第一篇：2017湖南教師資格：《等比數(shù)列的前n項和》教學設(shè)計

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2017湖南教師資格：《等比數(shù)列的前n項和》教學

設(shè)計

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《等比數(shù)列的前n項和》教學設(shè)計

一、教學目標

1.知識與技能目標：理解并掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。

2.過程與方法目標：通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想，提高觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力。

3.情感態(tài)度與價值觀目標：逐步養(yǎng)成良好的學習習慣和數(shù)學思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點。

二、教學重、難點

重點：掌握公式的特點和公式的運用，能夠運用“錯位相減法”推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式。

難點：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運用。

三、教學準備 多媒體課件，投影儀。

四、教學過程

(一)設(shè)置情景，提出問題

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話說豬八戒自西天取經(jīng)回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團，搖身變成了CEO。可好景不長，便因資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙。悟空一口答應(yīng)：“行!我每天投資100萬元，連續(xù)一個月(30天)，但是有一個條件是：作為回報，從投資的第一天起你必須返還給我1元，第二天返還2元，第三天返還4元??即后一天返還數(shù)為前一天的2倍。”八戒聽了，心里打起了小算盤，看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“這猴子老是欺負我，會不會又在耍我?”

假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒分析一下，按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資?又該返還給悟空多少錢?

(二)合作探究，新課教授

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第二篇：等比數(shù)列前n項和教學設(shè)計

《等比數(shù)列的前n項和》教案

一．教學目標

知識與技能目標：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。

過程與方法目標：通過公式的推導(dǎo)過程，提高學生構(gòu)造數(shù)列的意識及探究、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想。

情感與態(tài)度目標：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學的嚴謹美。

二．重點難點

教學重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運用； 教學難點：公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用的條件。

三．教學方法

利用多媒體輔助教學，采用啟發(fā)---探討---建構(gòu)教學相結(jié)合。

四．教具準備 教學課件，多媒體 五．教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

故事回放：在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我在棋盤的64個方格上，第1個格子里放1千噸小麥，第2個格子里放2千噸，第3個格子里放3千噸，如此下去，第64個格子放64千噸小麥，請給我這些小麥？

（二）.師生互動，探究問題

問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少小麥嗎？引導(dǎo)學生寫出小麥總數(shù)，帶著這樣的問題，學生會動手算起來，通過計算需要1+2+3+?+64=2080(千噸)結(jié)果出來后，國王認為西薩胃口太大，而國庫空虛，還是提個簡單的要求吧！西薩說：國王，我希望在第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆，第3個格子里放4顆，如此下去，每個格子放的麥粒數(shù)是前一格麥粒數(shù)的2倍, 2

請給我這么多的麥粒數(shù)？

問題2：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學生寫出麥粒總數(shù)1?2?22?23?????263，同時告訴學生一個抽象的答案，如果按西薩的要求，這是一個多么巨大的數(shù)字啊！它相當于全世界兩千多年小麥產(chǎn)量的總和．

問題3： 1，2，22，?，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學問題呢？

探究一：1?2?22?23?????263，記為S64?1?2?22?23?????263??①式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）

探究二： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，①式兩邊同乘以2則有2S64?2?22?23?????264??②式．比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

經(jīng)過比較、研究，學生發(fā)現(xiàn)：①、②兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S64?264?1，老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程。

思考：為什么①式兩邊要同乘以2呢？

（三）.類比聯(lián)想，解決問題

探究三：如何將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列?an?，首項為a1，公比為q,如何求前n項和為Sn？

探究四：在學生推導(dǎo)過程中，由(1?q)Sn?a1?a1q，得到Sn?na1?a1q1?qn

對不對？

探究五：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學生得出公式的另一形式）

（四）.例題講解，形成技能

1111......前8項和； 例1：求等比數(shù)列，,24816練習一：根據(jù)下列條件，只需列出等比數(shù)列?an?的（1）a1=3,q=2,n=6,sn的式子

sn=________________.12,(2)a1=2.4,q=-1.5,an=

sn=_______________.(3)等比數(shù)列1，2，4，?從第五項到第十項的和S=___________.例2：等比數(shù)列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn？ 練習二：等比數(shù)列{an}的公比q=

（五）總結(jié)歸納，加深理解

12，a8=1，求它的前8項和S8。

引導(dǎo)學生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法兩方面總結(jié)。

（六）.故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，西薩的第二個要求需要大約7380億噸小麥，比第一個要求更加苛刻，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。同學們有什么辦法幫助國王嗎？讓西薩自己去數(shù)他要的麥粒，事實上，假如他一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完這些麥粒所需時間約是5800億年。

六.課后作業(yè)

必做： P24習題三第三題（1）（2）

七、教學評價與反饋

根據(jù)高二職高學生的特點、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學思想，本節(jié)課的教學策略與方法我采用規(guī)則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固 5

所學，反饋驗證本節(jié)教學目標的落實。其中，案例是基礎(chǔ)，使學生感知教材；公式為關(guān)鍵，使學生理解教材；練習為應(yīng)用，使學生鞏固知識，舉一反三。在這三步教學中，以啟發(fā)性強的小設(shè)問層層推導(dǎo)，輔之以學生的分析討論并充分運用課件等教輔用具改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現(xiàn)學生是主體，教師教學服務(wù)于學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應(yīng)用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學生理解鞏固與應(yīng)用，也培養(yǎng)了學生的思維能力。

第三篇：等比數(shù)列前n項和的教學設(shè)計

等比數(shù)列前n項和的教學設(shè)計

內(nèi)容分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書·數(shù)學（5）》（人教A版）第二章第5節(jié)第一課時，從在教材中的地位與作用來看：《等比數(shù)列前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推倒過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。學情分析

從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推倒與等差數(shù)列前n項和公式的推倒有著本質(zhì)的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用公式的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。設(shè)計思路

《新課程改革綱要》提出：要“改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”.對這一目標本人認為應(yīng)更加注重培養(yǎng)學生作為學習主體的能動性、獨立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。心理學家研究發(fā)現(xiàn)，9~22歲的學生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學教師應(yīng)因勢利導(dǎo)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現(xiàn)對弱勢學生更多的關(guān)心。三維目標

理解并掌握等比數(shù)列前n項和公式的推倒過程、公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的的問題。

通過對公式推倒方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。

通過對公式推倒方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點。

教學重點：公式的推倒、公式的特點、公式的應(yīng)用。

教學難點：公式的推倒方法和公式的靈活運用。公式推倒所使用的“錯位相減法”是高中數(shù)學的數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊涵了重要的數(shù)學思想，所以既是重點也是難點。教學手段：多媒體輔助教學 教學過程

學生是認知的主體，設(shè)計教學過程必須遵循學生的認知規(guī)律，盡可能地讓學生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，設(shè)計了如下的教學過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的2倍，直至第64格，國王令宮廷數(shù)學家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？ 設(shè)計意圖：

設(shè)計這個情景目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學習的積極性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點。此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學生寫出麥粒總數(shù)1?2?22?23???263，帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時對他們的這種思路給予肯定。

在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙的拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關(guān)鍵處學生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。

二、師生互動，探究問題

在肯定了他們的思路后，接著問：1?2?22?23???263是什么數(shù)列？有何特征？1?2?22?23???263應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學問題呢？

學情預(yù)設(shè)

探討1：設(shè)S64?1?2?22?23???263,記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）

探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 2S64?2?22?23??263?264，記為（2）式。比較（1）設(shè)計意圖：

留出時間讓學生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推倒關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住學生的辯證思維能力的良好契機。

經(jīng)過比較、研究，學生發(fā)現(xiàn)：?1??2?兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到S64?264?1。老師提出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么?1?式兩邊要同乘以2呢？

經(jīng)過繁難的計算后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了!讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心。

三、類比聯(lián)想，解決問題

這時在順勢引導(dǎo)學生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列?an?，首項為a1，公比為q，如何求前n項和Sn？這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導(dǎo)。設(shè)計意圖

在教師的指導(dǎo)下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。學情預(yù)設(shè)

a1?a1qn在學生推倒完成后，再問：由?1?q?Sn?a1?a1q得Sn?對不對？這里的q能不能

1?qn等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1?q=1時是什么數(shù)列？此時Sn?？（這里引導(dǎo)學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎(chǔ)。）

再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式an?a1qn?1，如何把Sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學生得出公式的另一種形式）設(shè)計意圖

通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。

四、討論交流，延伸拓展

在此基礎(chǔ)上，提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其他方法嗎？我們知道2??a1qn?1?a1?q(a1?a1q??a1qn?2)，那么我們能否利用這個關(guān)系而求出Sn?a1?a1q?a1q?Sn呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有Sn呢？

aa2a3a4?????n?q，能否聯(lián)想到等比定理從而求出

an?1a1a2a3設(shè)計意圖

以疑導(dǎo)思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qSn?1，這其實就是關(guān)于Sn的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用。

五、變式訓(xùn)練，深化認識

例1求等比數(shù)列變式1等比數(shù)列變式2變式31111，,?的前24816,8項和。

111163，，?的前多少項的和是？ 24816641111等比數(shù)列，，?，求第5項到第10項的和。

248161111等比數(shù)列，，?，求前2n項中所有偶數(shù)項的和。

24816首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其他同學進行評價，然后師生共同進行總結(jié)。

設(shè)計意圖

采用變式教學設(shè)計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成，通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養(yǎng)學生的參與意識和競爭意識。

六、例題講解，形成技能

例2求和1?a?a2?a3???an?1 設(shè)計意圖

解題時，以學生分析為主，教師適時給予點播，該題有意培養(yǎng)學生對含有參數(shù)的問題進行分類討論的數(shù)學思想。

七、總結(jié)歸納，加深理解

以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學生回顧公式、推倒方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法兩方面總結(jié)。設(shè)計意圖

以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。

八、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84?1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一跳寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。設(shè)計意圖

把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。

九、課后作業(yè)，分層練習必做：課本本節(jié)練習1：（1）（2）;2;選做：思考題：（1）求和x?2x2?3x3??nxn。（2)“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？ 設(shè)計意圖

出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生思考的空間。教學反思

對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推倒方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系。在教學中，采用“問題——探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段。

等比數(shù)列前n項和的教學設(shè)計

濟寧市任城區(qū)第二中學

褚

坤 2011-10-12

第四篇：等比數(shù)列前n項和公式教學設(shè)計（模版）

等比數(shù)列前n項和公式教學設(shè)計 1.復(fù)習:(1)等比數(shù)列的定義

(2)等比數(shù)列的通項公式: 2.引例：

一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當受騙,所以很為難。”請在座的同學思考討論一下,窮人能否向富人借錢?（1）啟發(fā)引導(dǎo)學生數(shù)學地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學模型。

學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導(dǎo)學生自主探求，得出：

S窮人30天借到的錢：

'30?1?2???30?229(1?30)?302??465（萬元）

窮人需要還的錢：S30?1?2?2???2?

29（2）教師緊接著把如何求S學生探究，30?1?2?2???22?？的問題讓S30?1?2?2???2229

①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

2S30?2?2???2229?230②

若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：

S30?230?1?1073741823(分)≈1073(萬元)＞ 465（萬元）

由此得出窮人不能向富人借錢

（3）小組合作

仿照公比為2的等比數(shù)列求和方法，推倒等比數(shù)列前 項和公式：

等式兩邊應(yīng)同乘以等比數(shù)列的公比，即（板書）

③兩端同乘以，得 ④，③－④得

醒學生注意 的取值）當 當 時，由③可得 時，由⑤得

（不必導(dǎo)出④，但當時設(shè)想不到）.⑤，（提問學生如何處理，適時提于是

（4）教師：還有沒有其他推導(dǎo)方法？

?a2a1?a3a2???anan?1?q

?a2?a3???ana1?a2???an?1?q

即

sn?a1sn?an?q?sn?a1?anq1?q(q?1)。

學生B：

sn?a1?a1q???a1q?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1q1n?1

?n?2??a?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anqa1?anq1?q(q?1)?sn?qsn?a1?anq?sn?

3．練習：

求下列等比數(shù)列的各項和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,?1,1,?1,?,?2481512

2、根據(jù)下列條件求等比數(shù)列?a?的前n項和S

nn①a1?2,q?2,n?8

②a1?8,q?2,an?12

4．布置作業(yè)：

1、根據(jù)下列條件，求等比數(shù)列?an?的前n項和S

n①: a1?3,q?2,n?6

②: a1?8,q?12,an?12

0,n?049 ③：a2?0.12,a5?0.0 ④: a1?a3?10,a4?a6?54，2、在等比數(shù)列?an?中，①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn ②:已知S2?30,S3?115，求Sn

第五篇：2.3.3 等比數(shù)列前n項和教學設(shè)計

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2.3.3 等比數(shù)列前n項和(1)

南京師范大學附屬中學

張士民

教學目標：

1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路；

2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項和的一些簡單問題.．

教學重點：

等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)與靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題． 教學難點：

等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)．

教學過程

一、問題情境

我們已經(jīng)學習了等比數(shù)列的概念與通項公式，與等差數(shù)列類似．下面，我們應(yīng)該研究什么問題呢？求等比數(shù)列前n項和．

問題：如何求一個等比數(shù)列前n項和呢？

已知等比數(shù)列{an}的第1項a1、公比為q，求該數(shù)列的前n項和是Sn，即Sn?a1?a2?a3???an．

研究問題疏理： 有哪些條件呢？{an}是等比數(shù)列是什么意思？an?an?1q或aa2a3???n?q． a1a2an?1要求什么呢？求該數(shù)列的前n項和是Sn是什么意思？用a1、q、n表示Sn．

讓我們?yōu)殡y的是什么？項數(shù)多，運算次數(shù)多，無法算．

如何求呢？請同學們思考．

二、學生活動

老師巡視，請學生上黑板板演．

思路一：錯位相減法．

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1

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2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q???a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q???a1q?a1q兩式相減得：(1?q)Sn?a1?a1qn，a1(1?qn)a?aq當q?1時，Sn? 或Sn?1n

1?q1?q當q=1時，Sn?na1

評：再構(gòu)造一個等式，兩式相減．特點：每一項都是前一項的q倍，原式乘以q后，相當于各項向后移了一位，兩式右邊有n-1項相同，相減后減少項數(shù)．

思路二：

aa2a3???n?q，a1a2an?1等比定理：a2?a3???anS?a1?q，即n?q

a1?a2???an?1Sn?an∴(1?q)Sn?a1?a1qn, 注：由(1?q)Sn?a1?a1qn的左邊，(1?q)Sn?Sn?qSn，可看出需用Sn減去qSn，也可引出錯位相減法．

思路三：

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1=a1(1?q?q2???qn?2?qn?1)

只要求Sn＝1?q?q2???qn?2?qn?1即可．轉(zhuǎn)化 角度一：錯位相減法；

角度二：Sn=1?q?q2???qn?2?qn?1?1?q(1?q?q2???qn?2)=1+ q Sn-1

Sn ?1?q(Sn?qn?1)，解出Sn。

評：構(gòu)造Sn的方程．

三、建構(gòu)數(shù)學：認識理解公式

問：等比數(shù)列前n項和公式是什么？公式有什么特點？ 一般地，設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和是Sn，則

a1(1?qn)當q?1時，Sn?；當q=1時，Sn?na1．

1?q?a1(1?qn)(q?1),?S?即n?1?q

?na(q?1).?1（1）公式由兩部分構(gòu)成，且Sn是n的函數(shù)；求和時，要判斷公比q是否為1；

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（2）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三個，可求第四個；（3）公式中q的指數(shù)是n，與項數(shù)對應(yīng)；

（4）當q?1時，可用a1、q、n、an表示Sn，Sn?

四、數(shù)學運用 1．例題：

例1．求等比數(shù)列{an}中，1，求S10； 2（2）已知；a1?1，ak?243，q?3，求Sk．

a1?anq． 1?q（1）已知；a1??4，q?1?4[1?()10]a(1?q)10232解：（1）S10?1； ???11?q1281?2a?akq1?243?3（2）Sk?1??364．

1?q1?3注意：公式的選擇．

763例2．求等比數(shù)列{an}中，S3?，S6?，求an；

22763解：若q?1，則S6?2S3，與已知S3?，S6?矛盾，22a1(1?q3)7a1(1?q6)63?

①，S6??∴q?1，從而S3?

②．

1?q21?q211②÷①得： 1?q3?9，∴q?2，由此可得a1?，∴an??2n?1?2n?2．

2210注意：求基本量時，常根據(jù)條件列方程求解．消元時，常用兩式相除． 在運用等比數(shù)列前n項和公式求和時，首先要判斷公比q是否為1，然后正確運用公式．若q的取值不確定，則需對q是否取1進行討論．

1111例3．求數(shù)列1,2,3,?,n?n,?的前n項和．

24821111解 Sn?(1?)?(2?)?(3?)???(n?n)

24821111?(1?2?3??n)?(?????n)

248211(1?n)n(n?1)22?n(n?1)?1?1． ??n12221?2說明：數(shù)列的每一項都是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的和，求解

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時采用分組求和．

練習：

書P52第2，3題．

五、回顧小結(jié)

1．等比數(shù)列的前n項和公式；

2．用分組求和法求每一項都是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的和的數(shù)列和．

六、課外作業(yè)

課本P52第4題，P55第1，2，7，8題．