第一篇：等比數列前n項和的教學設計

新課程理念倡導的數學課堂教學設計必須“以學生的學為本”，“以學生的發展為本”，即數學課堂教學設計應當是人的發展的“學程”設計，而不單純以學科為中心的“教程”的設計。

一、教學目標的確定 本節課的教學設計意圖：

1。進一步促進學生數學學習方式的改善

這是等比數列的前n項和公式的第一課時，是實踐二期課改中研究型學習問題的很好材料，可以落實新課程標準倡導的“提倡積極主動，勇于探索的學習方式;強調本質，注意適度形式化”的理念，教與學的重心不只是獲取知識，而是轉到學會思考、學會學習上，教師注意培養學生以研究的態度和方式去認真觀察、分析數學現象，提出新的問題，發現事物的內在規律，引導學生自覺探索，進一步培養學生的自主學習能力。

2。落實二期課改中的三維目標，強調探究的過程和方法

“知識與技能、過程與方法、情感，態度與價值”這三維目標是“以學生的發展為本”的教育理念在二期課改中的具體體現，本節課是數學公式教學課，所以強調學生對認知過程的經歷和體驗，重視對實際問題的理解和應用推廣，強調學生對探究過程和方法的掌握，探究過程包括發現和提出問題，通過觀察、抽象、概括、類比、歸納等探究方法進行實踐。

在此基礎上，根據本班學生是區重點學校學生，學習勤懇，平時好提問，敢于交流與表達自己想法，故本節課制定了如下教學目標：

（l）、通過歷史典故引出等比數列求和問題，并在問題解決的過程中自主探索等比數列的前n項和公式的求法。

（2）、經歷等比數列的前n項和公式的推導過程，了解推導公式所用的方法，掌握等比數列的前n項和公式，并能進行簡單應用。

二、教材的分析和反思：本節課是《等比數列的前n項和公式》的第一課時，之前學生已經掌握了數列的基本概念、等差與等比數列的通項公式及等差數列的前n項和公式，對于本節課所需的知識點和探究方法都有了一定的儲備，新教材內容是給出了情景問題：印度國王獎賞國際象棋發明者的故事，通過求棋盤上的麥粒總數這個問題的解決，體會由多到少的錯位相減法的數學思想，并將其類比推廣到一般的等比數列的前n項和的求法，最后通過一些例題幫

第二篇：等比數列前n項和教學設計

《等比數列的前n項和》教案

一．教學目標

知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。

過程與方法目標：通過公式的推導過程，提高學生構造數列的意識及探究、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想。

情感與態度目標：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。

二．重點難點

教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用； 教學難點：公式的推導方法及公式應用的條件。

三．教學方法

利用多媒體輔助教學，采用啟發---探討---建構教學相結合。

四．教具準備 教學課件，多媒體 五．教學過程

（一）創設情境，提出問題

故事回放：在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我在棋盤的64個方格上，第1個格子里放1千噸小麥，第2個格子里放2千噸，第3個格子里放3千噸，如此下去，第64個格子放64千噸小麥，請給我這些小麥？

（二）.師生互動，探究問題

問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少小麥嗎？引導學生寫出小麥總數，帶著這樣的問題，學生會動手算起來，通過計算需要1+2+3+?+64=2080(千噸)結果出來后，國王認為西薩胃口太大，而國庫空虛，還是提個簡單的要求吧！西薩說：國王，我希望在第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆，第3個格子里放4顆，如此下去，每個格子放的麥粒數是前一格麥粒數的2倍, 2

請給我這么多的麥粒數？

問題2：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數1?2?22?23?????263，同時告訴學生一個抽象的答案，如果按西薩的要求，這是一個多么巨大的數字啊！它相當于全世界兩千多年小麥產量的總和．

問題3： 1，2，22，?，263是什么數列？有何特征？應歸結為什么數學問題呢？

探究一：1?2?22?23?????263，記為S64?1?2?22?23?????263??①式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）

探究二： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，①式兩邊同乘以2則有2S64?2?22?23?????264??②式．比較①、②兩式，你有什么發現？

經過比較、研究，學生發現：①、②兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S64?264?1，老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程。

思考：為什么①式兩邊要同乘以2呢？

（三）.類比聯想，解決問題

探究三：如何將結論一般化，設等比數列?an?，首項為a1，公比為q,如何求前n項和為Sn？

探究四：在學生推導過程中，由(1?q)Sn?a1?a1q，得到Sn?na1?a1q1?qn

對不對？

探究五：結合等比數列的通項公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）

（四）.例題講解，形成技能

1111......前8項和； 例1：求等比數列，,24816練習一：根據下列條件，只需列出等比數列?an?的（1）a1=3,q=2,n=6,sn的式子

sn=________________.12,(2)a1=2.4,q=-1.5,an=

sn=_______________.(3)等比數列1，2，4，?從第五項到第十項的和S=___________.例2：等比數列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn？ 練習二：等比數列{an}的公比q=

（五）總結歸納，加深理解

12，a8=1，求它的前8項和S8。

引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。

（六）.故事結束，首尾呼應

最后我們回到故事中的問題，西薩的第二個要求需要大約7380億噸小麥，比第一個要求更加苛刻，顯然國王兌現不了他的承諾。同學們有什么辦法幫助國王嗎？讓西薩自己去數他要的麥粒，事實上，假如他一秒鐘數一粒，數完這些麥粒所需時間約是5800億年。

六.課后作業

必做： P24習題三第三題（1）（2）

七、教學評價與反饋

根據高二職高學生的特點、教材內容、遵循因材施教原則和啟發性教學思想，本節課的教學策略與方法我采用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，案例為淺層次要求，使學生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便于突破。應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固 5

所學，反饋驗證本節教學目標的落實。其中，案例是基礎，使學生感知教材；公式為關鍵，使學生理解教材；練習為應用，使學生鞏固知識，舉一反三。在這三步教學中，以啟發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分析討論并充分運用課件等教輔用具改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務于學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學生理解鞏固與應用，也培養了學生的思維能力。

第三篇：2.3.3 等比數列前n項和教學設計

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

2.3.3 等比數列前n項和(1)

南京師范大學附屬中學

張士民

教學目標：

1.掌握等比數列的前n項和公式及公式證明思路；

2.會用等比數列的前n項和公式解決有關等比數列前n項和的一些簡單問題.．

教學重點：

等比數列的前n項和公式推導與靈活應用公式解決有關問題． 教學難點：

等比數列的前n項和公式的推導．

教學過程

一、問題情境

我們已經學習了等比數列的概念與通項公式，與等差數列類似．下面，我們應該研究什么問題呢？求等比數列前n項和．

問題：如何求一個等比數列前n項和呢？

已知等比數列{an}的第1項a1、公比為q，求該數列的前n項和是Sn，即Sn?a1?a2?a3???an．

研究問題疏理： 有哪些條件呢？{an}是等比數列是什么意思？an?an?1q或aa2a3???n?q． a1a2an?1要求什么呢？求該數列的前n項和是Sn是什么意思？用a1、q、n表示Sn．

讓我們為難的是什么？項數多，運算次數多，無法算．

如何求呢？請同學們思考．

二、學生活動

老師巡視，請學生上黑板板演．

思路一：錯位相減法．

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q???a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q???a1q?a1q兩式相減得：(1?q)Sn?a1?a1qn，a1(1?qn)a?aq當q?1時，Sn? 或Sn?1n

1?q1?q當q=1時，Sn?na1

評：再構造一個等式，兩式相減．特點：每一項都是前一項的q倍，原式乘以q后，相當于各項向后移了一位，兩式右邊有n-1項相同，相減后減少項數．

思路二：

aa2a3???n?q，a1a2an?1等比定理：a2?a3???anS?a1?q，即n?q

a1?a2???an?1Sn?an∴(1?q)Sn?a1?a1qn, 注：由(1?q)Sn?a1?a1qn的左邊，(1?q)Sn?Sn?qSn，可看出需用Sn減去qSn，也可引出錯位相減法．

思路三：

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1=a1(1?q?q2???qn?2?qn?1)

只要求Sn＝1?q?q2???qn?2?qn?1即可．轉化 角度一：錯位相減法；

角度二：Sn=1?q?q2???qn?2?qn?1?1?q(1?q?q2???qn?2)=1+ q Sn-1

Sn ?1?q(Sn?qn?1)，解出Sn。

評：構造Sn的方程．

三、建構數學：認識理解公式

問：等比數列前n項和公式是什么？公式有什么特點？ 一般地，設等比數列{an}的前n項和是Sn，則

a1(1?qn)當q?1時，Sn?；當q=1時，Sn?na1．

1?q?a1(1?qn)(q?1),?S?即n?1?q

?na(q?1).?1（1）公式由兩部分構成，且Sn是n的函數；求和時，要判斷公比q是否為1；

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

（2）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三個，可求第四個；（3）公式中q的指數是n，與項數對應；

（4）當q?1時，可用a1、q、n、an表示Sn，Sn?

四、數學運用 1．例題：

例1．求等比數列{an}中，1，求S10； 2（2）已知；a1?1，ak?243，q?3，求Sk．

a1?anq． 1?q（1）已知；a1??4，q?1?4[1?()10]a(1?q)10232解：（1）S10?1； ???11?q1281?2a?akq1?243?3（2）Sk?1??364．

1?q1?3注意：公式的選擇．

763例2．求等比數列{an}中，S3?，S6?，求an；

22763解：若q?1，則S6?2S3，與已知S3?，S6?矛盾，22a1(1?q3)7a1(1?q6)63?

①，S6??∴q?1，從而S3?

②．

1?q21?q211②÷①得： 1?q3?9，∴q?2，由此可得a1?，∴an??2n?1?2n?2．

2210注意：求基本量時，常根據條件列方程求解．消元時，常用兩式相除． 在運用等比數列前n項和公式求和時，首先要判斷公比q是否為1，然后正確運用公式．若q的取值不確定，則需對q是否取1進行討論．

1111例3．求數列1,2,3,?,n?n,?的前n項和．

24821111解 Sn?(1?)?(2?)?(3?)???(n?n)

24821111?(1?2?3??n)?(?????n)

248211(1?n)n(n?1)22?n(n?1)?1?1． ??n12221?2說明：數列的每一項都是一個等差數列與一個等比數列的對應項的和，求解

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

時采用分組求和．

練習：

書P52第2，3題．

五、回顧小結

1．等比數列的前n項和公式；

2．用分組求和法求每一項都是一個等差數列與一個等比數列的對應項的和的數列和．

六、課外作業

課本P52第4題，P55第1，2，7，8題．

第四篇：等比數列的前n項和 【教學設計】（范文模版）

等比數列的前n項和

一、教學內容分析

本節課選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教版）第二章第5節第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。

二、學生學習情況分析

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。

三、設計思想

《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對這一目標本人認為更加注重培養學生作為學習主體的能動性、獨立性、創造性、發展性。心理學家研究發現，9~22歲的學生正處于創新思維的培養期，高中生正好處于這一關鍵年齡段，作為數學教師應因勢力導，培養學生的創新思維能力。利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現對弱勢學生更多的關心。

四、教學目標

理解并掌握等比數列前n項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題。

通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。通過對公式推導方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之間等價轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義觀點。

五、教學重點、難點

教學重點是公式的推導、公式的特點和公式的運用。教學難點是公式的推導方法和公式的靈活運用。公式推導

所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。教學準備：

包括資源的收集、課件的制作、活動的準備等

1.全日制普通高級中學教科書（必修）第一冊（上）2.普通高中課程標準教科書數學（必修）5及配套光盤 3.兩種教材的主要差異對比

4.課件《等比數列的前n項和》改編

六、教學過程設計：

學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我設計了如下的教學過程：

（一）創設情境，提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印

度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？

【設計意圖】：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學 生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。

此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引 導學生寫出麥粒總數 1+2+22+23+??????+263。帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定。

【設計意圖】：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍

不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。

（二）師生互動，探究問題 在肯定他們的思路后，我接著問： 1+2+22+23+??????+263是什么數列？有何特

21+2+2+23+??????+263征？ 應歸結為什么數學問題呢？

S64=1+2+22+23+???+263【學情預設】：探討1：設，記為

（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）

探討2： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，2S64=2+22+23+???+263+264（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式。比較（1）(2）兩式，你有什么發現？

【設計意圖】：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n 項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住培養學生的辯證思維能力的良好契機。

經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同

S64?264?1。老師指出：這就是的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：

錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？ 【設計意圖】：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

（三）類比聯想，解決問題

這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列{an}，首

項為a1，公比為q，如何求前n項和Sn？這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導。

【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已

知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。【學情預設】：在學生推導完成后，我再問：由(1-q)s得a-1anqn=1a1-a1qnsn=對不對？這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？1-qq?1時是什么數列？此時Sn?？（這里引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）

再次追問：結合等比數列的通項公式an?a1qn?1,如何把Sn用

a1、an、q表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）

【設計意圖】：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認

識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。

（四）討論交流，延伸拓展

在此基礎上，我提出：探究等比數列前n項和公式，還有其 它方法嗎？我們知道, sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn-2)那么我們能否利用這個關系而求出Sn呢？根據

a2a3a4an===?==qaaaa23n-1等比數列的定義又有1，能否聯想到等比定理從而求出Sn呢？

【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓 學生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到

Sn?a1?qSn?1, 這其實就是關于Sn的一個遞推式，遞推數列有非 常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源 于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.（五）變式訓練,深化認識

2481663 變式

1、等比數列1,1,1,1, ???前多少項的和是；

6424816 變式

2、等比數列1,1,1,1, ???求第5項到第10項的和；

24816 變式

3、等比數列1,1,1,1, ???求前2n項中所有偶數項的和。

24816首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然后師生共同進行總結。

【設計意圖】：采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認

識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成。通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生的參與意識和競爭意識。

（六）例題講解，形成技能 例2：求和1+a+a2+a3+?+an-1

【設計意圖】：解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養學生對含有參數的問題進行分類討論的數學思想。

（七）總結歸納，加深理解

以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學 生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。

【設計意圖】：以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能 力。

（八）故事結束，首尾呼應

最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小

麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾。

【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克 服疲倦、繼續積極思維。

（九）課后作業，分層練習必做：P66練習1：(1)、(2)；2 選作：思考題：（1）求和x+2x2+3x3+?+nxn.（2）“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請 問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？

【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。例1：求等比數列1,1,1,1, ???前8項和；

七、教學反思：對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯系。在教學中，我采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段。

廈門市翔安一中張文雅

點評：

本節課開始，設置了“棋盤上的數學”一例，讓學生感受數學文化的熏陶，引起學生的興趣，挑起學生探索新知識的欲望，進而提出了等比數列求和的問題。

教學設計重視“過程與方法”，符合新課標的理念，把重點放在公式的推導上。在探索公式的過程中，用到了許多重要的數學方法，如錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；等比定理：回歸定義，自然樸實。學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想，這個推導過程有效地培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性，培養了學生解決問題的能力。

本節課例子設計精巧。通過精講一題（例1），發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能；通過例題講解（例2），進一步滲透分類討論的思想，培養分類討論的思想和思維的縝密性；設計選作思考題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少，思考題體現數學的文化價值。這節課在民主和諧的課堂氛圍里，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質。

第五篇：等比數列前n項和的教學設計

等比數列前n項和的教學設計

內容分析

本節課選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教A版）第二章第5節第一課時，從在教材中的地位與作用來看：《等比數列前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推倒過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。學情分析

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推倒與等差數列前n項和公式的推倒有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用公式的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。設計思路

《新課程改革綱要》提出：要“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”.對這一目標本人認為應更加注重培養學生作為學習主體的能動性、獨立性、創造性、發展性。心理學家研究發現，9~22歲的學生正處于創新思維的培養期，高中生正好處于這一關鍵年齡段，作為數學教師應因勢利導，培養學生的創新思維能力，利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現對弱勢學生更多的關心。三維目標

理解并掌握等比數列前n項和公式的推倒過程、公式的特點，在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的的問題。

通過對公式推倒方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。

通過對公式推倒方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之間等價轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義觀點。

教學重點：公式的推倒、公式的特點、公式的應用。

教學難點：公式的推倒方法和公式的靈活運用。公式推倒所使用的“錯位相減法”是高中數學的數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊涵了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。教學手段：多媒體輔助教學 教學過程

學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，設計了如下的教學過程：

一、創設情境，提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的2倍，直至第64格，國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？ 設計意圖：

設計這個情景目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數1?2?22?23???263，帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時對他們的這種思路給予肯定。

在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙的拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。

二、師生互動，探究問題

在肯定了他們的思路后，接著問：1?2?22?23???263是什么數列？有何特征？1?2?22?23???263應歸結為什么數學問題呢？

學情預設

探討1：設S64?1?2?22?23???263,記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）

探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有（2）兩式，你有什么發現？ 2S64?2?22?23??263?264，記為（2）式。比較（1）設計意圖：

留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推倒關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住學生的辯證思維能力的良好契機。

經過比較、研究，學生發現：?1??2?兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到S64?264?1。老師提出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么?1?式兩邊要同乘以2呢？

經過繁難的計算后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了!讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

三、類比聯想，解決問題

這時在順勢引導學生將結論一般化，設等比數列?an?，首項為a1，公比為q，如何求前n項和Sn？這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導。設計意圖

在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。學情預設

a1?a1qn在學生推倒完成后，再問：由?1?q?Sn?a1?a1q得Sn?對不對？這里的q能不能

1?qn等于1？等比數列中的公比能不能為1?q=1時是什么數列？此時Sn?？（這里引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）

再次追問：結合等比數列的通項公式an?a1qn?1，如何把Sn用a1、an、q表示出來？（引導學生得出公式的另一種形式）設計意圖

通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。

四、討論交流，延伸拓展

在此基礎上，提出：探究等比數列前n項和公式，還有其他方法嗎？我們知道2??a1qn?1?a1?q(a1?a1q??a1qn?2)，那么我們能否利用這個關系而求出Sn?a1?a1q?a1q?Sn呢？根據等比數列的定義又有Sn呢？

aa2a3a4?????n?q，能否聯想到等比定理從而求出

an?1a1a2a3設計意圖

以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qSn?1，這其實就是關于Sn的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用。

五、變式訓練，深化認識

例1求等比數列變式1等比數列變式2變式31111，,?的前24816,8項和。

111163，，?的前多少項的和是？ 24816641111等比數列，，?，求第5項到第10項的和。

248161111等比數列，，?，求前2n項中所有偶數項的和。

24816首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其他同學進行評價，然后師生共同進行總結。

設計意圖

采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成，通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生的參與意識和競爭意識。

六、例題講解，形成技能

例2求和1?a?a2?a3???an?1 設計意圖

解題時，以學生分析為主，教師適時給予點播，該題有意培養學生對含有參數的問題進行分類討論的數學思想。

七、總結歸納，加深理解

以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推倒方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。設計意圖

以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。

八、故事結束，首尾呼應

最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84?1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一跳寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾。設計意圖

把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續積極思維。

九、課后作業，分層練習必做：課本本節練習1：（1）（2）;2;選做：思考題：（1）求和x?2x2?3x3??nxn。（2)“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？ 設計意圖

出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生思考的空間。教學反思

對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推倒方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯系。在教學中，采用“問題——探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段。

等比數列前n項和的教學設計

濟寧市任城區第二中學

褚

坤 2011-10-12