第一篇：3.4.1 基本不等式的證明教學點評
鳳凰高中數(shù)學教學參考書配套教學軟件_評課
《3.4.1 基本不等式的證明》評課
南京師范大學附屬中學 仇炳生
本節(jié)課的主要目標是探索并證明基本不等式
a?b?ab(a?0,b?0).在探2索基本不等式的過程中，執(zhí)教老師依據(jù)教材給出的問題，改編為核查一個珠寶商是否違法的故事，創(chuàng)設了一個生動有趣的問題情景．在運用科學推理揭露不法珠寶商違法事實時，由尋找“判斷珠寶商是否違法的依據(jù)”，提出兩個問題：“如何計算珠寶的真實重量？”及“比較
a?b（珠寶商提供的珠寶重量）與ab（珠2寶的真實重量）的大小？”．通過實例展示基本不等式探索過程的教學設計，既使探索過程中思維活動十分流暢，也表現(xiàn)出數(shù)學發(fā)展的趣味性．
在證明基本不等式的過程中，由于基本不等式的證明方法比較多且難度不大，執(zhí)教老師放手讓學生自我研究證明方法．從學生在黑板上的板書中，反映出學生的學習習慣比較好．除條件a?0,b?0在證法中沒有交代以外，證明過程書寫是比較規(guī)范的．必修教材中關于不等式證明的內容比較少，執(zhí)教老師在學生證明的基礎上，對比較法和分析法作簡要的說明，是十分必要的．在教學中，教師指出分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”，即瞄準結論，尋找結論成立的（充分）條件，同時還通過分析法的書寫模式，強化基本思路．謹防學生認為分析法就是“從結論倒推”的錯誤．比較法在學習函數(shù)的單調性時曾經接觸過，比較法實際上也可以看作是分析法的特例，即要證A?B，只要證A?B?0.（或者將對命題A?B的證明，化歸為對它的等價命題A?B?0的證明）．比較法研究不等關系的優(yōu)越性在于，它有利于對未知不等關系的探索和證明．
形（幾何圖形）和數(shù)（數(shù)量關系）是中學數(shù)學研究的基本對象，它們是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式．形和數(shù)各具特點，又互相支撐．一般地，形——生動、形象、整體性好，數(shù)——嚴謹、精確、邏輯性強．形與數(shù)結合有利于開拓思
a?b?ab(a?0,b?0).啟發(fā)學生探索基2a?b本不等式的幾何形式的關鍵在于，給定線段a，b，如何構造線段和ab．由
2維能力．基本不等式的代數(shù)形式為于學生初中數(shù)學內容中沒有射影定理，對于一般學生探索基本不等式的幾何形式有一定的難度．基本不等式的幾何解釋不是本節(jié)內容的重點，是否作為本節(jié)課的鳳凰高中數(shù)學教學參考書配套教學軟件_評課
教學內容可視學生的具體情況確定．
在理解和運用基本不等式的階段中，執(zhí)教老師重視定理教學的常規(guī)方式，首先要求學生分析不等式的特征，不等式成立的條件以及對定理中關鍵詞語的理解，然后再進行練習．這是很好的學習習慣，應該予以肯定．關于運用基本不等式求函數(shù)的最值問題，可以作為下節(jié)課的主要內容重點進行處理．
縱觀本節(jié)課，教學設計合理，學生的參與度高．但在教學中，也有一些不足之處：對練習中學生的錯誤不僅及時指出，還應該及時給出正確的解答；對一些語病沒能及時校正，如將“開方”說成“開根號”，將“
a?b”說成“分式”等． 2
第二篇：4.1 比較法證明不等式
§4 不等式的證明
4．1 比較法證明不等式
1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()
A．t>sB．t≥s
C．t 2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關系是()a＋a＋ 1A．P>QB．P C．P≥QD．P≤Q Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P 13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2? 411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4 ∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1 1111A.B. 1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1 b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1? 11∴a＋1b＋1 an4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關系是bn＋1 () A．an>an＋1B．an C．an＝an＋1D．與n的取值有關 a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1 a＝，?bn＋b＋1??bn＋1? ∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關系是() A．x>y>zB．z>x>y C．y>z>xD．x>z>y 44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36 2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262 ∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關系是() A．a5 5C．a5＝b5D．不確定 解析：選B.∵{an}為等比數(shù)列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關系是________． aa＋m b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m? 又a，b，m為正數(shù)． ∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b 3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3? 3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3? 又因為B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B 答案：≤ 9．設n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關系是________． logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1? logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2?? logn＋1?n2＋2n?2?＝2? logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2) 10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2 ＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2 ＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy ＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy ＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立． a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝ 證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3 aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc 由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3 aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc 相乘即可得證． aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3 12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm) ＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn) ＝am(an－bn)－bm(an－bn) ＝(am－bm)(an－bn)． 當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0； 當a 當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋ 重要不等式及其應用教案 教學目的 (1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式． (2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力． 教學過程 一、引入新課 師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？ 生：求差比較法，即 師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？ 生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法． 二、推導公式 1．奠基 師：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？ 師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)． 以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數(shù)．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (當且僅當a=b=c時取“=”號)． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 ④ (當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加． 3．再探索 師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成 a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質呢？ 生：由③式的推導方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式疊加，并應用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (當且僅當a=b=c時取“=”號)． 師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結果．這些問題留給同學們課外去研究． 4．推論 師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式． ⑦ (當且僅當a=b時取“=”號)． 這就是課本中定理1的推論． ⑧ (當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論． 當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明) ⑨ (當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)． 何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧． 三、小結 (1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下： (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)． 四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明． 幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 + 如上左圖所示，顯然有 (當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過． 三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2＋b2(∵sin2A≤1) (當且僅當sinA=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)． 2三、應用公式練習 1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正． a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．] 改條件使a、b∈R+；②改變證法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．] 師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件．只有公式①、②對任何實數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負實數(shù)也成立)． 2．填空： (1)當a________時，an＋a－n≥________； (3)當x________時，lg2x＋1≥_________； (5)tg2α＋ctg2α≥________； (6)sinxcosx≤________； 師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計．如 表明任何自然數(shù)的算術平方根不大于該數(shù)加1之半． 四、布置作業(yè) 略． 教案說明 1．知識容量問題 這一節(jié)課安排的內容是比較多的，有些是補充內容．這是我教重點中學程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應另當別論．補充內容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現(xiàn)教學的基本要求仍是可以做到的．還應看到學生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學生就有可能舉一反 三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學生的負擔．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應的就增加了課堂練習的時間．反之，如果學生被動聽講，目標不清，不得要領，內容講得再少，學生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學生的程度有關，與教學是否得法也很有關系．我們應當盡可能采用最優(yōu)教法，擴大學生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果． 2．教學目的問題 近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學目的和要求時，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學效果．在培養(yǎng)學生的能力方面，不僅要求學生能夠運用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學目的：一是在知識內容上要求學生掌握四個公式；二是培養(yǎng)學生用綜合法進行推理的能力．當然，學生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學結果．考慮到中學數(shù)學的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結合起來，天長日久，肯定會收到深遠的效果． 3．教材組織與教法選用問題 實現(xiàn)上述教學目的，關鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內在聯(lián)系，又似乎在應用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數(shù)的平方和或三個數(shù)的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數(shù)時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現(xiàn)行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式： 和它的等價形式當 n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應是一般式的基礎．同時，這兩個特例之間應有緊密的聯(lián)系，在推導方法上也應該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法． 這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式 a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經迭代、疊加，推出不等式 a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式 an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應用數(shù)學歸納法就可以證出公式 正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于 2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應在上一節(jié)比較法中就予以強調． 當學生在教師的指導下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學生今后獨立去獲取知識的過程． 課題：基本不等式及其應用 一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和 a?b?ab(a、b∈R+，當且僅當a=b時取“=”號)，并能應用它們證明一些不等 2式． (2)情感：通過對定理及其推論的證明與應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力． 二、教學重難點 重點：兩個基本不等式的掌握； 難點：基本不等式的應用。 三、教材、學生分析 教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種 方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。 學生分析：學生在上新課之前都預習了本節(jié)內容，對上課內容有一定的理解。所以根據(jù)這一 情況多補充了一些內容，增加了課堂容量。 四、教學過程 （一）引入新課 客觀世界中，有些不等式關系是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關系的證明，常常會歸結為一些基本不等式。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。 （二）推導公式 1．奠基 如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？ 學生回答：a=b，因為a=b?a+b=2ab 2 2充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)． 以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數(shù)．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ （當且僅當a=b=c時取“=”號)． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana 1④ (當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加． 3．練習 222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c） 4．基本不等式 2直接應用基本不等式1可以得到基本不等式2 如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到 22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤ 2(當且僅當a=b時取“=”號)． 這就是課本中基本不等式2 我們把a?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 25、公式小結 (1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關系可圖示如下： 展開 迭代、疊加① 配方 ② ③ 降換 次元 ⑤ (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)． (3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明． +222幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表 示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 2ab?4?ab?4S?ABC 2 如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2 ∴a＋b≥2ab 22 (當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過． 公式 示： a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2 （三）例題 1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4 （其中一題作為練習） （四）應用 下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。 求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。 證明：設矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2 '可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2 由基本不等式2，得a?b?ab?0（因為a≠b等號不成立）。2 a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質，得（（五）作業(yè) 練習冊P10/6 課時九 基本不等式與不等式基本證明 第一部分：基本不等式變形技巧的應用 基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用，利用基本不等式時，關鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。 技巧一：加減常數(shù) 例 1、求函數(shù)y?x? 點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項均為正。 技巧二：巧變常數(shù) 例 2、已知0?x? 點評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應用時要注意活用。 技巧 三、分離常數(shù) 例 3、已知x? 5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值 32點評：通過加減常數(shù)，分離出一個常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。 技巧 四、活用常數(shù) 例 4、若x,y?R且滿足 點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。 技巧 五、統(tǒng)一形式 ?例 5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1 a?b?1 c)的最小值。 點評：根據(jù)分母的特點，進行結構調整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧 。x(1?x)等） 1．輪換對稱型 例1 若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求 證：a?b?c 222 ?ab?bc?ac.點評：分段應用基本等式，然后整體相加(乘)得結論，是證明輪換對稱不等式的常用技 巧。 2．利用“1”的代換型 111? 已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2 點評：做“1”的代換。 .3.逆向運用公式型 a,b?R,a?b?1求證： a? ? ?b? ?2.例3已知 點評：依據(jù)求證式的結構，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關鍵。為脫去左邊的根號，a? 12,b? 將 1?1??? 轉換成 1??a??,1??b??,然后逆向運22?2??? 用均值不等式： 若 a,b?R則 ab? ? a?b2 .4．挖掘隱含條件證明不等式 1??1?1?? a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知 ?a,b?R?,a?b?1 1??2 ?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b? 4??ab?? ?2?點評:由于? 著一個不等式ab? .5．用均值不等式的變式形式證明不等式 a?b?例5已知a,b,c?R,求證： ? b?c ?c?a ? 2?a?b?c?.點評：本題的關鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出 a?b與a?b間的關系，問題就可以 222222 解決，注意到 ? a?b?2ab?2a?b ? ?? ?a?b?2 ?2a?b ?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時要注意a ?b?2ab的a?b 變式應用。常用 ? a?b2 (其中a,b?R)來解決有關根式不等式的問題.?第三篇：基本不等式的證明
第四篇：基本不等式的證明
第五篇：基本不等式與不等式基本證明
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