第一篇：等比數列的前n項和復習課教案

等比數列的前n項和復習課教案

●教學目標 知識與技能：掌握等比數列的前n項和公式及公式證明思路；會用等比數列的前n項和公式解決有關等比數列的一些簡單問題。

過程與方法：經歷等比數列前n 項和的推導與靈活應用，總結數列的求和方法，并能在具體的問題情境中發現等比關系建立數學模型、解決求和問題。

情感態度與價值觀：在應用數列知識解決問題的過程中，要勇于探索，積極進取，激發學習數學的熱情和刻苦求是的精神。●教學重點

等比數列的前n項和公式推導 ●教學難點

靈活應用公式解決有關問題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創設情境] [提出問題]課本P62“國王對國際象棋的發明者的獎勵” Ⅱ.講授新課

[分析問題]如果把各格所放的麥粒數看成是一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數總合就是求這個等比數列的前64項的和。下面我們先來推導等比數列的前n項和公式。

1、等比數列的前n項和公式：

a?anqa1(1?qn)

當q?1時，Sn? ①

或Sn?

1②

1?q1?q當q=1時，Sn?na1

當已知a1, q, n 時用公式①；當已知a1, q, an時，用公式②.公式的推導方法一：

一般地，設等比數列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是

Sn?a1?a2?a3??an

由??Sn?a1?a2?a3??an?an?a1qn?1

2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q??a1q?a1q?(1?q)Sn?a1?a1qn

a?anqa1(1?qn)∴當q?1時，Sn? ①

或Sn?1

②

1?q1?q當q=1時，Sn?na1

公式的推導方法二：

有等比數列的定義，a2?a3???ana?q 1a2an?1根據等比的性質，有

a2?a3???an?Sn?a1aS?q

1?a2???an?1n?an即 Sn?a1S?q?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

n?an圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比定理，導出了公式． 公式的推導方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

[解決問題] 有了等比數列的前n項和公式，就可以解決剛才的問題。由a1?1,q?2,n?64可得

Sa1(1?qn)1?(1n?1?q=?264)1?2=264?1。264?1這個數很大，超過了1.84?1019。國王不能實現他的諾言。

[例題講解] 課本P56-57的例

1、例2 例3解略 Ⅲ.課堂練習

課本P58的練習1、2、3 Ⅳ.課時小結

等比數列求和公式：當q=1時，Sn?na

1當q?1時，Sa1?anqn?1?qSa1(1?qn)n?1?q Ⅴ.課后作業

課本P61習題A組的第1、2題

或

第二篇：等比數列前n項和教案[范文模版]

等比數列前n項和教案

導入：同學們，大家好！數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各部分之間的聯系，咱們在前邊數列這一部分看到了很多有聯系的數，排成一定順序的數，我們重點研究了等差數列和等比數列，正是它們向我們展示了數與數之間美妙的聯系，那么首先在等差數列當中，我們學習了等差數列的定義，通項公式和以及前n項求和公式，那么現在咱們一塊回憶一下等差數列前n項求和公式的推導過程，在等差數列前n項求和公式的推導過程當中，我們注意到，等差數列的本質特征是從第二項起，每一項比前一項要多一個公差d，那么，再把對等的兩項交換順序后，我們又一次注意到等差數列從倒數第二項起，每一項比后一項少一個d，就是通過這樣的本質特征，我們發現了等差數列各項之間的差異，那么我們通過什么樣的方式來消除這樣的差異呢？（停頓兩秒，之后同學一起回答）把這兩個式子相加，這樣我們就可以得到等差數列前n項求和公式。先找差異，再消除差異，這樣的方法我們稱之為“倒序相加”的方法。

好，我們再來看等比數列，在等比數列中我們已經學習了它的定義，通項公式，那么接下來應該學習它的（在此停頓一秒，學生一起回答）前n項求和公式，好的，前n項求和公式。首先，我們來看這樣一個問題情境，首先我們來做一個假設，假設在座的各位都是小小企業家，現在，你的公司在經營上遇到一些困難需要向銀行貸款，銀行和你商定，在三年內，公司每月向銀行貸款一萬元，為了還本付息，公司第一個月要向銀行還款一元，第二個月還款2元，第三個月還款4元，??，那么以此類推，也就是說公司每月還款的數量是前一個月的兩倍。那么，你作為這個公司的負責人，你會在這個和約上簽字嗎？思考一下，和同桌之間討論一下。

提問，怎么樣會不會簽約？那么請你吧這么一個在你的公司中遇到的問題給我們建立一個數學模型，我們可以把這個借款的過程（借款的過程也就是銀行每月給你的過程，銀行每月給的錢可以構成一個？）構成一個等比數列，（等比數列，好，an ,這個數列的首項？）首項是10000，（首項是10000元，）公比是1，（一共有多少項？）一共有36項。（好的，第二個，bn）首項是1元，（也就是你每個月給引港的還款也構成一個等比數列，他的首項是1，公比是？一共是多少項？）

那么你通過什么計算出我不會和銀行簽約，通過計算數列的和，好，首先我們來看看，在銀行借給你的錢的和是？那么你還給銀行的錢呢？非常好請坐

現在這位同學幫我們把這個實際問題概括成了數學問題，建立了數學模型，原來是兩個等比數列的問題，我們在決定要不要和銀行簽約的過程也就是去比較一下銀行借給我們的錢和我們還給銀行的錢之間的差異，好，銀行借給我們的前已經解決了，那么我們還給銀行的錢又怎樣計算呢，這實際上就是一個等比數列求和的問題，這也就是本節課我們要來研究的課題，等比數列前n項和，試想，如果我們掌握了這個方法，我們能精確的計算出我們還給銀行的錢是多少，那么我們可以明確地做出判斷我是否和銀行簽約，是不是？

接下來在這個36項求和的過程的當中，這個等比數列求和

等差數列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本質即整體設元，構造等式，利用方程的思想化繁為簡，把不易求和的問題轉化為易于求和的問題，從而求和的實質是減少了項.那現在用這種辦法還行嗎？若不行，那該怎樣簡化運算？能否類比倒序相加的本質，根據等比數列項之間的特點，也構造一個式子，通過兩式運算來解決問題？

第三篇：等比數列前n項和公式教案

課題: §2.5等比數列的前Ⅱ.講授新課

n項和

[分析問題]如果把各格所放的麥粒數看成是一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數總合就是求這個等比數列的前64項的和。下面我們先來推導等比數列的前n項和公式。

1、等比數列的前n項和公式：

當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

當已知a1, q, n 時用公式①；當已知a1, q, an時，用公式②.公式的推導方法一：

一般地，設等比數列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是

Sn?a1?a2?a3??an

?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得?

23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q

∴當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

公式的推導方法二：

有等比數列的定義，a2a1?a3a2???anan?1??q

根據等比的性質，有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q

即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比定理，導出了公式． 公式的推導方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

課題: §2.5等比數列的前●教學過程 Ⅰ.課題導入

首先回憶一下前一節課所學主要內容： 等比數列的前n項和公式： 當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qnn項和

①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

當已知a1, q, n 時用公式①；當已知a1, q, an時，用公式②

課 題：數列復習小結

教學過程：

一、本章知識結構

二、知識綱要

(1)數列的概念，通項公式，數列的分類，從函數的觀點看數列．(2)等差、等比數列的定義．(3)等差、等比數列的通項公式．(4)等差中項、等比中項．

(5)等差、等比數列的前n項和公式及其推導方法．

三、方法總結

1．數列是特殊的函數，有些題目可結合函數知識去解決，體現了函數思想、數形結合的思想．

2．等差、等比數列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，體現了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法．

3．求等比數列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進行討論，體現了分類討論的思想． 4．數列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，拆項法，裂項法，累加法，等價轉化等．

四、知識精要：

1、數列

[數列的通項公式] an2、等差數列 [等差數列的概念] [定義]如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數列的判定方法]

1． 定義法：對于數列?an?，若an?1?an?d(常數)，則數列?an?是等差數列。2．等差中項：對于數列?an?，若2an?1?an?an?2，則數列?an?是等差數列。[等差數列的通項公式]

如果等差數列?an?的首項是a1，公差是d，則等差數列的通項為an?a1?(n?1)d。[說明]該公式整理后是關于n的一次函數。[等差數列的前n項和] 1．Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數列的前n項和] Sn?a1?a2?a3???an

2.Sn?na1?n(n?1)2d

[說明]對于公式2整理后是關于n的沒有常數項的二次函數。[等差中項] 如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。即：A?a?b2或2A?a?b

[說明]：在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數列的性質]

1．等差數列任意兩項間的關系：如果an是等差數列的第n項，am是等差數列的第m項，且m?n，公差為d，則有an?am?(n?m)d

2.對于等差數列?an?，若n?m?p?q，則an?am?ap?aq。

3．若數列?an?是等差數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差數列。

3、等比數列 [等比數列的概念] [定義]如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）。[等比中項] 如果在a與b之間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。即G2?ab。[等比數列的判定方法] 1． 定義法：對于數列?an?，若an?1an?q(q?0)，則數列?an?是等比數列。

22．等比中項：對于數列?an?，若anan?2?an，則數列?an?是等比數列。?1[等比數列的通項公式]

n?1如果等比數列?an?的首項是a1，公比是q，則等比數列的通項為an?a1q。

[等比數列的前n項和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當q?1時，Sn?na1

[等比數列的性質] 1．等比數列任意兩項間的關系：an?amqn?m

2． 對于等比數列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av

4．若數列?an?是等比數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數列。如下圖所示：

4、數列前n項和（1）重要公式：

1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22；

； ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2（2）裂項求和：

n(n?1)?1n?1n?1；

第四篇：等比數列前n項和作業

第五章第3講

一、選擇題

1.公比為2的等比數列{an}的各項都是正數，且a2a12＝16，則a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校聯考]已知等比數列{a的前n項和為S39

n}n，a32S3＝2，則公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校質檢]在各項均為正數的等比數列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5的值為()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥質檢]已知數列{an}滿足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，則a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡陽三聯]設{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和．已知a2·a4＝1，S3＝7，則S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重點中學調研]若等比數列{an}的公比q＝2，且前12項的積為212，則a3a6a9a12的值為()

A.24B.26C.28D.212

二、填空題

7.已知等比數列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，則等比數列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原創]設等比數列{an}的前n項之和為Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2012＝________.9.[2013·南京模擬]記等比數列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________.三、解答題

10.[2013·錦州模擬]設Sn為數列{an}的前n項和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比數列，且an＋1

11.[2013·湖州模擬]已知等差數列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數列{bn}的前n項和Sn.12.[2013·浙江模擬]已知公差不為0的等差數列{a(a∈R)，且11

n}的首項a1為aa1

a2，a4

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)對n∈N*，試比較11111

a2＋a22＋a23＋…＋a2na1

第五篇：等比數列及其前n項和(學生)

自強學校高一數學

等比數列及其前n項和

1．等比數列的定義

如果一個數列從

A．2B.2C.2D.24．設{an}是首項大于零的等比數列，則“a1＜a2”是“數列{an}是遞增數列”的()

A．充分而不必要條件C．充分必要條件

B．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

5．各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10＝2，S20＝8則S30＝________.等比數列中基本量的運算

【例1】 等比數列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)若該數列前n項和Sn＝21，求n的值．

總結：在使用等比數列的前n項和公式時，應根據公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．

練習1．記等差數列{an}的前n項和為Sn，設S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數列，求Sn.等比數列的判定及證明

【例2】 已知數列{an}的前n項和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數列，并求出通項公式．

總結：證明一個數列是等比數列的主要方法有兩種：一是利用等比數列的定義，即證明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中項法，即證明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

練習2．設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明數列{bn}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．

等比數列的綜合應用

【例3】(2010·上海卷)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)證明：{an－1}是等比數列；

(2)求數列{Sn}的通項公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整數n.總結：數列是特殊的函數，以數列為背景的不等式證明問題及以函數為背景的數列的綜合問題體現了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，從而一直成為高考命題者的首選．

練習3．數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，?，求：

(1)a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式；(2)a2＋a4＋a6＋?＋a2n的值．作業:

一、選擇題

1．已知{an}是等比數列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各項均為正數的等比數列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比數列{an}的前n項和Sn＝t·5n－2－5t的值為()

A．4B．5C.5D.54．已知等比數列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，則該數列的前2 011項的積為()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，對于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.設M(x)表示

整數x的個位數字，則M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空題

6．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若數列{an＋c}恰為等比數列，則c的值為________． 7． 等比數列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，則{an}的前4項和S4＝____.8．等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則a10＋a11＋a12＝________.9．設{an}是公比為q的等比數列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，?)，若數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.三、解答題

10．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通項公式．

11．已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)證明：數列{an＋1－an}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．

12.在數列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)證明：數列{an＋n}是等比數列，并求{an}的通項公式；(3)求數列{an}的前n項和Sn.