2021年高中數學人教A版（新教材）選擇性必修第二冊4.3.2　第2課時　等比數列前n項和公式的應用

一、選擇題

1．等比數列{an}的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數列．若a1＝1，則S4等于()

A．7

B．8　　　　C．15　　　　D．16

2．設{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于()

A．

B．

C．

D．

3．設各項都是正數的等比數列{an}，Sn為其前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()

A．150

B．－200

C．150或－200

D．400

4．設數列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項和為Sn，則S20等于()

A．1

025

B．1

024

C．10

250

D．20

240

5．已知公差d≠0的等差數列{an}

滿足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比數列，若正整數m，n滿足m－n＝10，則am－an＝()

A．30

B．20

C．10

D．5或40

6．(多選題)已知Sn是公比為q的等比數列{an}的前n項和，若q≠1，m∈N*，則下列說法正確的是()

A．＝＋1

B．若＝9，則q＝2

C．若＝9，＝，則m＝3，q＝2

D．若＝9，則q＝3

7．在各項都為正數的數列{an}中，首項a1＝2，且點(a，a)在直線x－9y＝0上，則數列{an}的前n項和Sn等于()

A．3n－1

B．

C．

D．

二、填空題

8．在數列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數)，且前n項和為Sn＝3n＋k，則實數k＝________.9．等比數列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數項的和的3倍，則公比q＝________.10．設{an}是公差不為零的等差數列，Sn為其前n項和．已知S1，S2，S4成等比數列，且a3＝5，則數列{an}的通項公式為an＝________.11．等比數列{an}的首項為2，項數為奇數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個等比數列的公比q＝________，又令該數列的前n項的積為Tn，則Tn的最大值為________．

12．設數列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n項為an，前n項和為Sn，則an＝________，Sn＝________.三、解答題

13．一個項數為偶數的等比數列，全部項之和為偶數項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數列的通項公式．

14．在等差數列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

15．設數列{an}的前n項和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通項公式an；

(2)求數列{|an－n－2|}的前n項和．

參考答案

一、選擇題

1．答案：C

解析：由題意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，∴q＝2，∴S4＝＝15.]

2．答案：B

解析：顯然公比q≠1，由題意得

解得或∴S5＝＝＝.]

3．答案：A

解析：依題意，數列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．

即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.故選A.4．

答案：C

解析：∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}為等比數列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10

250，故選C.]

5．答案：A

解析：設等差數列的公差為d，因為a2，a4－2，a6成等比數列，所以(a4－2)2＝a2·a6，即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，解得d＝0或d＝3，因為公差d≠0，所以d＝3，所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故選A.]

6．答案：ABC

解析：[∵q≠1，∴＝＝1＋qm.而＝＝qm，∴A正確；

B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正確；

C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8.又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正確；

D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D錯誤，故選ABC.]

7．答案：A

解析：由點(a，a)在直線x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又數列{

an}各項均為正數，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴數列{an}是首項a1＝2，公比q＝3的等比數列，其前n項和Sn＝＝＝3n－1.]

二、填空題

8．答案：－1

解析：由an＋1＝can知數列{an}為等比數列．又∵Sn＝3n＋k，由等比數列前n項和的特點Sn＝Aqn－A知k＝－1.]

9.答案：2

解析：設{an}的公比為q，則奇數項也構成等比數列，其公比為q2，首項為a1，S2n＝，S奇＝.由題意得＝，∴1＋q＝3，∴q＝2.10．答案：2n－1

解析：設等差數列{an}的公差為d，(d≠0)，則S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，因為S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]

11．答案：　2

解析：設數列{an}共有2m＋1項，由題意得

S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，∴q＝，∴Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2，故當n＝1或2時，Tn取最大值，為2.]

12．答案：2n－1　2n＋1－n－2

解析：因為an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.三、解答題

13．解：設數列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數項、偶數項之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．

∵數列{an}的項數為偶數，∴q＝＝.又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.故所求通項公式為an＝12×.14．解：(1)設等差數列{an}的公差為d.由已知得解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10

＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)

＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)

＝＋

＝(211－2)＋55

＝211＋53＝2

101.15．解：(1)由題意得則

又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又當n＝1時也滿足an＝3n－1，所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*.(2)設bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.當n≥3時，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.設數列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3.n≥3時，Tn＝3＋－＝.∴Tn＝