第一篇：《基本不等式》教案

《基本不等式》教學設計

教材：人教版高中數學必修5第三章

一、教學目標

1．通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數形結合的思想；

2．進一步提煉、完善基本不等式，并從代數角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；

3．結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數形結合的思想； 4．借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式方法與策略．

以上教學目標結合了教學實際，將知識與能力、過程與方法、情感態度價值觀的三維目標融入各個教學環節．

二、教學重點和難點

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教學過程： 1．動手操作，幾何引入

的證明過程； 的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會

如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現了以形證數、形數統一、代數和幾何是緊密結合、互不可分的．

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關系和不等關系嗎？ 在正方形中有4個全等的直角三角形．設直角三角形兩條

直角邊長為，．于是，那么正方形的邊長為4個直角三角形的面積之和正方形的面積由圖可知，即

．

．

探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設兩個正方形的面積分別為和（），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現一個不等式嗎？

通過學生動手操作，探索發現：2．代數證明，得出結論

根據上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論： 若若，則，則

． ．

學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關系中的相等條件，從而進一步完善不等式結論：

（1）若，則

；（2）若，則

請同學們用代數方法給出這兩個不等式的證明． 證法一（作差法）：，當（在該過程中，可發現證法二（分析法）：由于要證明 只要證明 即證 即，，該式顯然成立，所以，當

時取等號．

時取等號． 的取值可以是全體實數），于是

得出結論，展示課題內容 基本不等式: 若若，則，則

（當且僅當（當且僅當

時，等號成立）時，等號成立）

深化認識： 稱為的幾何平均數；稱

為的算術平均數

基本不等式又可敘述為：

兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數 3．幾何證明，相見益彰

探究三：如圖，弦，連接． 是圓的直徑，點是上一點，．過點作垂直于的根據射影定理可得：由于Rt中直角邊

斜邊，于是有當且僅當點 與圓心重合時，即

時等號成立．

故而再次證明： 當時，（當且僅當

時，等號成立）

（進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性）4．應用舉例，鞏固提高

例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）對于（1）若，（定值），則當且僅當

時，有最小值

；

（2）若（定值），則當且僅當時，有最大值．

（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養了勇于探索的精神．）

例2.求變式1.若，求的值域． 的最小值． 的函數圖象，使學生再次感受在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示數形結合的數學思想． 并通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．

練一練（自主練習）：

1.已知2.設，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．歸納小結，反思提高 基本不等式：若，則

（當且僅當

時，等號成立）

若，則（當且僅當時，等號成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法． 媒體展示，滲透思想： 若將算術平均數記為，幾何平均數記為

利用電腦3D技術，在空間坐標系中向學生展示基本不等式的幾何背景：

平面

在曲面的上方

6．布置作業，課后延拓（1）基本作業：課本P100習題

組1、2題

（2）拓展作業：請同學們課外到閱覽室或網上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．（3）探究作業： 現有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？并說明你的結論．

《基本不等式》教學設計說明

一、內容和內容解析

本節課是人教版高中數學必修5中第三章第4節的內容。主要是二元均值不等式。它是在系統地學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的優良素材，所以基本不等式應重點研究。

教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。

就知識的應用價值上來看，基本不等式是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導中所蘊涵的數學思想方法如數形結合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應用；另外，在解決函數最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。

就內容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納，有助于培養學生創新思維和探索精神，是培養學生數形結合意識和提高數學能力的良好載體。

二、教學目標和目標解析

教學目標：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導下探究基本不等式的證明過程，理解基本不等式的幾何解釋，并能解決簡單的最值問題；借助于信息技術強化數形結合的思想方法。

在教師的逐步引導下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實現對基本不等式幾何背景的初步了解。

學生已經學習了不等式的基本性質，可以運用作差法給出基本不等式的證明，同時，介紹并滲透分析法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數證明。

進一步通過探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解釋，加強學生數形結合的意識。

通過應用問題的解決，明確解決應用題的一般過程。這是一個過程性目標。借助例1，引導學生嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與積的相互轉化，進一步通過例2，引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，并用幾何畫板展示函數圖形，進一步深化數形結合的思想。結合變式訓練完善對基本不等式結構的理解，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

三、教學問題診斷

在認知上，學生已經掌握了不等式的基本性質，并能夠根據不等式的性質進行數、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識。但是，倘若教師不加以引導，學生并不能自覺地通過已有的知識、記憶去發展和構建幾何圖形中的相等或不等關系，這就需要教師逐步地引導，并選用合理的手段去激活學生的思維，增強數形結合的思想意識。

另外，盡可能引領學生充分理解兩個基本不等式等號成立的條件，為利用基本不等式解決簡單的最值問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時，學生往往容易忽視基本不等式件，同時又要注意區別基本不等式的使用條件為

使用的前提條

。因此，在教學過程中，借助例題落實學生領會基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用。而對于“一正二定三相等”的進一步強化和應用，將放于下一個課時的內容。

四、教學支持條件分析

為了能很好地展示幾何圖形,體會基本不等式的幾何背景,教學中需要有具體的圖形來幫助學生理解基本不等式的生成，感受數形結合的數學思想，所以，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要，同時演示動畫幫助學生驗證基本不等式等號取到的情況，并用電腦3D技術展示基本不等式的又一幾何背景，加深對基本不等式的理解，增強教學效果。

五、教學設計流程圖

教學過程的設計從實際的問題情境出發，以基本不等式的幾何背景為著手點，以探究活動為主線，探求基本不等式的結構形式，并進一步給出幾何解釋，深化對基本不等式的理解。通過典型例題的講解，明確利用基本不等式解決簡單最值問題的應用價值。數形結合的思想貫穿于整個教學過程，并時刻體現在教學活動之中。

六、教法和預期效果分析

本節課通過6個教學環節，強調過程教學，在教師的引導下，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動，從各個層面認識基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學以學生為主體，基本不等式為主線，在學生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發生、發展及再創造的過程。

同時，以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D技術作為教學輔助手段，賦予學生直觀感受，便于觀察，從而把一個生疏的、內在的知識，變成一個可認知的、可交流的對象，提高了課堂效率。

通過這節課的學習，引領學生多角度、多方位地認識基本不等式，并了解它的幾何意義充分滲透數形結合的思想；能在教師的引導下，主動探索并了解基本不等式的證明過程，強化證明的各類方法；會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題并注意等號取到的條件。在教學過程中始終圍繞教學目標進行評價，師生互動，在教學過程的不同環節中及時獲取教學反饋信息，以學生為主體，及時調節教學措施，完成教學目標，從而達到較為理想的教學效果。

第二篇：基本不等式教案

基本不等式

【教學目標】

1、掌握基本不等式，能正確應用基本不等式的方法解決最值問題

2、用易錯問題引入要研究的課題，通過實踐讓同學對基本不等式應用的二個條件有進一步的理解

3、會應用數形結合的數學思想研究問題 【教學重點難點】

教學重點: 基本不等式應用的條件和等號成立的條件 教學難點：基本不等式等號成立的條件 【教學過程】

一、設置情景，引發探究 問題一：x?1有最小值嗎？ x2問題二：x?3?1x?32?2正確嗎？

二、合作交流，研究課題

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，當且僅當a=b時取到等號。22

22a2?b2a?b2 R中，當且僅當a=b時取到等號。??ab?，1122?ab?注意：

1、公式應用的條件

2、等號成立的條件

三、實例分析，深化理解 例

1、求所給下列各式的最小值（1）y?a? 1(a?3)a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1當且僅當a?3??a?3?1?a?4時，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1)（2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上單調遞減，在[0,1]上單調遞增，當且僅當x?11?(1?x??1)?x?0時，y有最小值1。22(x?1)11+的最小值.xy總結：想求和的最小值，乘積為定值

例

2、已知正數x、y滿足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y?22xy，∴xy?

1； 8（2）∵x、y為正數，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy當且僅當

22yx=，即當x=2－1，y=1－時等號成立.2xy∴11+的最小值為3+22.（目的：發現同學中的等號不成立的錯解）xy總結：想求乘積的最大值，和為定值

四、總結提高，明確要點

五、布置作業，復習鞏固

教學反思：加強利用均值不等式及其他方法求最值的練習，在求最大（小）值時，有三個問題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出現積為定值或和為定值；第三，要注意等號成立的條件，若等號不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（小）值.

第三篇：基本不等式的證明 教案

課題：基本不等式的證明(1)

斜橋中學肖劍

一、教材分析

不等式是高中的重點也是難點,而本節內容又是該章的重中之重，是《考試說明》中八個C級考點之一。基本不等式的證明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關系提供了主要的方法及應用。用基本不等式求函數最值也是高考的一個熱點。

二、教學目標

1.知識目標：⑴知道算術平均數和幾何平均數的概念

⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式證明簡單的不等關系。

2.情感目標：通過不等式基本性質的探究過程，培養學生合作交流的思維品質，滲透不等式

中的數學美，激發學生學習興趣，陶冶學生的數學情操。

3.能力目標:⑴通過對基本不等式證明的理解，體會三種證明方法，能準確用三種證明中簡

單的方法證明其它不等式問題。

⑵體會類比的數學思想方法，培養其觀察、分析問題的能力和總結概括的能力

三、教學重、難點

以學生探索發現定理來得出重點，以學生小組討論，教師點撥來突破難點。

四、教學方法

以學生自主探究為住，教師歸納總結，采用啟發式教學。

五、教學過程

1、創設情境、導入新課

利用多媒體顯示下面不等式，由學生完成比較大小。

3?42?94?

423

322222、問題探究、講授新課

提出問題：能否發現什么規律？

通過比較，學生不難得出，兩數和的一半大于兩數積的算術平方根。從而得出數學表達式a?b?ab。從而得出本節課的第一個重點：基本不等式的定理。這樣由學生自主探索、2發現新知，可讓他們體會獲得成功的愉悅感。在這里，如果學生漏掉a和b是正數，可對他們進行修正，并可擴充到a?0，b?0。同時講明取“＝”當且僅當的含義，接著可向學生講

解算術平均數和幾何平均數的概念。

得出這個定理后，下面我可利用多媒體生動地向學生展示該不等式的幾何證明即不等式的幾何意義同時強調取等號時的位置，這樣可提高他們學習數學的興趣。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個不等式是正確的，但我們數學是需要嚴謹的邏輯證明，同學們可用哪些方法去證明呢？這便是本節課的第二個重點，也是難點。在此，可鼓勵學生發揮集體的力量，一人不行兩人，兩人不行四人，大家一起探討，這樣以學生為主體，使他們全都參與到課堂中去，使課堂達到高潮。在學生的討論過程中，我也深入到學生中去，并做適當的點撥。

通過學生的討論，學生不難得出用作差的方法證明該不等式，對此，我對他們進行鼓勵、肯定，豎立他們學習數學的自信心。同時向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們再次強化該方法的書寫步驟。對于分析法，我估計學生可能會想到思路，會說出大致的證明過程，但對該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個重要方法，接著講解該方法，即從結論出發，推到已知結論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學會規范的書寫，即“要證，只要證”的形式

要證ab?a?b

2只要證2ab?a?b

只要證0?a?b?2ab

只要證0?a?b ?2

因為最后一個不等式成立，所以ab? a?b成立，當且僅當a?b，即a?b時取“?” 2

對于綜合法，在證明這道題時，如果學生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因為綜合法在本題中不易想到從哪個式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學生自然能想到從哪個式子開始證明，同時講清綜合法的特點，即由條件，推倒結論。

講完三種證明方法后，留一定時間給學生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點及書寫過程，加深他們的印象。

b2a2

?最后，我以鞏固本節課所學知識為目的，讓學生比較:與a?b的大小(其中ab

a,b?R?)，在這里，我認為比較兩個變量的大小，可引導學生利用我們上課一開始比較具體數大小的方法，代幾個具體的數去比較。這種方法在我們以后做填空題中比較大小是一種捷徑。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學生在黑板板演，以檢驗他們掌握情況與書寫格式是否合理。如時間還有剩余，可由學生完成例一，幫他們鞏固基本不等式定理。

例一1．設a,b為正數，證明下列不等式成立：

ba1??2（2）a??2 aba

162．已知函數y?x?，x?(?2,??)，求此函數的最小值。x?2（1）

六、回顧反思：

本節課的最后，由學生思考今天所學到了哪些知識，這些知識可解決哪些問題？

七、板書設計

基本不等式

一、定理

a?b?ab（a?0，b?0）

2二、證明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶綜合法

三、探索 a?b比較?2a2?b2的大小 2

如何證明

例一

第四篇：“基本不等式”(第一課時)教案

基本不等式教學設計（第一課時）

阮

曉

鋒

一、教學目標

1.知識與技能目標： 學會推證基本不等式，了解基本不等式的應用。

2.過程與方法目標：通過代數、幾何背景探究抽象出基本不等式；

3．情感與價值目標：通過學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣。

二、教學重點和難點

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索其證明過程； 難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教學過程：

1．設置情景，引入新課

如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明。

探究一：在這張“弦圖”中借助面積能找出一些相等關系和不等關系嗎？

問題1：它們有相等的情況嗎？何時相等？

結論：一般地，對于正實數a、b，我們有a?b?2ab 當且僅當a=b時等號成立.2．代數證明，推出結論

問題2：你能給出它的代數證明嗎？（請同學們用代數方法這個不等式的證明．）

證明（作差法）：

∵，當（在該過程中，可發現a,b取值可以是全體實數）問題3：當 a,b為任意實數時，上式還成立嗎？

2222給出

時取等號．

重要不等式：對任意實數a、b，我們有a?b?2ab（當且僅當a=b時等號成立）特別地，若a>0且b>0可得a?b?ab，即基本不等式:若a>0且b>0，則

a?b?ab（當且僅當a=b時等號成立）2a?b?ab（當且僅當a=b時等號成立）2深化認識：

(1)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.(2)若稱a?b為a、b的算術平均數,稱ab為它們的幾何平均數，則基本不等式又可2敘述為：兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數 3．動手操作、幾何證明，相見益彰 探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設兩個正方形的面積分別為a和b（a?b），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現一個不等式嗎？（通過學生動手操作，探索發現）

探究三：如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．根據射影定理可得：CD?大于直角邊CD，于是有

AC?BC?ab由于RtCOD中斜邊OD

a?b?ab當且僅當點C與圓心O重合時，即a=b時等號成立.2（進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性）4．應用舉例，鞏固新知 例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講析，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）方法：一般地，對于x,y?R我們有：

142?（1）若xy=p（p為定值），則當且僅當a=b時，x+y有最小值2xy；（2）若x+y=s（s為定值），則當且僅當a=b時，xy有最大值s． 上述應用基本不等式求最值的方法可簡記為：

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

例2.設x?0,y?0，且2x?y?2，求xy的最大值．

1的最小值.x?21思考題：若x?2,你能求出x?的最小值嗎？能求出其最大值嗎？若能請求出來.x?2變式題.若x?2，求x?5．歸納小結，反思提高

22重要不等式：若a、b?R，則a?b?2ab（當且僅當a?b時等號成立）

基本不等式：若a、b?R，則

?a?b?ab（當且僅a?b等號成立）2運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法．

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

6．布置作業，課后延拓

（1）基本作業：課本P100-101習題組2、4題（2）提高作業：求y?x?1的值域． x（3）探究作業：

現有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？并說明你的結論．

第五篇：基本不等式練習題

基本不等式練習題

一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若a?R，下列不等式恒成立的是（）

A．a2?1?aB12?1C．a2?9?6aD．lg(a?1)?lg|2a| 2a?

12.若0?a?b且a?b?1，則下列四個數中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2?b2Ｃ．2abＤ．a3.設x>0,則y?3?3x?的最大值為（）

Ａ．3Ｂ

．3? Ｃ．

3?Ｄ．－1

4.設x,y?R,且x?y?5,則3x?3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正數，且14??1，則xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是（）

A．a2?b2?c2?2B．(a?b?c)2?3

C

．1

a?1

b?1

c?D

．a?b?c?7.若x>0, y>0,且x+y?4,則下列不等式中恒成立的是（）

A．11111?B．??1C

2D．?1 x?y4xyxy

8.a,b是正數，則

Ａ

．

a?b,22ab三個數的大小順序是（）a?b a?b2aba?b2abＢ

．????2a?b2a?b

2aba?bＤ

．a?b22aba?b?a?b2Ｃ

．9.某產品的產量第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，設這兩年平均增長率為x，則有（）

Ａ．x?p?qp?qp?qp?qＢ．x?Ｃ．x?Ｄ．x? 2222

10.下列函數中，最小值為4的是（）

Ａ．y?x?Ｂ．y?sinx?

?x

Ｃ．y?ex?4eＤ．

x

4(0?x??)sinx

y?log3x?4loxg 3

二、填空題, 本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11.函

數y?的最大值為12.建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和

池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為_________元.13.若直角三角形斜邊長是1，則其內切圓半徑的最大值是.14.判斷下列不等式的證明過程中的正誤，并指出錯因。（1）若a、b∈R，則

baba

＋≥2?＝2（）abab

?

（2）若x,y?R，則lgx＋lgy≥2lgx?lgy（）

（3）若x?0，則x＋

4≥－2x?＝－4（）xx

（4）若x∈R，則2x＋2?x≥22x?2?x＝2（）

三、解答題, 本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應寫出

必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15..16.設a, b, c?(0,??),且a+b+c=1，求證：(?1)(?1)(?1)?8.a

1b

1c

17.已知正數a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;的最小值.18.2）求ab?

ab

（基本不等式

1.若a,b?R，則ab?a

?b2

2（當且僅當a?b時取“=”）

2.若a,b?R*，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

3.若

x?0，則

x?

?2(當且僅當x

x?1時取“=”）;若x?0，則x?1??2(當且僅當

x

x??1時取“=”）

注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植

時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”。

應用一：求最值

例1：求下列函數的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域為[6，+∞）

（2）當x＞0時，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

當x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.當3.若

4已知

時，求

x?，求函數y?4x?2?

1的最大值 4x?

5y?x(8?2x)的最大值。

x,y?R?且2x?y?1，求

11的最小值 ?xy

a,b,x,y?R?且

ab

??1，求xy

x?y的最小值

應用二：利用均值不等式證明不等式

5.已知

6.正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、c?R，且

?

a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

a?b?c?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題

8.已知

x?0,y?0且

??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。xy

應用四：實際應用題及比較大小

1a?b)，則P,Q,R的大小關系是例：若a?b?1,P?a?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg（22

分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?a?lgb?p

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

9.建造一個容積為18m, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為多少元.