

a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦

2a?bDD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半徑?CD?ab

2a?b?幾何意義是：“半徑不小于半弦” 2B（4）當且僅當a?b時，取“?”的含義：一方面是當a?b時取等號，即

a?ba?b

??；另一方面是僅當a?b時取等號，即

2（圖1）a?b??a?b。2（3）

22（5）如果a,b?R，那么a?b?2ab（當且僅當a?b時取“?”）．

（6）如果把a?b看作是正數a、b的等差中項，ab看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘

2述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項

.2.在數學中，我們稱a?b為a、b的算術平均數，稱ab為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘

2述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（教材P88例1）設a,b為正數，證明下列不等式成立：（1）

證明：（1）∵a,b為正數，∴ba1??2；（2）a??2 abababa,也為正數，由基本不等式得??2∴原不等式成立。ab

ab（2）∵a,1a

均為正數，由基本不等式得a?1

a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實數，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正數，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

證明：由a,b,c,d都是正數，得：

ab?cd

2??

0，ac?bd

2??0，∴(ab?cd)(ac?bd)

4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

例4 已知函數y?x?1

x?1,x?(1,??)，求y的范圍

例

52?2．

?0，又x2?3?1，?，2

2???

?2?2．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.已知x,y都是正數，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y

32.已知a,b,c都是正數，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

3.思考題：若x?0，求x?

1x的最大值

五、歸納整理，整體認識

1．算術平均數與幾何平均數的概念；

2．基本不等式及其應用條件；

3．不等式證明的三種常用方法。

小結：正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：

第二篇：高中數學 3.4.1《基本不等式的證明》教案 蘇教版必修5

第 11 課時：§3.4.1基本不等式的證明（2）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.進一步掌握基本不等式；

2.學會推導并掌握均值不等式定理；

3.會運用基本不等式求某些函數的最值，求最值時注意一正二定三相等。

4.使學生能夠運用均值不等式定理來討論函數的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應用。

二、過程與方法

?

值。

三、情感、態度與價值觀

引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。

【教學重點與難點】：

重點：均值不等式定理的證明及應用。

難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。

【學法與教學用具】：

1.學法：

2.教學用具：多媒體、實物投影儀.【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1．重要不等式：如果a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)

2．基本不等式：如果a,b是正數，那么22a?b，并會用此定理求某些函數的最大、最小2a?ba?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).我們稱為a,b2

22的算術平均數，稱ab為a,b的幾何平均數，a?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者

只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正數，①如果積xy是定值p，那么當x?y時，和x?y有最小值2p；②如果和x?y是定值s，那么當x?y時，積xy有最大值

證明：∵x,y?R，∴ ?12s． 4x?y?xy，2①當xy?p(定值)有(x?y)min?2p； x?y?2p∴x?y?2p，∵上式當x?y時取“?”，∴當x?y時

②當x?y?s(定值)時，xy?s12 ∴xy?s，∵上式當x?y時取“?”∴當x?y時有2

4(xy)max?12s． 4

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

①最值的含義（“?”取最小值，“?”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函數式中各項必須都是正數;

④函數式中含變數的各項的和或積必須是常數；

三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（1）求 lgx?logx10(x?1)的最值，并求取最值時的x的值。

解：∵x?1∴lgx?0logx10?0，于是lgx?logx10?2lgxlgx10?2，當且僅當lgx?logx10，即x?10時，等號成立，∴lgx?logx10(x?1)的最小值是2，此時x?10．

（2）若上題改成0?x?1，結果將如何？

解：∵0?x?1lgx?0logx10?0，于是(?lgx)?(?logx10)?2，從而lgx?logx10??2，∴lgx?logx10(0?x?1)的最大值是?2，此時x?

例2（1）求y?x(4?x)(0?x?4)的最大值，并求取時的x的值。

（2）求y?x4?x2(0?x?2)的最大值，并求取最大值時x的值

解：∵0?x?4，∴x?0,4?x?

0，∴1． 10?x?4?x?2則y?x(4?x)?4，當且僅當

2x?4?x，即x?2?(0,4)時取等號。∴當x?2時，y?x(4?x)(0?x?4)取得最大值4。

例3 若x?2y?1，求11?的最小值。xy

11x?2yx?2y2yx2yx??

??1??2??3?(?)?3?xyxyxyxy解：∵x?2y?1，∴

?x?1?2yx???y，即?當且僅當?x

?y??x?2y?1?

?2

∴當x?1,y?11時，?

取最小值3?xy2例4 求下列函數的值域:（1）y?3x?11y?x?；（2）2x2x

歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；

(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.四、鞏固深化，反饋矯正

1．已知0?x?1,0?y?1,xy?1，求log1x?log1y的最大值，并求相應的x,y值。93

32．已知x?0，求2?3x?的最大值，并求相應的x值。

3．已知0?x?

2，求函數f(x)x值。

4．已知x?0,y?0,x?3y?1,求?的最小值，并求相應的x,y值。

五、歸納整理，整體認識

1．用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當給出的函數式不具備條件時，往往通過對所給的函數式及條件進行拆分、配湊變形來創造利用基本不等式的條件進行求解；

2．運用基本不等式求最值常用的變形方法有：

（1）運用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值；

（3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入。

一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數；積的形式存在最大值，湊和為常數，要注意定理及變形的應用。

六、承上啟下，留下懸念4x1x1y

七、板書設計（略）

八、課后記：

第三篇：高中數學必修3經典教案全集

新課標高中數學必修3教案

目

錄

第一章 算法初步...............................................................................................................................1 1．1．1算法的概念.......................................................................................................................3 1．1．2 程序框圖(第二、三課時)................................................................................................9 1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句（第一課時）.......................................................................15 1.2.2-1.2.3條件語句和循環語句（第二、三課時）..................................................................21 1.3算法案例 第1、2課時 輾轉相除法與更相減損術.............................................................27 第3、4課時 秦九韶算法與排序.........................................................................31 第5課時 進位制...................................................................................................35 算法初步 復習課...........................................................................................................................39 第二章 統計初步.............................................................................................................................45 2.1.1 簡單隨機抽樣.......................................................................................................................45 2.1.2 系統抽樣...............................................................................................................................49 2.1.3 分層抽樣...............................................................................................................................53 ２.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布(2課時).......................................................................57 ２.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征(2課時)...........................................................61 第三章 概率......................................................................................................................................65 3.1 隨機事件的概率 3.1.1 —3.1.2隨機事件的概率及概率的意義(第一、二課時)...............65 3.1.3 概率的基本性質（第三課時）...........................................................................................69 3.2 古典概型（第四、五課時）3.2.1 —3.2.2古典概型及隨機數的產生..............................73 3.3 幾何概型 3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生.......................................................79

I

第四篇：[蘇教必修3]長江三峽

長江三峽

【教學目標】

1、通過比較閱讀，賞析“散文中三峽的神韻”。

2、借助研究性學習，培養學生收集、篩選信息的能力和創新能力。【教學過程】

一、導入課題

同學們，人們常用“亙古未變”來形容山川河流，現在，山川河流正在發生“日新月異”的變化。明年的6月1日，三峽這條古文明的大通道就要消失了，永遠的消失了。三峽是靈異的、浪漫的、富有詩意的，這一節課我們就一起用心去認讀三峽、研究三峽。

二、播放三峽風光片

1、學生談從“風光片” 中獲得的信息。（風光片中的三峽過于文靜、單薄）

2、學生補充自己收集的資料。

教師小結：從同學們的交流中，我深深地感到，人們的心中存在兩種三峽：一個是自然的三峽，一個是文學作品中的三峽。那么，到底哪個更具魅力？

三、明確研究專題

如此美麗的自然三峽就要消失了，這是令人遺憾的，幸運的是文學作品保存了三峽的美麗，這一節課我們就一起研讀“文學作品中的三峽”。文學作品的樣式很多，可研究的領域依然很廣闊，一節課是不可能面面俱到的，我們只可能就一種樣式展開研究，我們這一節課的研究專題是：“散文中的三峽神韻”。

四、比較閱讀 要求：

自讀酈道元《三峽》和劉白羽《長江三峽》，說說你更喜歡哪一篇？為什么？（提示：可以從景物特點、寫作角度、語言風格、情感態度等方面比較）讓學生跳讀兩分鐘，然后讓同一愛好的學生自由組合，學習研討，進而雙方擂臺賽。

（談到情感態度的差異時插入的資料：相同的景物，不同的作者，由此寫出不同的意韻；其實，就同一作者，對同一景物也會寫出不同的篇章。如李白58歲時流放到夜郎，經過三峽時，他的感覺是“三朝上黃牛，三暮行太遲。三朝又三暮，不覺鬢成絲”（《上三峽》）。而到白帝城時，忽然接到大赦的消息，這時的李白是“兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”。“一切景語皆情語”，文學作品中的景物無不烙上作者的感情色彩。）

五、老師引導大家梳理歸納討論結果

大家剛才找出了許多的不同點，現在我們把它歸納整理一下，著重是哪幾方面？

異同點主要體現在：①景物特點②情感態度③語言風格④寫作角度 這就是我們這節課圍繞研究專題重點探討的四個方面，即四個切入點。

六、引導學生探究研究課題

我們從散文中去看三峽，還是一孔之見，三峽是我們民族古文化的繁衍之地，是自古以來文人墨客的聚集之地，值得我們去探究的東西還很多。如今，隨著“高峽出平湖”的奇觀出現，中國人70年的夢想就要實現了，其經濟價值是不言而喻的，但令人遺憾的是三峽的靈異、浪漫也將不復存在，它將意味著三峽的文化，特別是傳統文化面臨著如何繼承和發展的問題。

下面就請大家憑著對三峽的熱愛、了解，思考一下，你將確立哪方面的研究專題。（小小組討論，后大班交流；所研究的專題可以獨立操作，也可以幾個人合作。）

（如果時間允許，就其中的某一課題探討研究方向）

七、老師總結

你們關注、研究的領域很廣闊，三峽的文化積淀的確很豐厚的。同學們，隨著你們走近三峽、研究三峽，美麗的三峽將在你們心中永恒！

第五篇：高中數學 一元二次不等式及其解法教案 新人教A版必修5

湖南省懷化市溆浦縣第三中學人教版數學必修五321 一元二次不等

式及其解法 教案

課時安排 1課時 教學分析

學生在初中已經學習了一元一次不等式（組）和二次函數，對不等式的性質有了初步了解。從心理特征來說，高中階段的學生邏輯思維較初中學生來說更加嚴密，抽象思維能力也有進一步提升，所以要更加注重其抽象思維的訓練，因對于這個階段的學生來說，一元二次不等式的學習有一定的基礎和必要。結合新課標對本節課的要求，我將本節課的重點確定為：從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法；難點確定為：理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系。理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系；掌握象法解一元二次不等式的方法；培養數形結合的能力；培養討論的思想方法；培養抽象概括能力和邏輯思維能力；經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函圖象探究一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，獲得一元次不等式的解法。激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想。

課題 §3.1一元二次不等式及其解法 教學目標

（一）知識與技能 掌握圖象法解一元二次不等式的方法

（二）過程與方法 培養數形結合的能力，培養分類討論的思想方法，（三）情感態度與價值觀 激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，教學重點 從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法 教學難點 理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系 教學方法 合作探究、自學指導法 教具準備 多媒體課件 教學過程

一、導入新課

學校要在長為8,寬為6 的一塊長方形地面上進行綠化,計劃四周種花卉,花卉帶的寬度相同,中間種植草坪(圖中陰影部分)為了美觀,現要求草坪的種植面積超過總面積的一半,此時花卉帶的寬度的取值范圍是什么?

二、講授新課

自主學習

1、閱讀教材P84-P87

2、一元二次不等式的定義 象次不等式

合作探究

探究1：求一元二次不等式的解集。這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二（1）二次方程的根與二次函數的零點的關系

容易知道：二次方程的有兩個實數根：，二次函數有兩個零點：，于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點。（2）觀察圖象，獲得解集

畫出二次函數的圖象，如圖，觀察函數圖象，可知：

； ； 當 x<0，或x>5時，函數圖象位于x軸上方，此時，y>0,即當0

探究2：一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式 的解集是，從而解決了本節開始時提出的問題。，一般地，怎樣確定一元二次不等式>0與

學生展示：

1、從上面的例子出發，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以下兩點：(1)拋物線=0的根的情況

(2)拋物線

2、（1）拋物線 由一元二次方程 的開口方向，也就是a的符號

（a> 0）與 x軸的相關位置，分為三種情況，這可以

=0的判別式

三種取值情況(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）

與x軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程<0的解集呢？

來確定.因此，要分二種情況討論（2）a<0可以轉化為a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三種情況，得到一元二次不等式與<0的解集

3、一元二次不等式(學生完成課本第86頁的表格)的解集： >0 教師精講

例1(課本第87頁)求不等式的解集.解：因為.所以，原不等式的解集是例2(課本第88頁)解不等式解：整理，得因為所以不等式從而，原不等式的解集是 鞏固提高

..無實數解，的解集是..課本第89的練習1（1）、（3）、（5）、（7）

四、布置作業

課本第89頁習題3.2[A]組第1題

五、板書設計

§3.1一元二次不等式及其解法

學生練習例題1 課堂小結 例題2 布置作業