第三章

函數

第五節

二次函數的綜合應用

第1課時

二次函數的實際應用

(建議時間：40分鐘)

1.如圖是我省最古老的石拱橋——晉城“景德橋”，是晉城市城區通往陽城、沁水的交通要道，也是繼趙州橋之后我國現存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一．已知AB的長約20米、橋拱最高點C到AB的距離為9米，以水平方向為x軸，選取點A為坐標原點建立直角坐標系，則拋物線的表達式是y＝－x2＋x，則選取點B為坐標原點時的拋物線的表達式為()

第1題圖

A.y＝x2－x　　　B.y＝x2＋x

C.y＝－x2

D.y＝－x2－x

2.(2019連云港)如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°.若新建墻BC與CD總長為12

m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是()

第2題圖

A.18

m2

B.18m2

C.24m2

D.m2

3.(2019襄陽)(人教九上P43問題改編)如圖，若被擊打的小球飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有的關系為h＝20t－5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為________s.第3題圖

4.(2019錦州)2019年在法國舉辦的女足世界杯，為人們奉獻了一場足球盛宴．某商場銷售一批足球文化衫，已知該文化衫的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每個月可銷售出100件，根據市場行情，現決定漲價銷售，調查表明，每件商品的售價每上漲1元，每月少銷售出2件，設每件商品的售價為x元．每個月的銷售為y件．

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)當每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好為2250元；

(3)當每件商品的售價定為多少元時，每個月獲得利潤最大？最大月利潤為多少？

5.(2019成都)隨著5G技術的發展，人們對各類5G產品的使用充滿期待．某公司計劃在某地區銷售一款5G產品，根據市場分析，該產品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化，設該產品在第x(x為正整數)個銷售周期每臺的銷售價格為y元，y與x之間滿足如圖所示的一次函數關系．

(1)求y與x之間的關系式；

(2)設該產品在第x個銷售周期的銷售數量為p(萬臺)，p與x的關系可以用p＝x＋來描述．根據以上信息，試問：哪個銷售周期的銷售收入最大？此時該產品每臺的銷售價格是多少元？

第5題圖

6.(2019武漢)某商店銷售一種商品，經市場調查發現，該商品的周銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數，其售價，周銷售量，周銷售利潤w(元)的三組對應值如下表：

售價x(元/件)

周銷售量y(件)

周銷售利潤w(元)

1000

1600

1600

注：周銷售利潤＝周銷售量×(售價－進價)

(1)①求y關于x的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

②該商品進價是________元/件；當售價是____元/件時，周銷售利潤最大，最大利潤是______元；

(2)由于某種原因，該商品進價提高了m元/件(m>0)，物價部門規定該商品售價不得超過65元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數關系．若周銷售最大利潤是1400元，求m的值．

7.為迎接第二屆全國青年運動會的召開，山西體育場周邊社區積極參與社區改造，晉陽社區將一片空地進行修建改造，已知投資50000元修建的休閑區與投資40000元修建的鵝卵石健身道的面積相等，且修建1平方米的休閑區比修建1平方米的鵝卵石健身道費用高20元．

(1)求修建1平方米的休閑區與修建1平方米的鵝卵石健身道的費用各是多少元？

(2)如圖，新入住的一個小區需要在一塊長為60

米，寬為40米的矩形空地上修建四個面積相等的休閑區，并將余下的空地修建成橫向的寬為x

米，縱向的寬為10米的鵝卵石健身道，且橫向的寬度不超過縱向的寬度，所用工程隊與晉陽社區相同且費用不變．

①用含x(米)的代數式表示休閑區的面積S(平方米)，并注明x的取值范圍；

②綜合實際情況現要求橫向寬滿足1≤x≤5，則當x為多少時修建休閑區和鵝卵石健身道的總價w最低，最低造價為多少元？

第7題圖

第2課時

二次函數綜合題

(建議時間：40分鐘)

1.(2019賀州改編)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為(－1，0)，且OA＝OC，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)的圖象經過A，B，C三點．

(1)求點C的坐標及拋物線的表達式；

(2)若點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點，作PD⊥AC于點D，當PD的值最大時，求此時點P的坐標及PD的最大值．

第1題圖

2.(2019德陽改編)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x＝，B、C兩點的坐標分別為B(2，0)，C(0，－3)，點P為直線BC下方的拋物線上的一個動點(不與B、C兩點重合)．

(1)求此拋物線的表達式；

(2)如圖，連接PB、PC得到△PBC，問是否存在著這樣的點P，使得△PBC的面積最大？如果存在，求出面積的最大值和此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

第2題圖

3.綜合與探究

如圖，拋物線y＝－x2＋x＋4的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，直線l與拋物線交于B，C兩點，點P是第一象限內拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D，PD與BC交于點E，設點P的橫坐標為m.(1)求直線l的表達式及點A坐標；

(2)試探究是否存在點P，使△PCE為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標m的值；若不存在，請說明理由．

第3題圖

4.綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝x2－x－4的圖象與x軸交于A、B兩點(點A位于點B的左側)，與y軸交于點C，點D沿AB以每秒1個單位長度的速度在AB之間由點A向點B運動(點D不與A、B重合)．連接AC、BC、CD.設點D的運動時間是t(t＞0)．

(1)求直線BC的函數表達式和此拋物線的頂點坐標；

(2)E為拋物線上一點，是否存在這樣的t值，使以B，C，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

第4題圖

參考答案

第1課時

二次函數的實際應用

1.D　【解析】當以點B為坐標原點時，相當于在以點A為坐標原點的基礎上向左平移了20個單位，將y＝－x2＋x化為頂點式為y＝－(x－10)2＋9，∴平移后的拋物線的表達式為y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x.【一題多解】如解圖，當點B為坐標原點時，設拋物線的表達式是y＝ax2＋bx，點A的坐標為(－20，0)，點C的坐標為(－10，9)，將A、C坐標代入表達式得，解得，∴當點B為坐標原點時，拋物線的表達式為y＝－x2－x.第1題解圖

2.C　【解析】設BC的長為x

m，則CD＝(12－x)m，如解圖，過點C作CE⊥AB于點E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S四邊形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x,∵－<0，∴當x＝－＝8時，面積有最大值為：－×82＋6×8＝24(m2)．

第2題解圖

3.4　【解析】∵小球的飛行高度h與飛行時間t滿足二次函數關系，h＝20

t－5

t2＝－5(t－2)2＋20.∴當t＝2時，小球運動到最高點．∴小球從飛出到落地所用的時間為4s.4.解：(1)根據題意得y＝

100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)；

(2)由題意可得：(－2x＋220)(x－40)＝2250.x2－150x＋5525＝0，解得x1＝65，x2＝85.答：當每件商品的售價定為65元或85元時，利潤恰好是2250元；

(3)設利潤為W元，∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450.∵a＝－2<0，∴拋物線開口向下．

∵60≤x≤110，∴當x＝75時，W有最大值，W最大＝2450(元)．

答：當售價定為75元時，獲得最大利潤，最大利潤是2450元．

5.解：(1)設y關于x的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，由圖象可知，將點(1，7000)，(5，5000)代入得

解得

∴y關于x的函數關系式為y＝－500x＋7500；

(2)設銷售收入為W，根據題意得

W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)，整理得W＝－250(x－7)2＋16000，∵－250＜0，∴W在x＝7時取得最大值，最大值為16000元，此時該產品每臺的銷售價格為－500×7＋7500＝4000元．

答：第7個銷售周期的銷售收入最大，此時該產品每臺的銷售價格為4000元．

6.解：(1)①y＝－2x＋200；

②40，70，1800；

(2)由題意可知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m，對稱軸為直線x＝，∵m＞0，∴對稱軸x＝＞70，∵拋物線開口向下，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，∴當x＝65時，ymax＝1400，代入表達式解得m＝5.7.解：(1)設修建1平方米的鵝卵石健身道費用為m元，則修建1平方米的休閑區費用為(m＋20)元，根據題意，得

＝，解得m＝80.經檢驗，m＝80是原分式方程的解，且符合實際，m＋20＝80＋20＝100.答：修建1平方米的休閑區費用是100元，修建1平方米的鵝卵石健身道的費用是80元；

(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)

＝－90x＋1200(0＜x≤10)；

②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]

＝－1800x＋216000.∵－1800<0，∴w隨x的增大而減小．

∵1≤x≤5，∴當x＝5時，w最小＝－1800×5＋216000＝207000(元)．

答：當x＝5時，修建休閑區和鵝卵石健身道的總價w最低，最低造價為207000元．

第2課時

二次函數綜合題

1.解：(1)由題意得C(0，－4)．

∵OA＝OC，∴A(4，0)．

將A(4，0)，B(－1，0)帶入y＝ax2＋bx－4得，解得

∴拋物線的表達式為y＝x2－3x－4；

(2)如解圖，過點P作PE⊥x軸交AC于點E，第1題解圖

∴PE∥y軸．

∵OA＝OC，∴∠PED＝∠OCA＝45°.∴△DEP為等腰直角三角形，∴PD＝PE，∴當PE取得最大值時，PD取得最大值，易得直線AC的解析式為y＝x－4，設P(x，x2－3x－4)，則E(x，x－4)，則PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵0＜x＜4，∴當x＝2時，PE取得最大值，最大值為4.此時PD取得最大值，最大值為4×＝2，點P坐標為(2，－6)．

2.解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝，∴－＝，則b＝－a.∵拋物線過點C(0，－3)，∴代入得c＝－3.∴拋物線的表達式為y＝ax2－ax－3.又∵拋物線過點B(2，0)，∴代入得a＝，則b＝－.∴此拋物線的表達式為y＝x2－x－3；

(2)存在．如解圖，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，第2題解圖

設直線BC的表達式為y＝mx＋n，將B(2，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n，得

解得

∴直線BC的表達式為y＝x－3.設點P的坐標為(x,x2－x－3)，則點F的坐標為(x，x－3)，∵點P為直線BC下方的拋物線上的一個動點，∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x.∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE

＝PF·OB

＝·(－x2＋x)·2

＝－x2＋3x

＝－(x－)2＋.∵－<0，∴當x＝時，△PBC的面積取得最大值，最大值為.當x＝時，y＝x2－x－3＝－3，∴此時點P的坐標為(，－3)．

3.解：(1)∵拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋4.令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)．

令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵點A在點B左側，∴A(－1，0)，B(3，0)．

設直線l的表達式為y＝kx＋n(k≠0)，將B(3，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n得，解得

∴直線l的表達式為y＝－x＋4；

(2)存在，當m的值為1，或時，△PCE為等腰三角形．

【解法提示】根據題意有以下三種情況：

①當CP＝CE時，如解圖①，過點C作CH⊥PE于點H，則有PE＝2PH，第3題解圖①

由(1)得PE＝－m2＋4m，∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m，∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．

解得：m＝1或m＝0(不合題意，舍去)；

②當EP＝EC時，如解圖②，過點C作CH⊥PE于點H，第3題解圖②

易得△EHC∽△COB，∴＝

.∵CH＝m，BC＝5，BO＝3，∴CE＝＝m.由(1)得PE＝－m2＋4m，∴－m2＋4m＝m.解得：m＝或m＝0(不合題意，舍去)；

③當PC＝PE時，如解圖③，過點P作PG⊥CE于點G，第3題解圖③

易證△PGE∽△BOC，∴＝＝，∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m.∵PC＝PE，PG⊥CE，CE＝m，∴GE＝CE＝－m2＋m＝m.解得m＝或m＝0(不合題意，舍去)，綜上所述，m的值為1，或時，△PCE為等腰三角形．

4.解：(1)在拋物線y＝x2－x－4中，當y＝0時，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)，當x＝0時，y＝－4，∴C(0，－4)，設直線BC的表達式為y＝ax＋b，∵直線BC過B(8，0)，C(0，－4)兩點，∴解得

∴直線BC的表達式為y＝x－4，又∵拋物線y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴拋物線的頂點坐標為(3，－)；

(2)存在．滿足條件的t的值為4或－3.【解法提示】根據題意分以下三種情況討論(如解圖)：①當BC為邊且點E位于x軸上方時，此時的點E為直線y＝4與拋物線的交點，∴x2－x－4＝4，解得x1＝3＋，x2＝3－，∴xD1＝3＋－8＝－5，xD2＝3－－8＝－－5，∴D1(－5，0)，D2(－－5，0)(在點A的左側，不合題意，舍去)，此時D1A＝－3，∴t＝－3；②當BC為邊且點E位于x軸下方時，此時的點E為直線y＝－4與拋物線的交點，∴x2－x－4＝－4，解得x1＝6或x2＝0(與點C重合，不合題意，舍去)，∴xD3＝6＋8＝14，∴D3(14，0)(在B點右側，不合題意，舍去)；③當BC為對角線時，此時滿足條件的點E的橫坐標仍然是6，且CE4＝BD4＝6，xD4＝8－6＝2，∴D4(2，0)，此時D4A＝4，∴t＝4.綜上t的值為4或－3.第4題解圖