2021年高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊(cè)4.3.2　第1課時(shí)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

一、選擇題

1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6＝()

A．31

B．32

C．63

D．64

2．已知{an}是等比數(shù)列，a3＝1，a6＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于()

A．16(1－4－n)

B．16(1－2－n)

C．(1－4－n)

D．(1－2－n)

3．設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1＝()

A．－2

B．－1

C．

D．

4．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于()

A．或5

B．或5

C．

D．

5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A．1盞

B．3盞

C．5盞

D．9盞

6．(多選題)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()

A．0

B．a(chǎn)7a9<1

C．Tn的最大值為T7

D．Sn的最大值為S7

7．(多選題)如圖所示，作邊長(zhǎng)為3的正△ABC的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去．則下列說法正確的是()

A．△ABC為第一個(gè)正三角形，那么第三個(gè)正三角形面積為

B．△ABC為第一個(gè)正三角形，那么第三個(gè)正三角形面積為

C．n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為π

D．n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為3π

二、填空題

8．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.9．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________.10．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．

11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.12．(一題兩空)在《九章算術(shù)》中有一個(gè)古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半．問________天后兩鼠相遇？如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打的洞長(zhǎng)度之和，則Sn＝________尺．

三、解答題

13．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．

(1)求{an}的公比q；

(2)若a1－a3＝3，求Sn.14．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)記bn＝的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.15．已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn.參考答案

一、選擇題

1．答案：C

解析

：在等比數(shù)列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比數(shù)列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，則(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.2．

答案：C

解析：∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＝8，∵

＝q2＝，∴數(shù)列{anan+1}是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．

3．答案：B

解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，將q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故選B.4．

答案：C

解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和為＝.5．

答案：B

解析：設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故選B.6．

答案：ABC

解析：∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0

又a7a9＝a<1，故B正確；C中T7是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故C正確．

D中因?yàn)閍7>1，0

7．答案：BC

解析：S△ABC＝×32＝，因?yàn)橄乱粋€(gè)三角形面積依次為上一個(gè)正三角形面積的倍，所以第三個(gè)正三角形的面積為×＝.故A錯(cuò)誤，B正確．又根據(jù)條件，第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑為×3＝，面積為π，第二個(gè)內(nèi)切圓的半徑為，面積為π，…，這些內(nèi)切圓的面積組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為π，公比為，故面積之和為＝π，則C正確，D錯(cuò)誤．故選BC.二、填空題

8．答案：2n－1－

解析：由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.]

9.答案：6

解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]

10．答案：6

解析：由題意知，第n天植樹2n棵，則前n天共植樹2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，則2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}單調(diào)遞增，所以n≥6，即n的最小值為6.11．

答案：1　121

解析：由于解得

由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.12．

答案：2　2n－＋1

解析：由題意先估計(jì)：兩天不夠，三天又多，設(shè)需要x天，則可得1＋2＋4(x－2)＋1＋＋(x－2)＝5，解得x＝2，即2天兩只老鼠相遇．

由題意可知，大老鼠前n天打洞長(zhǎng)度為＝2n－1，小老鼠前n天打洞長(zhǎng)度為＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.三、解答題

13．解：(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，從而q＝－.(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.從而Sn＝＝.14．解：(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.(2)bn＝＝＝(3n－2)×，∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×.①

①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.②

①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×

＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，∴Tn＝－×－×＝－×.15．解：(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知可得q＞0.由題意得消去x1得3q2－5q－2＝0.因?yàn)閝＞0，所以q＝2，x1＝1，因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1.(2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1(圖略)．

由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，由題意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②

①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1

＝＋－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝.