第一篇:第26課時等比數(shù)列及前n項的和
第26課時等比數(shù)列及前n項的和
[復(fù)習(xí)鞏固]
1、記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=,s4=20,則s6=________
2、等差數(shù)列{aSn}的前n項的和為Sn,a1=-2008,20072007?S2005
2005
?2,則S2008=______
3、記函數(shù)f(x)=a1
1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)= 2,數(shù)列{an}滿足f(1)=n2an,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=_________
4、已知{aa,公差為1的等差數(shù)列,b1?an}是首項為n=n
a,若對任意n∈N*,都有bn
n
≥b8成立,則實數(shù)a的取值范圍為____________
5、等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,若
S3?1,則S
6S=__________ 63S126、等差數(shù)列{an}中a1=-3,11a5=5a8,則前n項和Sn的最小值為___________ [要點梳理]
1、等比數(shù)列的概念。
2、等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)方法。
3、等比數(shù)列的性質(zhì)。
4、等比數(shù)列的前n項的和及推導(dǎo)方法。[基礎(chǔ)練習(xí)]
1、在3與243之間插入7個數(shù),使這9個數(shù)成等比數(shù)列,則q=_________
2、等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,則a4=_____
3、已知x,2x+2,3x+3是一個等比數(shù)列的前三項,則第四項為___________
4、等比數(shù)列{an}的前n項Sn=3n+a,則a=________
5、已知{an}為等比數(shù)列,且an>0,若a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=_________
6、記f(n)=2+24+27+210+…+23n+1,則f(n)=_________ [典型分析]
例1:(1)數(shù)列{an},Cn=2n+3n,且{Cn+1-PCn}為等比數(shù)列,求常數(shù)P。
(2)設(shè){an}{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列,Cn=an+bn,證明:數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列。
例2:等比數(shù)列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n項的和Sn=126,求n及公比q。
例3:數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,a1=1,an+1=2Sn。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{nan}的前n項的和Tn。[小結(jié)反思]
第二篇:等比數(shù)列及前n項和學(xué)案
2014屆高三理科數(shù)學(xué)學(xué)案教師寄語:學(xué)數(shù)學(xué)的訣竅 勤思 善思 多思
等比數(shù)列及前n項和2013.11命制人:劉曉琳
一、復(fù)習(xí)要求 掌握等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式
二、知識梳理 1.等比數(shù)列定義:
2.通項公式
2、等比數(shù)列?an?的公比為q,首項為a1,前n項和Sn
Sn?
3.等比中項:若a、b、c成等比數(shù)列,則b是a、c的等比中項,且b??ac 4.等比數(shù)列{an}的性質(zhì): 3.等比數(shù)列?an?前n項和Sn的相關(guān)性質(zhì)
5.證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法:
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1 等比數(shù)列?an?中,(1)已知a1?3,q??2 則a6=__________________
(2)已知a3?20,a6?160則a9=______,an?______________(3)已知a1??4,q?
2則s10=__________________(4)已知a1?1,ak?243,q?3則sk=___________________
2在243和3中間插入3個數(shù),若這5個數(shù)成等比數(shù)列,則三個數(shù)為____________
3已知等比數(shù)列的公比是
25,第四項是
2,則前三項和為________________ 4等比數(shù)列?a?76
3n?中,已知s32,s6?2
則an?_______,s9?___________
5等比數(shù)列?an?中,前四項之和為240,第2項,第4項之和為180,則首項為____________ 6.已知?an?是等比數(shù)列,an>0,又知a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25,那么a3?a5?()A.5B.10C.15D.20
四、例題精選
考向一 等比數(shù)列的判定
【例1】?(1)若?an?是等比數(shù)列,下列數(shù)列中是等比數(shù)列的所有代號為
① ?a2n?
② ?a2n?③ ??1??
④?lgan?
?an?
(2)已知數(shù)列{an}是公比q≠1的等比數(shù)列,則在 “(1){anan+1},(2){an+1-an},(3){an3},(4){nan}”
這四個數(shù)列中,成等比數(shù)列的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4【訓(xùn)練1】(1)下列命題中正確的是()(A)若a,b,c是等差數(shù)列,則log2a,log2b,log2c是等比數(shù)列(B)若a,b,c是等比數(shù)列,則log2a,log2b,log2c是等差數(shù)列(C)若a,b,c是等差數(shù)列,則2a,2b,2c是等比數(shù)列(D)若a,b,c是等比數(shù)列,則2a,2b,2c是等差數(shù)列
(2)設(shè)?an?、?bn?是項數(shù)相同的兩個等比數(shù)列,c為非零常數(shù),現(xiàn)有如下幾個數(shù)列,其中必為等比數(shù)列的有。
① {an?bn}②{c?an?bn}③{
an
b④{an?c}⑤{an·bn} n
(3)在等比數(shù)列?an?中,a1?2,前n項和為Sn,若數(shù)列?an?1?也是等比數(shù)列,則Sn等于A.
2n?
1?2B.3nC.2nD.3n?1
考向二等比數(shù)列的通項公式和求和公式
【例2】?已知等比數(shù)列{an}中,已知a3?a6?36,a4?a7?18,an?
3.在遞減等比數(shù)列{an}中,a4+a5=12,a2·a7=27,則a10=________.則n=_________ 2
2.在243和3之間插入3個數(shù),使這5個數(shù)成等比數(shù)列,則這3個數(shù)是6.在數(shù)列{an}中,a1?a2???an?2n?1,則a12?a22???an2?__________。
【訓(xùn)練2】
1、等比數(shù)列?an?中,已知a1?a2?324,a3?a4?36,求a5?a6.2、在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前三項和為21,則a3+a4+a5(A)33(B)72(C)84(D)189
47103n?10
(n?N),則f(n)等于()【例3】?
1、設(shè)f(n)?2?2?2?2???
22.等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項之和S3=21,則公比q的值為答案1或-4.在等比數(shù)列{an}中,已知a1a3a11=8,則a2a8答案
46.已知等比數(shù)列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,則a5+a6=.答案480 6.設(shè)等比數(shù)列{an}中,每項均為正數(shù),且a3·a8=81,則log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.5B.10C.20D.40
24.在等比數(shù)列{an}中,S4=1,S8=3,則a17+ a18+ a19+ a20的值等于 A.12B.14C.16D.18
10、已知等比數(shù)列{an},公比q=
2n?12
2(8?1)C.(8n?3?1)D.(8n?4?1)7772、在等比數(shù)列{an}中,a1?1,an??152,前n項和為sn=-341,則公比q=__,項數(shù)n=________
A.
B.
3、在等比數(shù)列{an}中,已知sn?48,s2n?60求s3n4、已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=x·3n-1-,則x的值為.答案
【訓(xùn)練3】
1、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為sn,s4?1,s8?17,則an=______________
2、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為sn,若sn?2,s3n?14,則s4n?_______。
考向四等比數(shù)列的性質(zhì) 【例4】?18.有等比數(shù)列中,①已知a3?3,a7?48,則a5?__________.②若a5?2,a10?10,則a15?__________.③若a4?5,a8?6,則a2a10?__________.16
22n
(8?1)7
且a1+a3+?+a49=30,則a1+a2+a3+?+a50=()2
A.35B.40C.45D.50
14.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1a2a3……a30=230,那么a3a6a9…a30等于 A.210B.220C.216D.215 【訓(xùn)練4】
考向五等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合a3?a
41a2,a3,a1
a?a52【例5】?25.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1,且成等差數(shù)列,則4的值是
?15?11?5?1?1
A.2B.2C.2D.2或29、等差數(shù)列{an}中,a1,a2,a4恰好成等比數(shù)列,則
a
1的值是()a
4A.1B.2C.3D.4
【訓(xùn)練5】1.數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,并且a5,a8,a13是等比數(shù)列{bn}的相鄰三項.若b2=5,則bn等于
14.已知四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列,和為12,求此四個數(shù).例1等比數(shù)列{an}的前n項和為sn,已知a1?an?66,a2an?1?128,sn?126,求n和公比q的值。
11、各項均為正的等比數(shù)列{an}中,q?
553
3n?1n?1n?1n?
1A.5·(3)B.5·(5)C.3·(5)D.3·(3)
27.公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a2,a3,a6依次成等比數(shù)列,則公比等于
A.2B.3C.2D.3
40.等比數(shù)列{an}的首項a1=1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是某等差數(shù)列的第1,2,5項,則q等于
11,那么當(dāng)a6?時,該數(shù)列首項a1的值為()216
A.2B.3C.-3D.3或-3
A.1B.-1C.2D.-
24.三個數(shù)成等比數(shù)列,它們的積等于27,它們的平方和等于91,求這三個數(shù)。
12、三個數(shù)成等比數(shù)列,其積為216,其和為26,則此三個數(shù)為
五、鞏固練習(xí)
3.等比數(shù)列?an?中, a2?9,a5?243,則?an?的前4項和為()A. 81B.120C.168D.19
22.已知等比數(shù)列{an}中,已知a2?a8?36,a3?a7?15則q=______________
(3)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q;
19、等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn,已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則?an?的公比為.
3.已知方程x?mx?
2a1?a3?a9
a?a4?a10的值為.12.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則2
14.在等差數(shù)列{an}中S6=0(d≠0),如果am,am+1,a2m成等比數(shù)列,則m的值等于______.7.若?an?是等差數(shù)列,公差d?0,a2,a3,a6成等比數(shù)列,則公比為()A.1B.2C.3D.43、成等比數(shù)列的三個數(shù)的和等于65,如果第一個數(shù)減去1,第三個數(shù)減去19,那就成等差數(shù)列,求這三個數(shù)。
4、已知三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其公比為3,如果a,b?8,c成等差數(shù)列,求這三個數(shù)。
【例6】?有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).
【訓(xùn)練6】、2、在2與9之間插入兩個數(shù),使前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,求這兩個數(shù)。3
?
??x
?nx?2??0的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列,則|m-n|=2
。答案:
3.2
2.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-a,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則實數(shù)a的值是.答案1
14.(四川理7)已知等比數(shù)列?an?中a2?1,則其前3項的和S3的取值范圍是(D)(A)???,?1?(B)???,0???1,???(C)?3,???(D)???,?1???3,??? 10.(浙江卷6)已知?an?是等比數(shù)列,a2?2,a5?,則a1a2?a2a3???anan?1=C 4
(A)16(1?4?n)(B)16(1?2?n)(C)
3232?n?n
(1?4)(D)(1?2)33
SS6
=3,則9 =S6S3
8.(2009遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列{ an}的前n 項和為Sn,若
(A)2(B)
(C)(D)3
例4 [2011·北京卷] 在等比數(shù)列{an}中,若a1a4=-4,則公比q=________;|a1|+|a2|+?
+|an|=________.a1?a3?a5?a77.已知等比數(shù)列{an}的公比q=?
1a?a4?a6?a8.,則23
Sn為數(shù)列{an}的前n項和.3,a2,a34?設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,已知S3?7,且a1?3
構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的等差數(shù)列.,2,?,(2)令bn?lna3n?1,n?1求數(shù)列{bn}的前n項和T.
第三篇:等比數(shù)列前n項和作業(yè)
第五章第3講
一、選擇題
1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a2a12=16,則a5=()A.1B.2C.4D.8
2.[2013·安徽名校聯(lián)考]已知等比數(shù)列{a的前n項和為S39
n}n,a32S3=2,則公比q=()
A.1或-1B.-1C.1D.-1或1222
3.[2013·泉州五校質(zhì)檢]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=3,前三項的和S3=21,則a3+a4+a5的值為()
A.33B.72C.84
D.189
4.[2013·合肥質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2n
(n∈N*
+1·an),則a10=()A.64B.32C.16D.8
5.[2013·衡陽三聯(lián)]設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2·a4=1,S3=7,則S5=()
A.33B.31171544C.2D.2
6.[2013·湖南重點中學(xué)調(diào)研]若等比數(shù)列{an}的公比q=2,且前12項的積為212,則a3a6a9a12的值為()
A.24B.26C.28D.212
二、填空題
7.已知等比數(shù)列{a}中,a5
n1+a3=10,a4+a6=4,則等比數(shù)列{an}的公比q=________.8.[2013·金版原創(chuàng)]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項之和為Sn,已知a1=2011,且 an+2an+1+an+2=0(n∈N*),則S2012=________.9.[2013·南京模擬]記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*),已知
am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m=________.三、解答題
10.[2013·錦州模擬]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求a2的值;
(2)若{an}是等比數(shù)列,且an+1 11.[2013·湖州模擬]已知等差數(shù)列{an}滿足:a5=9,a2+a6=14.(1)求{an}的通項公式; (2)若bn=an+qan(q>0),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.12.[2013·浙江模擬]已知公差不為0的等差數(shù)列{a(a∈R),且11 n}的首項a1為aa1 a2,a4 (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)對n∈N*,試比較11111 a2+a22+a23+…+a2na1 《等比數(shù)列的前n項和》說課稿 各位老師,大家好,今天我要說課的內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)必修5第二章第五節(jié)的《等比數(shù)列的前n項和》.我的說課主要分為下面六個過程來進(jìn)行:教學(xué)理念、教材內(nèi)容分析、教學(xué)目標(biāo)及學(xué)情分析、教學(xué)的重難點分析、教學(xué)方法的分析、教學(xué)過程的設(shè)計.一、教學(xué)理念 新的課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出 “數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,構(gòu)成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì).”其含義就是:我們不僅要重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,更要注重其思維價值和人文價值. 因此,創(chuàng)造性地使用教材,積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源,創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,讓學(xué)生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程,獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展.本節(jié)課力圖打破常規(guī),充分體現(xiàn)以學(xué)生為本,全方位培養(yǎng)、提高學(xué)生素質(zhì),實現(xiàn)課程觀念、教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變. 二、教材內(nèi)容分析 在學(xué)習(xí)《等比數(shù)列前n項和公式》之前,學(xué)生已學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、等比數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式等知識內(nèi)容,這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用,而本節(jié)內(nèi)容也為后面學(xué)習(xí)數(shù)列求和、數(shù)列極限打下基礎(chǔ).本節(jié)課既是本章的重點,同時也是教材的重點.從高中數(shù)學(xué)的整體內(nèi)容來看,《數(shù)列》這一章是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,在整個高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域里占據(jù)著重要地位,也起著決定性的作用.首先:數(shù)列有著廣泛的實際應(yīng)用.例如產(chǎn)品的規(guī)格設(shè)計、儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等.其次:數(shù)列有著承前啟后的作用.數(shù)列是函數(shù)的延續(xù),它實質(zhì)上是一種特殊的函數(shù);學(xué)習(xí)數(shù)列又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容打下基礎(chǔ).再次:數(shù)列也是培養(yǎng)提高學(xué)生思維能力的好題材.學(xué)習(xí)數(shù)列要經(jīng)常觀察、分析、猜想,還要綜合運用前面的知識解決數(shù)列中的一些問題,這些都有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.三、教學(xué)目標(biāo)及學(xué)情分析 作為一名數(shù)學(xué)老師,不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識.以下是我的教學(xué)目標(biāo)分析和學(xué)情分析: 1、教學(xué)目標(biāo)分析 根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析,考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征,依據(jù)《課標(biāo)》我制定了如下的教學(xué)目標(biāo): [知識與技能] 理解并掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點,在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題. [過程與方法] 通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn),向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等 1 數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力. [情感態(tài)度與價值觀] 通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn),優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點;培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,鍛煉學(xué)生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇于創(chuàng)新的精神.2、學(xué)情分析 學(xué)情分析主要通過以下兩方面來展開: [知識基礎(chǔ)] 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)等差數(shù)列,知道等差數(shù)列的前n項和的公式由來;熟悉等比數(shù)列的通項公式,知道等比性質(zhì).[思維水平] 學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思想方法,能夠與等差數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過程聯(lián)系,形成類比遷移,而且在情感上也具備了學(xué)習(xí)新知識的渴求.但是學(xué)生對等比數(shù)列的前n項和的推導(dǎo)方法---錯位相減法比較陌生,學(xué)習(xí)思維上存在障礙.并且學(xué)生考慮事情缺乏全面性,在推導(dǎo)過程中容易忽略公比q?1的情形.四、教學(xué)的重難點分析 結(jié)合前面的教材分析、三維目標(biāo)的確定以及學(xué)情分析,我總結(jié)了總結(jié)課的重難點: 教學(xué)重點是等比數(shù)列前n項和的公式的推導(dǎo)過程以及應(yīng)用.教學(xué)難點是等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)過程中“錯位相減法”的發(fā)現(xiàn)以及運用;不同推導(dǎo)過程所蘊含的思想方法的理解.五、教學(xué)方法分析 1、教法 數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科,因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”,還要“知其所以然”,為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本,遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則,我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計:在教師的引導(dǎo)下,創(chuàng)設(shè)情景,通過開放式問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考,在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊涵的數(shù)學(xué)方法和思想,使之獲得內(nèi)心感受.本節(jié)課將借助計算機多媒體輔助教學(xué),采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué).該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素,如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合,使其融為一體,創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍.主要包括啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價.2、學(xué)法 數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一,轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,變學(xué)生被動接受式學(xué)習(xí)為主動參與式學(xué)習(xí),不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng),也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變.在課堂結(jié)構(gòu)上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次,設(shè)計了(1)創(chuàng)設(shè)情景、(2)觀察歸納、(3)討論研究、(4)即時訓(xùn)練、(5)總結(jié)反思、(6)任務(wù)延續(xù),六個層次的學(xué)法,它們環(huán)環(huán)相扣,層層深入,從而順利完成教學(xué)目的.自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流.3、教學(xué)手段 利用多媒體和POWERPOINT軟件進(jìn)行輔助教學(xué).六、教學(xué)過程分析 1、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題 西游記后傳之豬八戒的高老莊——話說豬八戒自從西天取經(jīng)之后,就回到了高老莊,成立了高老莊集團,自己也搖身一變成了總經(jīng)理,但是好景不長,他的公司因為經(jīng)營不善出現(xiàn)了資金短缺,于是他便想向師兄孫悟空借錢.孫悟空:沒問題!我每天給你投資100萬元,連續(xù)一個月(30天)豬八戒:師兄你太好了,那??我何時還你錢? 孫悟空:咱倆誰跟誰呀!我給你投資的錢就不用還了,你就意思意思,第一天給我1元,第二天給我2元,第三天給我4元,??以后就每天給我的錢是前一天的兩倍,一直給我30天,我們就算兩清了,你看如何? 豬八戒:第一天1元換100萬元,第二天2元換100萬元,??哇,發(fā)財了!豬八戒:猴哥,你可別反悔呀! 孫悟空:那?我們可以簽一個合同嘛!說著就起草了一份合同.豬八戒正想簽字,可轉(zhuǎn)念一想,發(fā)現(xiàn)不對勁了,這猴哥本來就精明,做了生意之后就更精了,他會不會又在耍我? 設(shè)計意圖:設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣,調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性.故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點. 此時我問:同學(xué)們,如果你是豬八戒的參謀,你認(rèn)為他簽不簽這個合同呢? 設(shè)計意圖:在實際教學(xué)中,由于受課堂時間限制,教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”,急急忙忙地拋出“錯位相減法”,這樣做,有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律:求和就想到相加,這是合乎邏輯順理成章的事,教師為什么不相加而馬上相減呢?在整個教學(xué)關(guān)鍵處,學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來,因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍,突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙.同時,形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲,迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法,為后面的教學(xué)埋下伏筆.這樣引入課題有以下幾個好處: (1)利用學(xué)生求知好奇心理,以一個實際問題為切入點,便于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的趣味性和積極性.(2)在實際情況下進(jìn)行學(xué)習(xí),可以使學(xué)生利用已有知識與經(jīng)驗,同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識,這樣獲取的知識,不但易于保持,而且易于遷移到陌生的問題情境中.(3)問題內(nèi)容緊扣本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的主題與重點.(4)有利于知識的遷移,使學(xué)生明確知識的現(xiàn)實應(yīng)用性.在我的誘導(dǎo)下,學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識和經(jīng)驗,很快建立起等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型,寫 7出豬八戒應(yīng)付的錢的總數(shù)1+2+2+2??2,并與100?10000?30=3.0?10進(jìn)行比較.2329帶著這樣的問題,學(xué)生會動手算了起來,他們想到用計算器依次算出各項的值,然后再求和.這時我對他們的這種思路給予肯定. 當(dāng)學(xué)生躍躍欲試要求這個數(shù)列的和的時候,課題的引入已經(jīng)水到渠成.我再由特殊到一般、具體到抽象的啟示,正式引入課題.2、師生互動,探究問題 2329、2、2、2、?、2是什么數(shù)列?有何特征? 在肯定他們的思路后,我接著問:1應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢? 探討1:設(shè)S30=1+2+22+23??229,記為(1)式,注意觀察每一項的特征,有何聯(lián)系?(學(xué)生會發(fā)現(xiàn),后一項都是前一項的2倍) 探討2: 如果我們把每一項都乘以2,就變成了它的后一項,(1)式兩邊同乘以2則有,2S30=2+22+23??229+230,記為(2)式.比較(1)、(2)兩式,你有什么發(fā)現(xiàn)? 設(shè)計意圖:留出時間讓學(xué)生充分地比較,等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”,在教師看來這是“天經(jīng)地義”的,但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的,因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章,從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機. 經(jīng)過比較、研究,學(xué)生發(fā)現(xiàn):(1)、(2)兩式有許多相同的項,把兩式相減,相同的項就消去了,得到:S30?230?1.老師指出:這就是錯位相減法,并要求學(xué)生縱觀全過程,反思:為什么(1)式兩邊要同乘以2呢? 設(shè)計意圖:經(jīng)過繁難的計算之苦后,突然發(fā)現(xiàn)上述解法,不禁驚呼:真是太簡潔了!讓學(xué)生在探索過程中,充分感受到成功的情感體驗,從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 3、類比聯(lián)想,解決問題 這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化,設(shè)等比數(shù)列?an?的首項為a,公比為q,如何求Sn?這里,讓學(xué)生自主完成,并喊一名學(xué)生上黑板,然后對個別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo). 設(shè)計意圖:在教師的指導(dǎo)下,讓學(xué)生從特殊到一般,從已知到未知,步步深入,讓學(xué)生自己探究公式,從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感. a1?a1qn在學(xué)生自己探究完成后,我再問:由?1?q?Sn?a1?a1q得Sn?,這樣子對 ?1?q?n不對?這里的q能不能等于1?等比數(shù)列中的公比能不能為1?q?1時是什么數(shù)列?此時)Sn??(這里引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類討論,得出公式,同時為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ).再次追問:結(jié)合等比數(shù)列的通項公式an?a1q,如何把Sn用a1、an、q表示出來?(引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式) 設(shè)計意圖:通過反問精講,一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識,完善知識結(jié)構(gòu),另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受,變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識,從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力.這一環(huán)節(jié)非常重要,盡管時間有時比較少,甚至僅僅幾句話,然而卻有畫龍點睛之妙用. 4、討論交流,延伸拓展 在此基礎(chǔ)上,我提出:探究等比數(shù)列前n項和公式,還有其它方法嗎? 我們知道,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn?1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn?2)那么我們能否利用這個關(guān)系而求出Sn呢? 再根據(jù)等比數(shù)列的定義,能否聯(lián)想到等比性質(zhì) aa2a3a4?????n?q從而求出a1a2a3an?1Sn呢? 設(shè)計意圖:以疑導(dǎo)思,激發(fā)學(xué)生的探索欲望,營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qSn?1, 這其實就是關(guān)于Sn的一個遞推式,遞推數(shù)列有非常重要的研究價值,是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源,它源于課本,又高于課本,對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.5、變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識 例 1(1)求等比數(shù)列1111,,?的前8項和; 24816111163(2)等比數(shù)列,,?的前多少項和是? 24816641111(3)求等比數(shù)列,,?的第5項到第10項的和; 248161111(4)求等比數(shù)列,,?的第2n項中所有偶數(shù)項的和; 24816首先,學(xué)生獨立思考,自主解題,再請學(xué)生上臺來幻燈演示他們的解答,其它同學(xué)進(jìn)行評價,然后師生共同進(jìn)行總結(jié). 設(shè)計意圖:采用變式教學(xué)設(shè)計題組,深化學(xué)生對公式的認(rèn)識和理解,通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決,促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成.通過以上形式,讓全體學(xué)生都參與教學(xué),以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識. 6、例題講解,形成技能 例2 求和Sn?1?a?a2?a3???an?1.設(shè)計意圖:解題時,以學(xué)生分析為主,教師適時給予點撥,該題有意培養(yǎng)學(xué)生對含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想. 7、總結(jié)歸納,加深理解 以問題的形式出現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法,鼓勵學(xué)生積極回答,然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié). 設(shè)計意圖:以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力,歸納概括能力. 8、故事結(jié)束,首尾呼應(yīng) 最后我們回到故事中的問題,我們可以計算出兩種方式豬八戒應(yīng)付的錢分步為3.0?10和1.07?10,顯然豬八戒不該簽這個合同. 97設(shè)計意圖:把引入課題時的懸念給予釋疑,有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維. 9、課后作業(yè),分層練習(xí) 必做: P129練習(xí)1、2、3、4; 選做(思考題): (1)求和Sn?x?2x2?3x3???nxn.(2)“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”這首中國古詩的答案是多少? 設(shè)計意圖:出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教,讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間. 我的說課到此結(jié)束,謝謝! 課題: §2.5等比數(shù)列的前Ⅱ.講授新課 n項和 [分析問題]如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列,我們可以得到一個等比數(shù)列,它的首項是1,公比是2,求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。下面我們先來推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。 1、等比數(shù)列的前n項和公式: 當(dāng)q?1時,Sn?a1(1?q)1?qn ① 或Sn?a1?anq1?q ② 當(dāng)q=1時,Sn?na1 當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①;當(dāng)已知a1, q, an時,用公式②.公式的推導(dǎo)方法一: 一般地,設(shè)等比數(shù)列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是 Sn?a1?a2?a3??an ?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得? 23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q ∴當(dāng)q?1時,Sn?a1(1?q)1?qn ① 或Sn?a1?anq1?q ② 當(dāng)q=1時,Sn?na1 公式的推導(dǎo)方法二: 有等比數(shù)列的定義,a2a1?a3a2???anan?1??q 根據(jù)等比的性質(zhì),有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q 即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq(結(jié)論同上) 圍繞基本概念,從等比數(shù)列的定義出發(fā),運用等比定理,導(dǎo)出了公式. 公式的推導(dǎo)方法三: Sn?a1?a2?a3??an=a1?q(a1?a2?a3??an?1) =a1?qSn?1=a1?q(Sn?an) ?(1?q)Sn?a1?anq(結(jié)論同上) 課題: §2.5等比數(shù)列的前●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 首先回憶一下前一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容: 等比數(shù)列的前n項和公式: 當(dāng)q?1時,Sn?a1(1?q)1?qnn項和 ① 或Sn?a1?anq1?q ② 當(dāng)q=1時,Sn?na1 當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①;當(dāng)已知a1, q, an時,用公式② 課 題:數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié) 教學(xué)過程: 一、本章知識結(jié)構(gòu) 二、知識綱要 (1)數(shù)列的概念,通項公式,數(shù)列的分類,從函數(shù)的觀點看數(shù)列.(2)等差、等比數(shù)列的定義.(3)等差、等比數(shù)列的通項公式.(4)等差中項、等比中項. (5)等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)方法. 三、方法總結(jié) 1.?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù),有些題目可結(jié)合函數(shù)知識去解決,體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想. 2.等差、等比數(shù)列中,a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”,體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想,有時用到換元法. 3.求等比數(shù)列的前n項和時要考慮公比是否等于1,公比是字母時要進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想. 4.?dāng)?shù)列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,錯位相減法,拆項法,裂項法,累加法,等價轉(zhuǎn)化等. 四、知識精要: 1、數(shù)列 [數(shù)列的通項公式] an2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法] 1. 定義法:對于數(shù)列?an?,若an?1?an?d(常數(shù)),則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。2.等差中項:對于數(shù)列?an?,若2an?1?an?an?2,則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項公式] 如果等差數(shù)列?an?的首項是a1,公差是d,則等差數(shù)列的通項為an?a1?(n?1)d。[說明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。[等差數(shù)列的前n項和] 1.Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數(shù)列的前n項和] Sn?a1?a2?a3???an 2.Sn?na1?n(n?1)2d [說明]對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。[等差中項] 如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項。即:A?a?b2或2A?a?b [說明]:在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮等差數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數(shù)列的性質(zhì)] 1.等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果an是等差數(shù)列的第n項,am是等差數(shù)列的第m項,且m?n,公差為d,則有an?am?(n?m)d 2.對于等差數(shù)列?an?,若n?m?p?q,則an?am?ap?aq。 3.若數(shù)列?an?是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,k?N*,那么Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等差數(shù)列。 3、等比數(shù)列 [等比數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q?0)。[等比中項] 如果在a與b之間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項。即G2?ab。[等比數(shù)列的判定方法] 1. 定義法:對于數(shù)列?an?,若an?1an?q(q?0),則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。 22.等比中項:對于數(shù)列?an?,若anan?2?an,則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。?1[等比數(shù)列的通項公式] n?1如果等比數(shù)列?an?的首項是a1,公比是q,則等比數(shù)列的通項為an?a1q。 [等比數(shù)列的前n項和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當(dāng)q?1時,Sn?na1 [等比數(shù)列的性質(zhì)] 1.等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:an?amqn?m 2. 對于等比數(shù)列?an?,若n?m?u?v,則an?am?au?av 4.若數(shù)列?an?是等比數(shù)列,Sn是其前n項的和,k?N*,那么Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等比數(shù)列。如下圖所示: 4、數(shù)列前n項和(1)重要公式: 1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22; ; ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2(2)裂項求和: n(n?1)?1n?1n?1;第四篇:等比數(shù)列的前n項和說課稿
第五篇:等比數(shù)列前n項和公式教案