第一篇：高一數學等比數列的前n項和

高一數學等比數列的前n項和

教學目標

1.掌握等比數列前 項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.（1）理解公式的推導過程，體會轉化的思想；

（2）用方程的思想認識等比數列前 項和公式，利用公式知三求一；與通項公式結合知三求二；

2.通過公式的靈活運用，進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想.3.通過公式推導的教學，對學生進行思維的嚴謹性的訓練，培養他們實事求是的科學態度.教學建議 教材分析

（1）知識結構

先用錯位相減法推出等比數列前 項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前 項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數列的前 項和.（2）重點、難點分析

教學重點、難點是等比數列前 項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數學思想、方法（如分類討論思想，錯位相減法等），這些思想方法在其他數列求和問題中多有涉及，所以對等比數列前 項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數列前 項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意 教學建議

（1）本節內容分為兩課時，一節為等比數列前 項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前 項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問題.（2）等比數列前 結，證明結論.項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發現規律，歸納總

和

兩種情況.（3）等比數列前 項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的興趣.（4）編擬例題時要全面，不要忽略

（5）通項公式與前 但解指數方程難度大.的情況.項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，（6）補充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問題.教學設計示例

課題：等比數列前 項和的公式 教學目標

（1）通過教學使學生掌握等比數列前

項和公式的推導過程，并能初步運用這一方法求一些數列的前 項和.（2）通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質.（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養學生嚴謹的學習態度.教學重點，難點

教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路.教學用具

幻燈片，課件，電腦.教學方法

引導發現法.教學過程

用心 愛心 專心

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一、新課引入：

（問題見教材第129頁）提出問題：

二、新課講解：

記，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當每一項都

（幻燈片）

乘以2后，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消.（板書）即

②－①得

即

.，如何化簡？，①

，②

由此對于一般的等比數列，其前 項和（板書）等比數列前 項和公式

仿照公比為2的等比數列求和方法，等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即（板書）

③兩端同乘以，得 ④，③－④得 當 時，由③可得

⑤，（提問學生如何處理，適時提醒學生注意 的取值）（不必導出④，但當時設想不到）

當 時，由⑤得.于是 的數列的和，其中

為等反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如 差數列，為等比數列.（板書）例題：求和：.設 法求和.，其中 為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相減

用心 愛心 專心

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解：，兩端同乘以，得，兩式相減得

于是.說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.公式其它應用問題注意對公比的分類討論即可.三、小結：

1.等比數列前 項和公式推導中蘊含的思想方法以及公式的應用； 2.用錯位相減法求一些數列的前 項和.四、作業：略.五、板書設計：

用心 愛心 專心

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第二篇：等比數列前n項和作業

第五章第3講

一、選擇題

1.公比為2的等比數列{an}的各項都是正數，且a2a12＝16，則a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校聯考]已知等比數列{a的前n項和為S39

n}n，a32S3＝2，則公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校質檢]在各項均為正數的等比數列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5的值為()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥質檢]已知數列{an}滿足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，則a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡陽三聯]設{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和．已知a2·a4＝1，S3＝7，則S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重點中學調研]若等比數列{an}的公比q＝2，且前12項的積為212，則a3a6a9a12的值為()

A.24B.26C.28D.212

二、填空題

7.已知等比數列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，則等比數列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原創]設等比數列{an}的前n項之和為Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2012＝________.9.[2013·南京模擬]記等比數列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________.三、解答題

10.[2013·錦州模擬]設Sn為數列{an}的前n項和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比數列，且an＋1

11.[2013·湖州模擬]已知等差數列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數列{bn}的前n項和Sn.12.[2013·浙江模擬]已知公差不為0的等差數列{a(a∈R)，且11

n}的首項a1為aa1

a2，a4

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)對n∈N*，試比較11111

a2＋a22＋a23＋…＋a2na1

第三篇：等比數列及其前n項和(學生)

自強學校高一數學

等比數列及其前n項和

1．等比數列的定義

如果一個數列從

A．2B.2C.2D.24．設{an}是首項大于零的等比數列，則“a1＜a2”是“數列{an}是遞增數列”的()

A．充分而不必要條件C．充分必要條件

B．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

5．各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10＝2，S20＝8則S30＝________.等比數列中基本量的運算

【例1】 等比數列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)若該數列前n項和Sn＝21，求n的值．

總結：在使用等比數列的前n項和公式時，應根據公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．

練習1．記等差數列{an}的前n項和為Sn，設S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數列，求Sn.等比數列的判定及證明

【例2】 已知數列{an}的前n項和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數列，并求出通項公式．

總結：證明一個數列是等比數列的主要方法有兩種：一是利用等比數列的定義，即證明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中項法，即證明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

練習2．設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明數列{bn}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．

等比數列的綜合應用

【例3】(2010·上海卷)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)證明：{an－1}是等比數列；

(2)求數列{Sn}的通項公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整數n.總結：數列是特殊的函數，以數列為背景的不等式證明問題及以函數為背景的數列的綜合問題體現了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，從而一直成為高考命題者的首選．

練習3．數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，?，求：

(1)a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式；(2)a2＋a4＋a6＋?＋a2n的值．作業:

一、選擇題

1．已知{an}是等比數列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各項均為正數的等比數列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比數列{an}的前n項和Sn＝t·5n－2－5t的值為()

A．4B．5C.5D.54．已知等比數列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，則該數列的前2 011項的積為()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，對于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.設M(x)表示

整數x的個位數字，則M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空題

6．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若數列{an＋c}恰為等比數列，則c的值為________． 7． 等比數列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，則{an}的前4項和S4＝____.8．等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則a10＋a11＋a12＝________.9．設{an}是公比為q的等比數列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，?)，若數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.三、解答題

10．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通項公式．

11．已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)證明：數列{an＋1－an}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．

12.在數列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)證明：數列{an＋n}是等比數列，并求{an}的通項公式；(3)求數列{an}的前n項和Sn.

第四篇：等比數列及前n項和學案

2014屆高三理科數學學案教師寄語：學數學的訣竅 勤思 善思 多思

等比數列及前n項和2013.11命制人：劉曉琳

一、復習要求 掌握等比數列的通項公式和等比數列的前n項和公式

二、知識梳理 1．等比數列定義：

2．通項公式

2、等比數列?an?的公比為q，首項為a1，前n項和Sn

Sn?

3．等比中項:若a、b、c成等比數列,則b是a、c的等比中項,且b??ac 4．等比數列{an}的性質: 3．等比數列?an?前n項和Sn的相關性質

5．證明數列為等比數列的方法:

三、基礎訓練 1 等比數列?an?中，(1)已知a1?3,q??2 則a6=__________________

(2)已知a3?20,a6?160則a9=______，an?______________(3)已知a1??4,q?

2則s10=__________________(4)已知a1?1,ak?243,q?3則sk=___________________

2在243和3中間插入3個數，若這5個數成等比數列，則三個數為____________

3已知等比數列的公比是

25，第四項是

2，則前三項和為________________ 4等比數列?a?76

3n?中，已知s32,s6?2

則an?_______,s9?___________

5等比數列?an?中，前四項之和為240，第2項，第4項之和為180，則首項為____________ 6.已知?an?是等比數列，an>0，又知a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25，那么a3?a5?（）A.5B.10C.15D.20

四、例題精選

考向一 等比數列的判定

【例1】?（1）若?an?是等比數列，下列數列中是等比數列的所有代號為

① ?a2n?

② ?a2n?③ ??1??

④?lgan?

?an?

（2）已知數列{an}是公比q≠1的等比數列，則在 “(1){anan＋1}，(2){an＋1－an}，(3){an3}，(4){nan}”

這四個數列中，成等比數列的個數是()(A)1(B)2(C)3(D)4【訓練1】（1）下列命題中正確的是()(A)若a，b，c是等差數列，則log2a，log2b，log2c是等比數列(B)若a，b，c是等比數列，則log2a，log2b，log2c是等差數列(C)若a，b，c是等差數列，則2a，2b，2c是等比數列(D)若a，b，c是等比數列，則2a，2b，2c是等差數列

（2）設?an?、?bn?是項數相同的兩個等比數列，c為非零常數，現有如下幾個數列，其中必為等比數列的有。

① {an?bn}②{c?an?bn}③{

an

b④{an?c}⑤｛an·bn｝ n

（3）在等比數列?an?中，a1?2，前n項和為Sn，若數列?an?1?也是等比數列，則Sn等于A．

2n?

1?2B．3nC．2nD．3n?1

考向二等比數列的通項公式和求和公式

【例2】?已知等比數列{an}中，已知a3?a6?36,a4?a7?18，an?

3.在遞減等比數列{an}中,a4+a5=12,a2·a7=27,則a10=________.則n=_________ 2

2．在243和3之間插入3個數，使這5個數成等比數列，則這3個數是6．在數列{an}中，a1?a2???an?2n?1，則a12?a22???an2?__________。

【訓練2】

1、等比數列?an?中，已知a1?a2?324，a3?a4?36，求a5?a6.2、在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5（A）33（B）72（C）84（D）189

47103n?10

(n?N)，則f(n)等于（）【例3】?

1、設f(n)?2?2?2?2???

22.等比數列{an}中,a3=7,前3項之和S3=21，則公比q的值為答案1或-4.在等比數列{an}中，已知a1a3a11=8，則a2a8答案

46.已知等比數列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，則a5+a6=.答案480 6.設等比數列{an}中,每項均為正數,且a3·a8=81,則log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.5B.10C.20D.40

24.在等比數列｛an｝中，S4=1，S8=3，則a17+ a18+ a19+ a20的值等于 A.12B.14C.16D.18

10、已知等比數列{an}，公比q=

2n?12

2(8?1)C．(8n?3?1)D．(8n?4?1)7772、在等比數列{an}中，a1?1,an??152,前n項和為sn=-341,則公比q=__,項數n=________

A．

B．

3、在等比數列{an}中，已知sn?48，s2n?60求s3n4、已知等比數列{an}的前n項和為Sn=x·3n-1-，則x的值為.答案

【訓練3】

1、設等比數列{an}的前n項和為sn，s4?1,s8?17,則an=______________

2、各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為sn，若sn?2,s3n?14,則s4n?_______。

考向四等比數列的性質 【例4】?18.有等比數列中，①已知a3?3,a7?48,則a5?__________.②若a5?2,a10?10,則a15?__________.③若a4?5,a8?6,則a2a10?__________.16

22n

(8?1)7

且a1+a3+?+a49=30,則a1+a2+a3+?+a50=()2

A．35B．40C．45D．50

14.設{an}是由正數組成的等比數列,公比q=2,且a1a2a3……a30=230,那么a3a6a9…a30等于 A.210B.220C.216D.215 【訓練4】

考向五等比數列與等差數列的綜合a3?a

41a2,a3,a1

a?a52【例5】?25.各項都是正數的等比數列｛an｝的公比q≠1，且成等差數列，則4的值是

?15?11?5?1?1

A.2B.2C.2D.2或29、等差數列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比數列，則

a

1的值是（）a

4A．1B．2C．3D．4

【訓練5】1.數列{an}是公差不為零的等差數列,并且a5,a8,a13是等比數列{bn}的相鄰三項.若b2=5,則bn等于

14.已知四個數，前三個數成等比數列，和為19，后三個數成等差數列，和為12，求此四個數.例1等比數列{an}的前n項和為sn，已知a1?an?66，a2an?1?128，sn?126，求n和公比q的值。

11、各項均為正的等比數列{an}中，q?

553

3n?1n?1n?1n?

1A.5·(3)B.5·(5)C.3·(5)D.3·(3)

27.公差不為0的等差數列{an}中，a2,a3,a6依次成等比數列，則公比等于

A.2B.3C.2D.3

40.等比數列{an}的首項a1=1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是某等差數列的第1,2,5項,則q等于

11，那么當a6?時，該數列首項a1的值為（）216

A.2B.3C.-3D.3或-3

A．1B．－1C．2D．－

24．三個數成等比數列，它們的積等于27，它們的平方和等于91，求這三個數。

12、三個數成等比數列，其積為216，其和為26，則此三個數為

五、鞏固練習

3．等比數列?an?中, a2?9,a5?243,則?an?的前4項和為（）A． 81B．120C．168D．19

22.已知等比數列{an}中，已知a2?a8?36,a3?a7?15則q=______________

（3）設等比數列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數列的公比q；

19、等比數列?an?的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數列，則?an?的公比為．

3.已知方程x?mx?

2a1?a3?a9

a?a4?a10的值為.12.已知等差數列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比數列,則2

14.在等差數列｛an｝中S6=0(d≠0)，如果am，am+1，a2m成等比數列，則m的值等于______.7.若?an?是等差數列，公差d?0，a2,a3,a6成等比數列，則公比為（）A.1B.2C.3D.43、成等比數列的三個數的和等于65，如果第一個數減去1，第三個數減去19，那就成等差數列，求這三個數。

4、已知三個數a，b，c成等比數列，其公比為3，如果a，b?8，c成等差數列，求這三個數。

【例6】?有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數．

【訓練6】、2、在2與9之間插入兩個數，使前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，求這兩個數。3

?

??x

?nx?2??0的四個根組成一個首項為的等比數列，則|m-n|=2

。答案：

3.2

2.若數列{an}的前n項和Sn=3n-a，數列{an}為等比數列，則實數a的值是.答案1

14．（四川理7）已知等比數列?an?中a2?1，則其前3項的和S3的取值范圍是(D)（Ａ）???,?1?（Ｂ）???,0???1,???（Ｃ）?3,???（Ｄ）???,?1???3,??? 10.（浙江卷6）已知?an?是等比數列，a2?2，a5?，則a1a2?a2a3???anan?1=C 4

（A）16（1?4?n）（B）16（1?2?n）（C）

3232?n?n

（1?4）（D）（1?2）33

SS6

=3，則9 =S6S3

8.（2009遼寧卷理）設等比數列{ an}的前n 項和為Sn，若

（A）2（B）

（C）（D）3

例4 [2011·北京卷] 在等比數列{an}中，若a1a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋?

＋|an|＝________.a1?a3?a5?a77.已知等比數列｛an｝的公比q=?

1a?a4?a6?a8.,則23

Sn為數列{an}的前n項和．3，a2，a34?設{an}是公比大于1的等比數列，已知S3?7，且a1?3

構成等差數列．

（1）求數列{an}的等差數列．，2，?，（2）令bn?lna3n?1，n?1求數列{bn}的前n項和T．

第五篇：等比數列前n項和教案[范文模版]

等比數列前n項和教案

導入：同學們，大家好！數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各部分之間的聯系，咱們在前邊數列這一部分看到了很多有聯系的數，排成一定順序的數，我們重點研究了等差數列和等比數列，正是它們向我們展示了數與數之間美妙的聯系，那么首先在等差數列當中，我們學習了等差數列的定義，通項公式和以及前n項求和公式，那么現在咱們一塊回憶一下等差數列前n項求和公式的推導過程，在等差數列前n項求和公式的推導過程當中，我們注意到，等差數列的本質特征是從第二項起，每一項比前一項要多一個公差d，那么，再把對等的兩項交換順序后，我們又一次注意到等差數列從倒數第二項起，每一項比后一項少一個d，就是通過這樣的本質特征，我們發現了等差數列各項之間的差異，那么我們通過什么樣的方式來消除這樣的差異呢？（停頓兩秒，之后同學一起回答）把這兩個式子相加，這樣我們就可以得到等差數列前n項求和公式。先找差異，再消除差異，這樣的方法我們稱之為“倒序相加”的方法。

好，我們再來看等比數列，在等比數列中我們已經學習了它的定義，通項公式，那么接下來應該學習它的（在此停頓一秒，學生一起回答）前n項求和公式，好的，前n項求和公式。首先，我們來看這樣一個問題情境，首先我們來做一個假設，假設在座的各位都是小小企業家，現在，你的公司在經營上遇到一些困難需要向銀行貸款，銀行和你商定，在三年內，公司每月向銀行貸款一萬元，為了還本付息，公司第一個月要向銀行還款一元，第二個月還款2元，第三個月還款4元，??，那么以此類推，也就是說公司每月還款的數量是前一個月的兩倍。那么，你作為這個公司的負責人，你會在這個和約上簽字嗎？思考一下，和同桌之間討論一下。

提問，怎么樣會不會簽約？那么請你吧這么一個在你的公司中遇到的問題給我們建立一個數學模型，我們可以把這個借款的過程（借款的過程也就是銀行每月給你的過程，銀行每月給的錢可以構成一個？）構成一個等比數列，（等比數列，好，an ,這個數列的首項？）首項是10000，（首項是10000元，）公比是1，（一共有多少項？）一共有36項。（好的，第二個，bn）首項是1元，（也就是你每個月給引港的還款也構成一個等比數列，他的首項是1，公比是？一共是多少項？）

那么你通過什么計算出我不會和銀行簽約，通過計算數列的和，好，首先我們來看看，在銀行借給你的錢的和是？那么你還給銀行的錢呢？非常好請坐

現在這位同學幫我們把這個實際問題概括成了數學問題，建立了數學模型，原來是兩個等比數列的問題，我們在決定要不要和銀行簽約的過程也就是去比較一下銀行借給我們的錢和我們還給銀行的錢之間的差異，好，銀行借給我們的前已經解決了，那么我們還給銀行的錢又怎樣計算呢，這實際上就是一個等比數列求和的問題，這也就是本節課我們要來研究的課題，等比數列前n項和，試想，如果我們掌握了這個方法，我們能精確的計算出我們還給銀行的錢是多少，那么我們可以明確地做出判斷我是否和銀行簽約，是不是？

接下來在這個36項求和的過程的當中，這個等比數列求和

等差數列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本質即整體設元，構造等式，利用方程的思想化繁為簡，把不易求和的問題轉化為易于求和的問題，從而求和的實質是減少了項.那現在用這種辦法還行嗎？若不行，那該怎樣簡化運算？能否類比倒序相加的本質，根據等比數列項之間的特點，也構造一個式子，通過兩式運算來解決問題？