第一篇：高中數學 3.4.1 二元一次不等式(組)與平面區域教材分析與導入設計 北師大版必修5

3.4.1 二元一次不等式（組）與平面區域 本節教材分析

通過一個實際的問題情景抽象出二元一次不等式組，提出本節要研究的主要問題，即：如何確定平面直角坐標系中不等式組的解集區域.并通過一個具體的例子討論直線l把直角坐標平面分成三部分的點的坐標所滿足的數量特征，讓學生通過解決例1，抽象概括出一般結論，通過例3讓學生掌握如何畫出不等式組表示的平面區域.例4和例5是本節內容在實際問題中的應用.三維目標

1．知識與技能：了解二元一次不等式的幾何意義，會用二元一次不等式組表示平面區域；

2．過程與方法：經歷從實際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數學建模的能力；

3．情態與價值：通過本節課的學習，體會數學來源與生活，提高數學學習興趣。

教學重點：用二元一次不等式（組）表示平面區域；

教學難點: 用二元一次不等式（組）表示平面區域。

教學建議：

本小節蘊涵了充分利用信息技術的可能性，建議在教學中利用幾何畫板、圖形計算器等工具進行教學，以得到生動形象的教學效果.作為新內容第一節課，一定按教學梯度進行，通過五步：思考、嘗試、猜想、證明、歸納來進行，這樣可以分散難點，層層遞進，突出重點，學生易于接受.設計方法時，一定要注意啟發到位.新課導入設計

導入一

[實例導入] 一名剛參加工作的大學生為自己制定的每月用餐費的最低標準是240元，又知其他費用最少需要支出180元，而每月可用來支配的資金為500元，這名新員工可以如何使用這些錢？

設用餐費為x元，其他費用為y元，由題意x不小于240，y不小于180，x與y之和不

??x?y?500

超過500，用不等式組可表示為?x?240

??y?180.如果將上述不等式組的一個解(x,y)視作平面直角坐標系上的一個點，那么使問題轉化為確定平面直角坐標系中不等式組的解集區域，由此展開新課.導入二

[類比導入]可采用與一元一次、一元二次不等式的類比引出，借助“類比”思想，通過與熟悉的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）比較，引出確定平面直角坐標系中不等式組的解集區域問題，進而展開新課.用心 專心 愛心-1-

第二篇：《二元一次不等式(組)與平面區域》教學設計

《二元一次不等式（組）與平面區域》教學設計

一、教學內容分析

《二元一次不等式（組）與平面區域》這一節內容在不等式、直線方程之后學習，它既是這兩部分內容的延伸和交匯，又是線性規劃問題的基礎和前提。同時，在探索問題過程中有效的訓練了學生數形結合、等價轉化等數學思想。

二、學情分析

因為學生在初中階段已經接觸過二元一次方程（組），所以在接受二元一次不等式組上會比較容易，鑒于高二學生能主動思考力但不不善于總結的特點，以及認知水平是形象思維為主，抽象思維為輔的特點，本節課我著重培養學生的總結能力和抽象思維。

三、教學目標

1、知識與技能：了解二元一次不等式（組）的幾何意義，并能正確畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區域。

2、過程與方法：經歷從實際問題中抽象出二元一次不等式（組）的過程，通過類比、特殊到一般的研究方法獲得二元一次不等式與平面區域的關系。

3、情感、態度與價值觀：通過本節內容的學習，培養學生的數學應用意識，體會數學在實際生活中的廣泛應用，提高學習數學的興趣。

四、教學重、難點

重點：探索獲得二元一次不等式（組）與平面區域之間的關系。

難點：正確畫出二元一次不等式（組）相應的平面區域。

依據：因為本節課就是圍繞探索二元一次不等式（組）與平面區域之間的關系而展開的，從數到形、從一維到二維構建本節課的知識結構，所以本節課的重點定為探索獲得二元一次不等式（組）與平面區域之間的關系。

另外，由于學生的認知過程中，由形到數易，由數到形難，所以難點定為正確畫出二元一次不等式（組）相應的平面區域。

五、教法設計

1、探究、發現法

2、講練結合法

3、多媒體輔助教學法

六、學法設計

引導學生通過合作探究、分組討論，主動構建新的知識

七、教學過程設計

（一）.創設問題情境

一家銀行的信貸部計劃年初投入25 萬元用 于企業和個人貸款,希望這筆資金至少可帶來3萬元的收益,其中從企業貸款中獲益30%，從個人貸 款中獲益15%，那么,信貸部應如何分配資金呢？

師生活動：

生：仔細讀題獨立思考。

師：生活中，常常會遇到此類對有限資源如何合理分配利用，使其達到最優效果的問題。尤其是在國民經濟、軍事、管理決策等領域，為此科學的管理是一種重要的方法和手段。師：請同學們考慮這個問題要大家做什么事？ 生：要投資。

師：那投資的目的是什么？ 生：獲利

師：如果設用于企業、個人貸款的資金分別為x元、y元，你能用不等式刻畫其中的不等量關系嗎？ 如何設立變量，將限制條件用數學語言表示。

學生活動：板演列出的不等式后，化簡得

教師進行指導訂正 設計意圖：

激發學生的學習興趣，感知生活中諸如：―至少‖―至多‖等這樣的不等關系，將不等式的建立過程留給學生，訓練學生會從實際問題抽象出一元二次不等式組，培養學生能將實際問題抽象成數學問題、文字語言轉化數學語言的能力。培養學生反思意識，學生易忽視x≥0,y≥0的關系。

學生列出不等式組后，教師可由此可以引出二元一次不等式（組）解集的相關概念，教師對不等式組解釋：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成有序數對（x，y），所有這樣的有序實數對（x，y）構成的集合稱為二元一次不等式組的解集。

（二）.織學生探究二元一次不等式的解集所表示的圖形

讓學生進行活動1，回顧一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形？總結出一元一次不等式（組）的解集可以表示為數軸上的區間。

活動1：讓學生先回顧一元一次不等式（組）的 解集所表示的圖形？ 給出具體的一元一次不等式組，例如：的解集為數軸上的一個區間（如圖）。

設計意圖：喚起學生對一元一次不等式（組）的的解集表示方法的回憶，用類比的方法提出問題2：―二元一次不等式xy =6上的點(b)在直線xy =6左下方區域內

設計意圖：讓學生直觀感受到平面直角坐標系內，平面內所有的點被直線x – y =6分為三類

活動4：填表、作圖，觀察，猜想，驗證

設點P(x,y1)是直線l： x – y =6上的點，選取點A(x,y2),使它的坐標滿足x-y≤6，觀察當點A(x,y2),與點P(x,y1)有相同的橫坐標時，它們的縱坐標有什么關系？

進一步猜想得：直線l左上方的點與不等式x-y-6≤0有什么關系？直線l右下方的點呢？

填寫下表，并將滿足不等式對應當的點描在坐標系中，通過對其位置觀察分析，歸納、猜想。

教師組織學生填表、作圖，觀察，然后引導學生對猜想進行驗證，讓學生在左上方多取若干點，計算x – y –6的值，發現都是大于0的，在左下方去若干點，計算x – y –6的值，發現都是小于0的.學生活動結果：歸納出猜想―以x – y –6≤0的解為坐標的點在直線x – y =6的左上方‖，并驗證這個猜想，發現了直線同一側的點都滿足不等式x-y-6≤0（或≥0），從而使二元一次不等式的解與平面區域的對應的關系的理論體系更加完備。

設計意圖：這一環節突出了本節課的重點——探索獲得二元一次不等式（組）與平面區域之間的關系。讓學生體驗平面上的點和直線的位置關系,自主探究，再由學生來得出結論。發現滿足不等式x-y≤6的解所表示的點與直線的位置關系。教師主要的任務是引導并完善學生的研究過程，并且利用教學軟件進行演示，培養學生的自主探究能力。師生互動，生生互動。

事實上，不僅對這個具體的例子有此性質，而且對坐標平面內的任意一條直線都有此性質.活動5：讓學生分組討論，并總結，對于一般的二元一次不等式Ax + By + C>0的解集表示的圖形呢？

學生活動結果：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區域。

教師強調：直線Ax+By+C=0叫做這兩個區域的邊界。

Ax+By+C>0表示的區域不包含邊界，把邊界畫成虛線。

Ax+By+C≥0表示區域包含邊界，把邊界畫成實線,。

設計意圖：按照學生思維發展的順序，從特殊情況到一般結論，使學生對二元一次不等式（組）表示區域的認識不斷深化、更加完備。

（三）例題講解

例1：畫出不等式 x + 4y < 4表示的平面區域

解：（1）直線定界：所求的平面區域不包括直線.用虛線畫直線l： x+4y－4=0

（2）特殊點定域：將原點坐標(0，0)代入x+4y－4中，得0+4×0－4<0，這樣，就可以判定不等式x－4y－4>0所示的區域與原點位于直線x－4y－4=0的同側，即包含原點的那一側。

設計意圖：向學生介紹畫出二元一次不等式表示的平面區域的方法，將具體的知識形成方法和技能，同時也通過教師的示范作用，引導學生主義作圖中的細節，幫助學生養成良好的畫圖習慣，使學生能準確畫出二元一次不等式表示的平面區域，突破本節課的難點。

練習1

(1)畫出不等式x+y≤25表示的平面區域

(2)畫出不等式2x-y>0表示的平面區域

(3)畫出不等式x≥1表示的平面區域

設計意圖：是由一般的直線，過原點的直線，和軸垂直的特殊直線共同組成。有邊界是實線的，也有的是虛線的。體驗―直線定界，特殊點定域‖的方法過程,。本題在考察學生思維的完備性和嚴謹性有重要的功能。

例

2、用平面區域表示不等式組的解集。

設計意圖：將引例中的問題讓學生解決，前后呼應，數學來源于生活，有服務于生活；類比一元一次不等式組的解集是數軸上的公共部分，使學生明確二元一次不等式組表示的區域是各個不等式所表示平面區域的公共部分。

練習2（詳見教材P87練習）

設計意圖：通過練習，進一步加深對二元一次不等式組表示平面區域的理解，體驗由數到形的過程

（四）課堂小結

⑴ 二元一次不等式表示平面區域：

直線某一側所有點組成的平面區域。

⑵ 判定方法：

直線定界，特殊點定域。

⑶ 二元一次不等式組表示平面區域：

各個不等式所表示平面區域的公共部分

設計意圖：師生共同回顧與總結所學的知識與方法，讓學生發表自己的意見，教師及時總結得出

（五）布置作業

課本 P86習題3.3 [A組] 第 1、2題。

設計意圖：教師批閱，發現問題及時糾正。

（六）板書設計

八、評價分析

高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用，線性規劃問題是數學在日常生活中常見的一種優化問題，在設計的過程中，提出實際生活問題，讓學生經歷建立數學模型的過程，培養學生觀察發現、歸納類比、符號表示、抽象概括等數學思維能力。在學生理解二元一次不等式（組）與平面區的過程中，教師利用多媒體進行動態的、直觀的展示，鼓勵學生進行探索和發現。

第三篇：《二元一次不等式(組)與平面區域》典型例題透析

數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

《二元一次不等式（組）與平面區域》典型例題透析

類型一：二元一次不等式（組）表示的平面區域 例1.畫出不等式2x?y?4?0表示的平面區域。解析：先畫直線2x?y?4?0（畫成虛線）.取原點(0,0)代入2x?y?4得2?0?0?4??4?0, ∴原點不在2x?y?4?0表示的平面區域內，不等式2x?y?4?0表示的區域如圖：

總結升華：

1.畫二元一次不等式表示的平面區域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當C?0時，常把原點作為此特殊點。

2.虛線表示區域不包括邊界直線，實線表示區域包括邊界直線

舉一反三：

【變式1】畫出下列不等式所表示的平面區域（1）4x?3y?12；

（2）x?1 【答案】

（1）（2）

?y??3x?12例2.用平面區域表示不等式組?.x?2y?思路點撥: 不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。

解析：不等式y??3x?12表示直線y??3x?12右下方的區域，x?2y表示直線x?2y右上方的區域，取兩區域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

總結升華：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。

舉一反三：

【變式1】畫出下列不等式組表示的平面區域。

?x?3?x?y?2?2?x?y?3?2y?x?x?2y?3?x?2y?4???（1）?；（2）?；

（3）?.3x?2y?6x?0x?0??????y?0?2y?x?6?y?0?【答案】

（1）（2）（3）

?x?y?3?0?【變式2】畫出不等式組?x?y?0表示的平面區域并求其面積。

?x?3?【答案】如圖，面積為

81； 4

【變式3】由直線x?y?2?0，x?2y?2?0和x?1?0圍成的三角形區域（如圖）用不等式組可表示為。

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

?x??1?【答案】?x?2y?2?0

?x?y?2?0?例3.畫出下列不等式表示的平面區域(1)(x?y)(x?y?1)?0；(2)x?y?2x 思路點撥: 將原不等式等價轉化為不等式組，然后畫圖.解析：

(1)原不等式等價轉化為??x?y?0?x?y?0或?（無解），?x?y?1?0?x?y?1故點(x,y)在區域??x?y?0內，如圖：

?x?y?1?0

?y?0?y?0??(2)原不等式等價為?x?y?0或?x?y?0，如圖

?2x?y?0?2x?y?0??

總結升華：把非規范形式等價轉化為規范不等式組形式便于求解 舉一反三：

?0 【變式1】用平面區域表示不等式(x?y?1)(x?y?4）【答案】

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

【變式2】用平面區域表示不等式

（1）y?x?1；（2）x?y；（3）x?y 【答案】

（1）（2）（3）

?2x?y?3?0?例4.求滿足不等式組?2x?3y?6?0的整數解.?3x?5y?15?0?思路點撥:不等式組的實數解集為直線l1： 2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：3x?5y?15?0所圍成的三角形區域內部(不含邊界)，求出三條直線的交點，求得區域內點橫坐標范圍，取出x的所有整數值，再代回原不等式組轉化為y的一元不等式組得出相應的y的整數值。

解析：設l1： 2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：3x?5y?15?0，則 由??2x?3y?6?0153，得A(,)，84?2x?y?3?0?2x?y?3?0由?，得B(0,?3)

3x?5y?15?0?由??2x?3y?6?07512，得C(,?)

1919?3x?5y?15?075)內，取x?1,2,3，19于是看出區域內點的橫坐標在(0,數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

??y??1?124??y??1，得y＝－2，當x?1時，代入原不等式組有?y?，即?53?12?y???5?∴區域內有整點(1,?2)。

同理可求得另外三個整點(2,0)、(2,?1)、(3,?1).總結升華：求不等式的整數解即求區域內的整點是教學中的難點，它為線性規劃中求最優整數解作鋪墊。常有兩種處理方法，一種是通過打出網絡求整點；另一種是本題解答中所采用的，先確定區域內點的橫坐標的范圍，確定x的所有整數值，再代回原不等式組，得出y的一元一次不等式組，再確定y的所有整數值，即先固定x，再用x制約y。

舉一反三：

?3x?2y?2?0,?【變式】求不等式組?x?4y?4?0,的整數解。

??2x?y?6?0

【答案】如圖所示，作直線l1:3x?2y?2?0，l2:x?4y?4?0，l3:2x?y?6?0，在直角坐標平面內畫出滿足不等式組的區域，此三角形區域內的整點(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即為原不等式組的整數解。

類型二：圖解法解決簡單的線性規劃問題.?y?x?例5.已知x、y滿足約束條件?x?y?1，求下列各式的最大值和最小值.?y??1?（1）z?2x?y；（2）z?x?y.數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

解析：

（1）不等式組表示的平面區域如圖所示：

求出交點A(2,?1)，C(?1,?1)，B(0.5,0.5)，作過點(0,0)的直線l0:2x?y?0，平移直線l0，得到一組與l0平行的直線l:z?2x?y,z?R.可知，在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于l的直線中，當l經過點A(2,?1)時的直線l所對應的z最大，所以zmax?2?2?1?3； 當l經過點C(?1,?1)時的直線l所對應的z最小，所以zmin?2?(?1)?1??3.（2）不等式組表示的平面區域如圖所示：

作過點(0,0)的直線l0:x?y?0，平移直線l0，得到一組與l0平行的直線l:z?x?y,z?R.可知，在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于l的直線中，當l經過線段AB上的所有點時的直線l所對應的z最大，所以zmax?2?1?1； 當l經過點C(?1,?1)時的直線l所對應的z最小，所以zmin?(?1)?1??2.總結升華：

1.本題的切入點是賦予“z”恰當的幾何意義：縱截距或橫截距； 2.線性目標函數的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得；

3.線性目標函數的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優解有無數多個，此時目標函數的圖象一定與區域中的一條邊界直線平行．

舉一反三：

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

【變式1】求z?3x?5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件?5x?3y?15?.?y?x?1?x?5y?3?【答案】不等式組所表示的平面區域如圖所示：

從圖示可知，直線z?3x?5y在經過不等式組所表示的公共區域內的點時，以經過點B(?2,?1)的直線所對應的z最小，以經過點A(,)的直線所對應的z最大.所以zmin?3?(?2)?5?(?1)??11，352235zmax?3??5??17.22?x?y?2?【變式2】求z?x?y的最大值、最小值，使x、y滿足條件?x?0

?y?0?【答案】zmin?0，zmax?2

例6.某企業生產A、B兩種產品，生產每一噸產品所需的勞動力和煤、電耗如下表：

產品品種 勞動力（個）煤（噸）電（千瓦）9 4 A產品 4 5 B產品

已知生產每噸A產品的利潤是7萬元，生產每噸B產品的利潤是12萬元，現因條件限制，該企業僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業生產A、B兩種產品各多少噸，才能獲得最大利潤？

思路點撥:本題中條件較多，應分門列類列出約束條件后，再運用圖解法進行求解。解析：設生產A、B兩種產品各x、y噸，利潤為z萬元

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

?3x?10y?300?9x?4y?360則?，目標函數z?7x?12y 4x?5y?200??x?0,y?0作出可行域，如圖所示，作出在一組平行直線7x+12y=t（t為參數）中經過可行域內的點和原點距離最遠的直線，此直線經過點M（20，24）

故z的最優解為（20，24），z的最大值為7×20+12×24=428（萬元）。

總結升華：簡單線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

（1）尋找線性約束條件，線性目標函數；

（2）由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域；（3）在可行域內求目標函數的最優解

舉一反三：

【變式1】家具公司制作木質的書桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個小時做一把椅子，八個小時做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000個工作時；漆工平均兩小時漆一把椅子、一小時漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個工作時，又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，試根據以上條件，問怎樣安排生產能獲得最大利潤?

?4x?8y?8000?【答案】設制作x把椅子，y張桌子約束條件：?2x?y?1300，??x?N,y?N目標函數：z=15x+20y.如圖：目標函數經過A點時，z取得最大值

?4x?8y?8000?x?200?

即A(200, 900)??2x?y?1300y?900??數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

∴ 當x=200, y=900時，zmax=15×200+20×900=21000(元)答：安排生產200把椅子，900張桌子時，利潤最大為21000元。

【變式2】某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲種產品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動力3個，獲利7000元：生產乙種產品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10個，獲利12000元。有一個生產日，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是300個，問應該如何安排甲、乙兩種產品的生產，才能使工廠在當日的獲利最大，并問該廠當日的最大獲利是多少? 【答案】設生產甲產品x件，乙產品y件

?9x?4y?360??4x?5y?200約束條件：?，?3x?10y?300?x?N,y?N?目標函數：z=7000x+12000y 如圖：目標函數經過A點時，z取得最大值

?4x?5y?200?x?20??，即A（20，24）??3x?10y?300?y?24∴ 當x=20, y=24時，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。

答：安排甲產品20件，乙產品24件時，利潤最大為428000元?！咀兪?】某運輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔了每天至少搬運360 t瀝青的任務，已知每輛卡車每天往返的次數為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛，才能使公司所花的成本費最低？

【答案】設派出A型車x輛，B型車y輛，所花成本費為z=160x+252y，且x、y滿足給條件如：

?x?y?9?x?y?9?6x?8?10y?6?360?4x?5y?30，即?0?x?7且x?N?0?x?7且x?N

??0?y?4且y?N??0?y?4且y?N如圖所示，作出不等式表示的區域，數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！數學備課大師 www.eywedu.net 目錄式免費主題備課平臺！

作直線l:160x?252y?0，即y??作直線l的平行線l'：y??40x，6340x?b 63當直線l'經過可行域內A點時，l'縱截距最小，2可得A點坐標為(7,)。

540zzx?∵z=160x+252y，∴y??，式中代表該直線的縱截距b，63252252而直線l'的縱截距b取最小值時，z也取得最小值，22即l'過A(7,)時，zmin?160x?252y?160?7?252??1220.8，552但此時y??N，5∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，調整x、y的值，當x=5，y=2時，點A'(5,2)在直線4x+5y=30上，且在可行域內符合x、y要求。∴派5輛A型車，2輛B型車時，成本費用最低，即zmin=160×5+2×252=1304（元）

數學備課大師 www.eywedu.net 今日用大師 明日做大師！

第四篇：4.示范教案(3.3.1_二元一次不等式(組)與平面區域)

3.3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題

3.3.1 二元一次不等式(組)與平面區域

本節課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出二元一次不等式（組）的一些基本概念，由一元一次不等式組的解集可以表示為數軸上的區間，引出問題：在直角坐標系內，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？再從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區域及確定的方法，以此激發學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式表示的區域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區域的教學.講述完一元二次不等式表示的區域和二元一次不等式（組）與平面區域后，總結一元二次不等式表示的區域的概念和二元一次不等式（組）與平面區域，得出二元一次不等式（組）與平面區域兩者之間的聯系，輔以新的例題鞏固,再回歸到先前的具體實例.整個教學過程，讓學生體驗數學的奧秘與數學美，激發學生的學習興趣.

教學重點 會求二元一次不等式（組）表示平面的區域.

教學難點 如何確定不等式Ax＋By＋C＞0（<0）表示Ax＋By＋C=0的哪一側區域.三維目標

一、知識與技能

1.使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；

2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區域.

二、過程與方法

1.培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想；

2.提高學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力；

3.本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.

三、情感態度與價值觀

1.通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，盡管側重于用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力；

2.結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.教學過程

一：導入新課

建立二元一次不等式模型

實際問題：一家銀行的信貸部計劃年初投入25 000 000元用于企業和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%，那么，信貸部

應該如何分配資金呢？

把實際問題轉化為數學問題：

設用于企業貸款的資金為x萬元，用于個人貸款的資金為y萬元，由資金總數為25 萬元，得到x+y≤25.①

由于預計企業貸款創收12%，個人貸款創收10%.共創收0.3萬元以上，所以(12%)x+(10%)y≥0.3.②

用于企業貸款和個人貸款的資金數額都不能是負數，于是 x≥0,y≥0.③

將①②③合在一起，得到分配資金應該滿足的條件：

?x?y?25,?(12%)x?(10%)y?0.3,? ?x?0,???y?0.二：推進新課

1．二元一次不等式和二元一次不等式組的定義：

二元一次不等式（組）： 我們把含有兩個未知數，且未知數的次數是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）.二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成有序數對(x,y)，所有這樣的有序數對(x,y)構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.2．探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形

從特殊到一般：

研究具體的二元一次不等式x＋y<6的解集所表示的圖形。學生思考、討論、交流，達成共識：

在平面直角坐標系中，以二元一次不等式x＋y<6的解為坐標的點都在直線x＋y=6的左上方；反過來，直線x＋y=6左上方的點的坐標都滿足不等式x＋y<6。

因此，在平面直角坐標系中，不等式x＋y<6表示直線x＋y=6的左上方的平面區域，如圖（1）

類似的，二元一次不等式x＋y>6表示直線x＋y=6的右下方的平面區域，如圖（2）。

直線叫做這兩個區域的邊界。

yy6606x06xx+y-6=0x+y-6=0

（圖1）

（圖2）

3．結論：

由特殊例子推廣到一般情況：

二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側所有點組成的平面區域.（虛線表示區域不包括邊界直線）

4．二元一次不等式表示哪個區域的判斷方法：

由于對在直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，實數Ax＋By＋C的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、負就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側的

平面區域.（特殊地，當C≠0時，常把原點作為此特殊點）三：應用舉例

【例1】 畫出不等式x+4y＜4表示的平面區域.

解: 先畫直線x＋4y＝4(畫成虛線)。把原點(0，0)代入x＋4y－4，得0+4×0-4=-4＜0.所以原點在x＋4y<4表示的平面區域內，不等式x＋4y<4表示的平面區域如圖：

隨堂練習：

① x+y-1≤0 ② 2x-3y>6 ③ x-2y＜0 ④ x+y-2＞0.?y??3x?12?【例2】 用平面區域表示不等式組?x?2y的解集.

?x??3?解：不等式y<-3x+12表示直線y=-3x+12右下方的區域,x<2表示直線x=2y右上方的區域，x?-3表示直線x=-3右方的區域，取三區域重疊的部分，如圖陰影部分就表示原不等式組的解集。

y12x=-383x+y-12=04-3048X-2y=0x

歸納：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的區域的公共部分。隨堂練習：

?x?y?4??x?y?2?0??①?x?y?0

②?x?y?2?0

??1?y?1?x?3??

四：課堂小結

二元一次不等式Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0表示的平面區域.五：課后作業

課本P93習題3.3A組的第1、2題，B組的第1題。

板書設計

3.3.1二元一次不等式（組）與平面區域

二元一次不等式定義

例1

練習

第五篇：二元一次不等式(組)與平面區域的教學反思2

“二元一次不等式（組）與平面區域 ”的教學反思

二元一次不等式（組）與平面區域，它是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解。它是用數學知識解決實際問題，屬于數學建模，是初等數學中較抽象的，對學生要求較高，又是必須予以掌握的內容。通過這兩節課的學習，使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用，體驗數形結合和轉化的思想方法，培養學生學習數學的興趣、應用數學的意識和解決實際問題的能力。

基于上述分析，我確定本節的教學重點是：讓學生經歷用圖解法求最優解的探索過程，體會數形結合思想在解決數學問題時的優越性。1．本節課是以二元一次不等式(組)所表示的平面區域和線性規劃的圖解法等知識為基礎，體現了數學的工具性、應用性，同時也滲透了轉化、歸納、數形結合數學思想。

2．學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題，即不會建模，故本設計把“實際問題抽象轉化為線性規劃問題”作為本堂課的重難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題的已知條件，找出約束條件和目標函數，然后利用圖解法求得最優解作為突破難點的關鍵．在探究如何求目標函數的最值時，通過以下幾方面讓學生領悟數形結合思想、化歸思想在數學中的應用

通過兩節課的學習，我對本節課的想法和存在的問題作如下的反思：

1、對教學目標研究不透。表現在：一是對教學內容的知識進行簡單羅列；二是對知識和方法要求掌握的程度不清，即了解、理解、掌握、應用或靈活應用、分析與綜合、評價等研究不透，表述不清；三是對學生能力要求空洞而不具體，如培養學生實踐能力和創新精神，培養學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的合作精神等，不善于將這些隱性目標顯性化。

2、教學設計中缺乏問題情境設置。多數課堂教學為了完成教學內容的任務，直奔主題，采用講練結合，不夠重視分析研究學生的已有經驗，不善于應用數學與生活、生產和科技的聯系，設置有趣的教學情境，致使數學教學空洞無味，學生無趣，學習的積極性不高，教學效果不佳。

3、課堂教學中教學方法單一。高中數學課堂教學中，滿堂灌的現象尤為突出，教師講的多，包辦的多，許多本該達到解釋水平的課，不少教師將此下降為記憶水平，“滿堂灌”或“滿堂問”（填空式問答，懂的要問、不懂的不問）；有的課把教學混同于學科習題機械訓練和簡單強化，“表面上像探究，實際上是講解”，大部分學生還處于被動接受的地位，思考水平明顯下降。不少老師對一些主要課型的教學策略和教學模式還停留在原有教學理念和教學要求的層面上。

4、教學過程未體現學科本質。似乎所有的教師都知道數學概念、公式、法則、定理等知識和數學思想方法，但在實際教學中往往是對教學內容的知識進行分析，理清解題思路，小結解題步驟和方法，對知識發生發展過程、價值和提煉解決問題的規律和數學思想方法體現不充分，致使教學效率不高。

5、課堂教學多“牽引”，少正確“引導”。今天的高中數學課堂教學中，教師雖然不像過去那樣把結論、答案直接告訴學生，而往往是以提問的方式引出問題，但教師往往缺少等待，提出問題后很快就會以暗示性的語言迅速把學生的思路、解決問題的方法引到設計好的標準化的路線上來，然后在教師的牽引下迅速指向標準答案，一個教學過程就這樣完成了。這對知識的傳授也許是高效的，但是高效背后犧牲的卻是學生的獨立思考能力及實際解決問題的能力發展的空間和權利。與其說是引導，倒不如說是‘“牽引”，因為學生的主動性完全被抹殺了，只是被動地跟著教師轉。

6、課堂教學效果檢查未得到落實。課堂教學中更多體現完成教學內容性任務，一節數學課上完以后，學生實質上收獲了多少，對知識和方法掌握的程度如何、問題何在，教師基本上不太清楚，只感覺到還可以，或者不太滿意等情況。問題在于未落實課堂教學效果的檢查，未得到教學效果的反饋信息，因此，教學目標完成情況也就不夠清楚。

7、數學課堂教學缺少智慧的生成。在數學課堂中，很多教師依然擔任著“搬運工”的角色，基本上是按部就班、原原本本地把教科書、教參上的內容搬到課堂，告訴學生。在這樣的教學過程、教學方式中，教師很難有什么創造性，學生的創造力也同時被扼殺了，更談不上生成智慧了。缺少智慧的生成說到底還是對教師和學生的層層束縛造成的。教育家陶行知先生在倡導解放兒童的創造力時就提出過著名的六大解放，為此，課堂教學更需要解放教師和學生的頭腦、手腳、時間和空間，讓師生在教學交往互動中自主發展。