9．2.2　總體百分位數的估計

9．2.3　總體集中趨勢的估計

知識點一　百分位數的計算

1.一次數學測試中，高一(1)班某小組12名學生的成績分別是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，則這次測試中，該小組12名學生成績的75%分位數是()

A．88分

B．89分

C．90分

D．91分

2．某校調查某班30名同學所穿的鞋的尺碼如下表所示：

碼號

人數

則這組數據的25%分位數是()

A．33

B．34

C．35

D．36

知識點二　百分位數的實際應用

3.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(單位：噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中a的值；

(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(單位：噸)，估計x的值，并說明理由．

4．某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費．

(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關于月用電量x(單位：千瓦時)的函數解析式；

(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用低于260元的占80%，求a，b的值；

(3)根據(2)中求得的數據計算用電量的75%分位數．

知識點三　平均數、中位數、眾數的計算

5.某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數、眾數、中位數分別是()

A．85,85,85

B．87,85,86

C．87,85,85

D．87,85,90

6．一組數據1,10,5,2，x,2，且2＜x＜5，若該數據的眾數是中位數的倍，則該數據的平均數為()

A．3

B．4

C．4.5

D．5

7．從高三抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：

(1)這50名學生成績的眾數與中位數；

(2)這50名學生成績的平均數(答案精確到0.1)．

知識點四　平均數、中位數、眾數的實際應用

8.某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下：

每人銷售件數

1800

510

250

210

150

120

人數

(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數、中位數及眾數；

(2)假設銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認為是否合理，為什么？如果不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．

9．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．

(1)求直方圖中x的值；

(2)求月平均用電量的眾數和中位數；

(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？

一、選擇題

1．下列說法錯誤的是()

A．一個樣本的眾數、中位數和平均數不可能是同一個數

B．統(tǒng)計中，我們可以用樣本平均數去估計總體平均數

C．樣本平均數既不可能大于也不可能小于這個樣本中的所有數據

D．眾數、中位數和平均數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢

2．在某次考試中，10名同學的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.則這一組數據的眾數、中位數和75%分位數分別為()

A．84,68,83

B．84,78,83

C．84,81,84

D．78,81,84

3．某單位定期對員工的專業(yè)知識、工作業(yè)績、出勤情況三個方面進行考核(考核的滿分均為100分)，三個方面依次按3∶5∶2確定最后得分．小王經過考核后所得的分數依次為90分、88分、83分，那么小王的最后得分是()

A．87分

B．87.5分

C．87.6分

D．88分

4．對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則估計此樣本的眾數、中位數分別為()

A．2.25,2.5

B．2.25,2.02

C．2,2.5

D．2.5,2.25

5．(多選)在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區(qū)間的中點值作代表，則下列說法中正確的是()

A．成績在[70,80)內的考生人數最多

B．不及格的考生人數為1000

C．考生競賽成績的平均分約為70.5分

D．考生競賽成績的中位數為75分

二、填空題

6．從甲、乙、丙三個廠家生產的同一種產品中分別抽取8件產品，對其使用壽命(單位：年)進行追蹤調查的結果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三個廠家廣告中都稱該產品的使用壽命是8年，請根據結果判斷廠家在廣告中分別運用了平均數、眾數、中位數中的哪一種集中趨勢的特征數．

甲：________，乙：________，丙：________.7．近年來，某市私家車數量持續(xù)增長，2015年至2019年該市私家車數量依次為15,19,22,26,30(單位：萬輛)，則該組數據的中位數是________，10%分位數是________，20%分位數是________．

8．某校100名學生的數學測試成績頻率分布直方圖如圖所示，分數不低于a(a為整數)即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數為20人，則a的估計值是________．

三、解答題

9．統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調查了10000人，并根據所得數據畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500,3000)內．

(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人平作進一步分析，則月收入在[4000,4500)內的應抽取多少人？

(2)估計該地居民的月收入的中位數；

(3)假設同組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數．

10．對某校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數，根據此數據作出頻率分布表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數

頻率

[10,15)

0.25

[15,20)

n

[20,25)

m

p

[25,30]

0.05

合計

M

(1)求出表中M，p及圖中a的值；

(2)若該校有高三學生240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間[10,15)內的人數；

(3)估計學生參加社區(qū)服務次數的眾數、中位數及平均數．

9．2.2　總體百分位數的估計

9．2.3　總體集中趨勢的估計

知識點一　百分位數的計算

1.一次數學測試中，高一(1)班某小組12名學生的成績分別是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，則這次測試中，該小組12名學生成績的75%分位數是()

A．88分

B．89分

C．90分

D．91分

答案　D

解析　因為12×75%＝9，所以這組數據的75%分位數為＝91(分)．故選D.2．某校調查某班30名同學所穿的鞋的尺碼如下表所示：

碼號

人數

則這組數據的25%分位數是()

A．33

B．34

C．35

D．36

答案　B

解析　因為30×25%＝7.5，所以這組數據的25%分位數為34.故選B.知識點二　百分位數的實際應用

3.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(單位：噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中a的值；

(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(單位：噸)，估計x的值，并說明理由．

解(1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1.解得a＝0.30.(2)由(1)知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12＝36000.(3)因為前6組的頻率之和為

0．04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85.而前5組的頻率之和為

0．04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×(x－2.5)

＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準．

4．某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費．

(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關于月用電量x(單位：千瓦時)的函數解析式；

(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用低于260元的占80%，求a，b的值；

(3)根據(2)中求得的數據計算用電量的75%分位數．

解(1)當0≤x≤200時，y＝0.5x；

當200＜x≤400時，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；

當x＞400時，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數解析式為

y＝

(2)由(1)可知，當y＝260時，x＝400，即用電量低于400千瓦時的占80%，結合頻率分布直方圖可知

解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)設75%分位數為m，因為用電量低于300千瓦時的所占比例為(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用電量低于400千瓦時的占80%，所以75%分位數m在[300,400)內，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375(千瓦時)，即用電量的75%分位數為375千瓦時.知識點三　平均數、中位數、眾數的計算

5.某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數、眾數、中位數分別是()

A．85,85,85

B．87,85,86

C．87,85,85

D．87,85,90

答案　C

解析　由平均數、中位數、眾數的定義可知，平均數

＝＝87；因為得85分的有4人，所以眾數是85；把成績由大到小排列為100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位數是85.6．一組數據1,10,5,2，x,2，且2＜x＜5，若該數據的眾數是中位數的倍，則該數據的平均數為()

A．3

B．4

C．4.5

D．5

答案　B

解析　因為2＜x＜5，所以由小到大排列為1,2,2，x,5,10，則眾數是2，中位數是(2＋x)，所以2＝×(2＋x)，解得x＝4，則平均數是×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.7．從高三抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：

(1)這50名學生成績的眾數與中位數；

(2)這50名學生成績的平均數(答案精確到0.1)．

解(1)由眾數的概念可知，眾數是出現(xiàn)次數最多的數．在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求，所以由頻率分布直方圖得眾數應為75.由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．

∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三個小矩形面積的和為0.3，而第四個小矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位數應位于第四個小矩形內．

設其底邊為x，高為0.03，令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位數約為70＋6.7＝76.7.(2)樣本平均值應是所有數據的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可．

∴平均數為45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈73.7.知識點四　平均數、中位數、眾數的實際應用

8.某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下：

每人銷售件數

1800

510

250

210

150

120

人數

(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數、中位數及眾數；

(2)假設銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認為是否合理，為什么？如果不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．

解(1)平均數＝×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位數為210，眾數為210.(2)不合理．因為15人中有13人的銷售額達不到320件，也就是說，320雖是這一組數據的平均數，但它卻不能反映銷售人員的一般水平．銷售額定為210件合理些，這是由于210既是中位數，又是眾數，是絕大部分人都能達到的銷售額．

9．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．

(1)求直方圖中x的值；

(2)求月平均用電量的眾數和中位數；

(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？

解(1)依題意，20×(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)＝1，解得x＝0.0075.(2)由圖可知，最高矩形的數據組為[220,240)，∴眾數為＝230.∵[160,220)的頻率之和為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45，依題意，設中位數為y，∴0.45＋(y－220)×0.0125＝0.5.解得y＝224，∴中位數為224.(3)∵月平均用電量在[220,240)的用戶在四組用戶中所占比例為＝，∴月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取11×＝5(戶)．

一、選擇題

1．下列說法錯誤的是()

A．一個樣本的眾數、中位數和平均數不可能是同一個數

B．統(tǒng)計中，我們可以用樣本平均數去估計總體平均數

C．樣本平均數既不可能大于也不可能小于這個樣本中的所有數據

D．眾數、中位數和平均數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢

答案　A

解析　用樣本估計總體情況時，在一組數據中，眾數、中位數和平均數可能是同一個數，例如：數據10,11,11,11,11,11,12的眾數、中位數和平均數都是11.2．在某次考試中，10名同學的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.則這一組數據的眾數、中位數和75%分位數分別為()

A．84,68,83

B．84,78,83

C．84,81,84

D．78,81,84

答案　C

解析　將所給數據按從小到大的順序排列是68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，顯然眾數為84，而本組數據共10個，中間兩個數是79,83，它們的平均數為81，即中位數為81.因為10×75%＝7.5，所以這一組數據的75%分位數為84.故選C.3．某單位定期對員工的專業(yè)知識、工作業(yè)績、出勤情況三個方面進行考核(考核的滿分均為100分)，三個方面依次按3∶5∶2確定最后得分．小王經過考核后所得的分數依次為90分、88分、83分，那么小王的最后得分是()

A．87分

B．87.5分

C．87.6分

D．88分

答案　C

解析　小王的最后得分＝90×＋88×＋83×＝27＋44＋16.6＝87.6(分)．故選C.4．對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則估計此樣本的眾數、中位數分別為()

A．2.25,2.5

B．2.25,2.02

C．2,2.5

D．2.5,2.25

答案　B

解析　眾數是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數，在頻率分布直方圖中通常取該組區(qū)間的中點，所以眾數為＝2.25.中位數是頻率為0.5的分界點，由頻率分布直方圖，可知前4組的頻率和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位數出現(xiàn)在第5組，設中位數為x，則(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02，故選B.5．(多選)在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數據用該組區(qū)間的中點值作代表，則下列說法中正確的是()

A．成績在[70,80)內的考生人數最多

B．不及格的考生人數為1000

C．考生競賽成績的平均分約為70.5分

D．考生競賽成績的中位數為75分

答案　ABC

解析　由頻率分布直方圖可得，成績在[70,80)內的頻率最高，因此考生人數最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績在[40,60)內的頻率為10×(0.01＋0.015)＝0.25，因此不及格的人數為4000×0.25＝1000，故B正確；由頻率分布直方圖可得，平均分約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正確；因為成績在[40,70)內的頻率為10×(0.01＋0.015＋0.02)＝0.45，在[70,80)內的頻率為0.3，所以中位數為70＋10×≈71.67，故D錯誤．故選ABC.二、填空題

6．從甲、乙、丙三個廠家生產的同一種產品中分別抽取8件產品，對其使用壽命(單位：年)進行追蹤調查的結果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三個廠家廣告中都稱該產品的使用壽命是8年，請根據結果判斷廠家在廣告中分別運用了平均數、眾數、中位數中的哪一種集中趨勢的特征數．

甲：________，乙：________，丙：________.答案　眾數　平均數　中位數

解析　對甲分析：8出現(xiàn)的次數最多，故運用了眾數；

對乙分析：8既不是眾數，也不是中位數，求平均數可得，平均數＝×(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)＝8，故運用了平均數；

對丙分析：共8個數據，最中間的是7和9，故其中位數是8，即運用了中位數．

7．近年來，某市私家車數量持續(xù)增長，2015年至2019年該市私家車數量依次為15,19,22,26,30(單位：萬輛)，則該組數據的中位數是________，10%分位數是________，20%分位數是________．

答案　22　15　17

解析　這組數據從小到大排列后，22處于最中間的位置，故這組數據的中位數是22.∵5×10%＝0.5，∴該組數據的10%分位數是15，∵5×20%＝1，∴該組數據的20%分位數是＝17.8．某校100名學生的數學測試成績頻率分布直方圖如圖所示，分數不低于a(a為整數)即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數為20人，則a的估計值是________．

答案　133

解析　由已知可以判斷a∈[130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.三、解答題

9．統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調查了10000人，并根據所得數據畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500,3000)內．

(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人平作進一步分析，則月收入在[4000,4500)內的應抽取多少人？

(2)估計該地居民的月收入的中位數；

(3)假設同組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數．

解(1)因為(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以a＝＝0.0005.又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000,4500)內的頻率為0.25，所以月收入在[4000,4500)內的應抽取的人數為0.25×100＝25.(2)因為0.0002×500＝0.1,0.0004×500＝0.2,0.0005×500＝0.25,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以樣本數據的中位數是3500＋＝3900.因此估計該地居民月收入的中位數是3900元．

(3)樣本平均數為(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900，因此估計該地居民月收入的平均數為3900元．

10．對某校高三年級學生參加社區(qū)服務的次數進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數，根據此數據作出頻率分布表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數

頻率

[10,15)

0.25

[15,20)

n

[20,25)

m

p

[25,30]

0.05

合計

M

(1)求出表中M，p及圖中a的值；

(2)若該校有高三學生240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間[10,15)內的人數；

(3)估計學生參加社區(qū)服務次數的眾數、中位數及平均數．

解(1)由分組[10,15)內的頻數是10，頻率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，所以p＝＝＝0.1，a＝＝0.12.(2)估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間[10,15)內的人數為0.25×240＝60.(3)估計學生參加社區(qū)服務次數的眾數是＝17.5.因為n＝＝0.6，所以中位數落在[15,20)內，設中位數為15＋x，則0.25＋0.12x＝0.5.解得x≈2.1.所以估計學生參加社區(qū)服務次數的中位數是15＋2.1＝17.1.又12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25.所以估計學生參加社區(qū)服務次數的平均數是17.25.