第一篇：高中數學 3.4.1《基本不等式的證明》教案 蘇教版必修5

第 11 課時：§3.4.1基本不等式的證明（2）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.進一步掌握基本不等式；

2.學會推導并掌握均值不等式定理；

3.會運用基本不等式求某些函數的最值，求最值時注意一正二定三相等。

4.使學生能夠運用均值不等式定理來討論函數的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應用。

二、過程與方法

?

值。

三、情感、態度與價值觀

引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。

【教學重點與難點】：

重點：均值不等式定理的證明及應用。

難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。

【學法與教學用具】：

1.學法：

2.教學用具：多媒體、實物投影儀.【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1．重要不等式：如果a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)

2．基本不等式：如果a,b是正數，那么22a?b，并會用此定理求某些函數的最大、最小2a?ba?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).我們稱為a,b2

22的算術平均數，稱ab為a,b的幾何平均數，a?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者

只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正數，①如果積xy是定值p，那么當x?y時，和x?y有最小值2p；②如果和x?y是定值s，那么當x?y時，積xy有最大值

證明：∵x,y?R，∴ ?12s． 4x?y?xy，2①當xy?p(定值)有(x?y)min?2p； x?y?2p∴x?y?2p，∵上式當x?y時取“?”，∴當x?y時

②當x?y?s(定值)時，xy?s12 ∴xy?s，∵上式當x?y時取“?”∴當x?y時有2

4(xy)max?12s． 4

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

①最值的含義（“?”取最小值，“?”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函數式中各項必須都是正數;

④函數式中含變數的各項的和或積必須是常數；

三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（1）求 lgx?logx10(x?1)的最值，并求取最值時的x的值。

解：∵x?1∴lgx?0logx10?0，于是lgx?logx10?2lgxlgx10?2，當且僅當lgx?logx10，即x?10時，等號成立，∴lgx?logx10(x?1)的最小值是2，此時x?10．

（2）若上題改成0?x?1，結果將如何？

解：∵0?x?1lgx?0logx10?0，于是(?lgx)?(?logx10)?2，從而lgx?logx10??2，∴lgx?logx10(0?x?1)的最大值是?2，此時x?

例2（1）求y?x(4?x)(0?x?4)的最大值，并求取時的x的值。

（2）求y?x4?x2(0?x?2)的最大值，并求取最大值時x的值

解：∵0?x?4，∴x?0,4?x?

0，∴1． 10?x?4?x?2則y?x(4?x)?4，當且僅當

2x?4?x，即x?2?(0,4)時取等號。∴當x?2時，y?x(4?x)(0?x?4)取得最大值4。

例3 若x?2y?1，求11?的最小值。xy

11x?2yx?2y2yx2yx??

??1??2??3?(?)?3?xyxyxyxy解：∵x?2y?1，∴

?x?1?2yx???y，即?當且僅當?x

?y??x?2y?1?

?2

∴當x?1,y?11時，?

取最小值3?xy2例4 求下列函數的值域:（1）y?3x?11y?x?；（2）2x2x

歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；

(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.四、鞏固深化，反饋矯正

1．已知0?x?1,0?y?1,xy?1，求log1x?log1y的最大值，并求相應的x,y值。93

32．已知x?0，求2?3x?的最大值，并求相應的x值。

3．已知0?x?

2，求函數f(x)x值。

4．已知x?0,y?0,x?3y?1,求?的最小值，并求相應的x,y值。

五、歸納整理，整體認識

1．用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當給出的函數式不具備條件時，往往通過對所給的函數式及條件進行拆分、配湊變形來創造利用基本不等式的條件進行求解；

2．運用基本不等式求最值常用的變形方法有：

（1）運用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值；

（3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入。

一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數；積的形式存在最大值，湊和為常數，要注意定理及變形的應用。

六、承上啟下，留下懸念4x1x1y

七、板書設計（略）

八、課后記：

第二篇：3.4.1 基本不等式的證明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的證明

一、基礎過關

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，則m、n之間的大小關系是________． a－

24．設0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為________． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)??a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．設a、b、c都是正數，求證：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求證：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，則a＋______(填“大”或“小”)值，為__________． a－

1x10．若對任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為________． x＋3x＋1

1111．設x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy

12．已知a，b，c為不等正實數，且abc＝1.111求證：＋<＋abc

三、探究與拓展

1613．已知a>b>0，求證：a2＋16.b?a－b?

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數，也都是正數． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab?三式相加得2??abc?≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2?x－y?2＋2xy?x－y?2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥?x－y? x－yx－y

＝22.2??x－y＝x－y當且僅當?，??xy＝1

時取等號． －2

1，＋∞? 11.1 9．大 －1 10.??5?

1112．證明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2??a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c為不等正實數，111∴a＋b＋c＋.abc

13．證明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b?a－b?b?a－b?

16≥[2?a－b?b]2＋ b?a－b?

16＝4(a－b)b＋ b?a－b?

4≥4×2?a－b?b×＝16.b?a－b?

4取“＝”時當且僅當：a－b＝b>0且(a－b)b＝，b?a－b?

即當a＝2且b＝2時“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤??2＝4，當且a＝2b時取等號，2??x＝即???y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aab?a－b?

≥264＝16.當a＝2，b＝2時，等號成立．

第三篇：3.4.1 基本不等式的證明

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

3.4.1 基本不等式的證明（1）

江蘇省靖江高級中學楊喜霞

教學目標：

一、知識與技能

1．探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2．會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3．學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握 定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

4．理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾 何解釋．

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍．要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點．變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎．兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質．

三、情感、態度與價值觀

1．通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣；

2．培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力．

教學重點：

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程． 教學難點：

理解基本不等式 等號成立條件及 “當且僅當時取等號”的數學內涵．

教學方法：

先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式；從生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動學生的學習熱情；定理的證明要留給學

生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案．

教學過程：

一、問題情景

a?

b

2a?b2.?的幾何背景： 21.提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）．

二、學生活動

問題1 我們把“風車”造型抽象成上圖．在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設直角三角形的長為a、b，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？

a2?b2.問題2 那4個直角三角形的面積和呢？

生答 2ab.問題3 好，根據觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，a2?b2?2ab.什么時候這兩部分面積相等呢？

生答：當直角三角形變成等腰直角三角形，即x?y時，正方形EFGH變成一個點，這時有a2?b2?2ab.三、建構數學

1．重要不等式：一般地，對于任意實數 a、b，我們有a2?b2?2ab，當且僅當a?b時，等號成立．

問題4：你能給出它的證明嗎？(學生嘗試證明后口答,老師板書)

證明：a2?b2?2ab?(a?b)2,當a?b時，(a?b)2?0,當a?b時,(a?b)2?0,所以a2?b2?2ab

注意強調：當且僅當a?b時, a2?b2?2ab

注意：（1）等號成立的條件，“當且僅當”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛．

問題5：將a降次為a,b降次為b,則由這個不等式可以得出什么結論？

2．基本不等式：對任意正數a、b，有

立．（學生討論回答證明方法）

證法1：a?

b11?

?2?2??2?

0當且僅當222a?b?當且僅當a?b時等號成2． ?a?b時，取“?”

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?b，a?b只要證0?

2?成立，當且

2證法2

?

?a?b時，取“=”號．

證法3：對于正數a,b

有2?0，?a?b?

?0?a?b??

說明： 把a?b?2a?

ba,b的算術平均數和幾何平均數，上述2

不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．

注意：（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0；

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；

（3）a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上

2取一點C，過C作弦DD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半a?b?CD?ab

徑2

a?bB ?幾何意義是：“半徑不小于半弦”；

（圖1）

（4）當且僅當a?b時，取“?”的含義：一方面是當a?b時取等號，即 a?b

??a?ba?b?a?b； ；另一方面是僅當a?

b時取等號，即?22

（5）如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“?”）；

（6）如果把a?b看作是正數a、b的等差中項，ab看作是正數a、b的2等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項．

四、數學運用

1．例題．

ba1例1設a,b為正數，證明下列不等式成立：（1）??2；（2）a??2.aba

baba證明（1）∵a,b為正數，∴,也為正數，由基本不等式得???2abab∴原不等式成立．

（2）∵a,立．

例2已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca.證明 ∵a,b,c為兩兩不相等的實數，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，11均為正數，由基本不等式得a???2，∴原不等式成a

a以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3已知a,b,c,d都是正數，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.證明 由a,b,c,d都是正數，得：

∴ab?cdac?bd??

0，??0，22(ab?cd)(ac?bd)?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.42．練習．

（1）已知x,y都是正數，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3；

（2）已知a,b,c都是正數，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

（3）思考題：若x?0，求x?

五、要點歸納與方法小結

本節課學習了以下內容： 1的最大值.x

1．算術平均數與幾何平均數的概念；

2．基本不等式及其應用條件；

3．不等式證明的三種常用方法．

小結 正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．

六、課外作業

課后練習第2題、第3題；習題3.4第1題、第2題、第3題．

第四篇：6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的證明)

a?b

23.4 基本不等式：ab?

3.4.1 基本不等式ab?a?b的證明

從容說課

在前兩節課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關系，掌握了不等式的一些簡單性質與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題.本節課的研究是前三大節學習的延續和拓展.另外，為基本不等式的應用墊定了堅實的基礎，所以說，本節課是起到了承上啟下的作用.本節課是通過讓學生觀察第２４屆國際數學家大會的會標圖案中隱含的相等關系與不等關系而引入的.通過分析得出基本不等式：ab?a?b

2，然后

從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應用,進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應作好點撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發學生的學習興趣，

根據本節課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發、探究式教學并使用投影儀輔助.

教學重點 1.創設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式；

2.從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路.

教學難點 1.對基本不等式從不同角度的探索證明；

2.通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路.

教具準備 多媒體及課件

三維目標

一、知識與技能

1.創設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式；

2.嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3.從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照聯想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學；

2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用；

3.將探索過程設計為較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣.

三、情感態度與價值觀

1.通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；

2.學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；

3.通過對富有挑戰性問題的解決，激發學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘、數學的簡潔美、數學推理的嚴謹美，從而激發學

生的學習興趣.

教學過程

導入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情） 推進新課

師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？（沉靜片刻）

生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形.

師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？（請兩位同學在黑板上畫.教師根據兩位同學的板演作點評）

（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀.此時教師用投影片給出隱含的規范的幾何圖形）

師 同學們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確.這說明，我們只要在現有的基礎上進一步刻苦努力，發奮圖強，也能作出和數學家趙爽一樣的成績.

（此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學習中來）［過程引導］

師 設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關系呢？

生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和. 師 一定嗎？

（大家齊聲：不一定，有可能相等）

師 同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？生 每個直角三角形的面積為

2ab，四個直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長為

a?b，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab.

師 這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a+b≥2ab證明了嗎？

生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已. 師 回答得很好.

（有的同學感到迷惑不解）

師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學們在解題時經常會犯的錯誤.實質上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）

2師 請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a+b≥2ab.

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數，它是非負數，即(a-b)≥0，所以可得a+b≥2ab.

師 同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？ 生 正確.

［教師精講］

師 這位同學的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣.

生 實質一樣，只是設問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們去證明. 師 這位同學回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數學研究當中，還有另一種“比較法”.

（教師此處的設問是針對學生已有的知識結構而言） 生 作商，用商和“1”比較大小.

師 對.那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學們課后去思考，在解決問題中自然會遇到.

（此處設置疑問，意在激發學生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生） ［合作探究］

師 請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到.

生 當四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號.（學生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時點撥）

師 從不等式a+b≥2ab的證明過程能否去說明. 生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號.

師 這位同學回答得很好.請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致.

（大家齊聲）一致.

（此處意在強化學生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強化學生數形結合思想方法的應用）

師 這是一個很重要的不等式.對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延.只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應手，也不會出錯.

2（同學們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a+b≥2ab中得出什么.此時，教師應及時點撥、指引）

師 當a＞0,b＞0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生 完全可以.

師 為什么？

生 因為不等式中的a、b∈R.

師 這個不等式就是我們這節課要推導的基本不等式.它很重要，在數學的研究中有很多應用，我們常把

a?b

2叫做正數a、b的算術平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即

兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.（此處意在引起學生的重視，從不同的角度去理解）

師 請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數的基本性質來推導出這個不等式呢？（此時，同學們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導過程的填空形式） 要證：

a?b

2?

ab，①

只要證a+b≥2ab，②

要證②，只要證：a+b

-2ab≥0，③ 要證③，只要證：(a?

b)?0,④

顯然④是成立的，當且僅當a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現了分析法證明的關鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）［合作探究］

老師用投影儀給出下列問題.

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DD′，連結AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

（本節課開展到這里，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎） ［合作探究］

師 同學們能找出圖中與a、b有關的線段嗎？ 生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得CD?生 由射影定理也可得CD?

ab.

a?b

2ab.

師 這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

a?b2

生ab表示半弦長，表示半徑長.

師 半徑和半弦又有什么關系呢？ 生 由半徑大于半弦可得

a?b2

?ab.

師 這位同學回答得是否很嚴密？

生 當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式ab?(a＞0,b＞0). 課堂小結

師 本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？

生 我們通過觀察分析第24屆國際數學家大會的會標得出了不等式a+b≥2ab.

生 由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時，以a、b分別代替a、b，得到了基本不等式

ab?

a?b

2a?b2

(a＞0,b＞0).進而用不等式的性質，由結論到條件，證明了基本不等式.

生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式.

（此處，創造讓學生進行課堂小結的機會，目的是培養學生語言表達能力，也有利于課外學生歸納、總結等學習方法、能力的提高）

師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實際情景中抽象出基本不等式.并采用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時等號成立.在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學們要注意數形結合的思想在解題中的靈活運用. 布置作業

活動與探究：已知a、b都是正數，試探索

21a?1b,ab ,a?b

2,a?b2

22的大小關系，并

證明你的結論. 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關系，再由不等式及實數的性質證明.

（方法二）創設幾何直觀情景.設AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.

第五篇：高中數學 《基本不等式的證明》教案3 蘇教版必修5

第 10 課時：§3.4.1基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

2.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力

【教學重點與難點】：

?a?b的證明過程；

2a?b等號成立條件及 “當且僅當a?b時取等號”的數學內涵

2【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

a?

b

2a?b2.的幾何背景： 21.提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，對于任意實數 a、b，我們有a?b?2ab，當且僅當a?b時，等號成立。

證明: a?b?2ab?(a?b),當a?b時，(a?b)?0,當a?b時,(a?b)?0,2222

2所以a?b?2ab

22注意強調當且僅當a?b時, a?b?2ab 22

注意：（1）等號成立的條件，“當且僅當”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛。

基本不等式：對任意正數a、b，有a?b?當且僅當a?b時等號成立。

2a?b?當且僅當a?b時等號成立。2證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。由基本不等式1，得2?2?

?

證法2：a?

b11?

?2?2??2?

0?a?b222

時，取“?”。

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?

b，只要證0?2

a?

b??a?b時，取“?”。2

a?b?證法4：對于正數a,b

有2?

0，?a?b?

?0?a?b??2

a?

b說明： 把a,b的算術平均數和幾何平均數，上述不等式可敘述為：兩個正2證法

3?

數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。上述結論可推廣至3個正數。

（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）

a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦

2a?bDD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半徑?CD?ab

2a?b?幾何意義是：“半徑不小于半弦” 2B（4）當且僅當a?b時，取“?”的含義：一方面是當a?b時取等號，即

a?ba?b

??；另一方面是僅當a?b時取等號，即

2（圖1）a?b??a?b。2（3）

22（5）如果a,b?R，那么a?b?2ab（當且僅當a?b時取“?”）．

（6）如果把a?b看作是正數a、b的等差中項，ab看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘

2述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項

.2.在數學中，我們稱a?b為a、b的算術平均數，稱ab為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘

2述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（教材P88例1）設a,b為正數，證明下列不等式成立：（1）

證明：（1）∵a,b為正數，∴ba1??2；（2）a??2 abababa,也為正數，由基本不等式得??2∴原不等式成立。ab

ab（2）∵a,1a

均為正數，由基本不等式得a?1

a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實數，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正數，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

證明：由a,b,c,d都是正數，得：

ab?cd

2??

0，ac?bd

2??0，∴(ab?cd)(ac?bd)

4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

例4 已知函數y?x?1

x?1,x?(1,??)，求y的范圍

例

52?2．

?0，又x2?3?1，?，2

2???

?2?2．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.已知x,y都是正數，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y

32.已知a,b,c都是正數，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

3.思考題：若x?0，求x?

1x的最大值

五、歸納整理，整體認識

1．算術平均數與幾何平均數的概念；

2．基本不等式及其應用條件；

3．不等式證明的三種常用方法。

小結：正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：