第18章

《平行四邊形》單元測試

一．選擇題（每題3分，共30分）

1．已知?ABCD中，∠A+∠C＝240°，則∠B的度數是（）

A．100°

B．160°

C．80°

D．60°

2．中，已知，則等于（）

A．140°

B．40°

C．80°

D．50°

3．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（1，2），則菱形OABC的面積是（）

A．

B．

C．2+1

D．2﹣1

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥AB，GH∥AD，與各邊交點分別為點E，F，G，H，則圖中面積相等的平行四邊形的對數為（）

A．3對

B．4對

C．5對

D．6對

5．如圖，在矩形中，，則（）

A．6

B．

C．5

D．

6．已知菱形的兩條對角線長分別為和8cm和10cm,則菱形的面積為（）

A．

B．40

C．

D．

7．如圖，在中，，垂足為點，點是的中點，若，則的長為（）

A．10

B．12

C．13

D．11

8．如圖，已知矩形ABCD中，DE＝AD，則S矩形ABCD＝（）S△EBC．

A．2

B．3

C．4

D．5

9．根據下列條件，能作出平行四邊形的是（）

A．兩組對邊長分別是3cm和7cm

B．相鄰兩邊的邊長分別是2cm和4cm，一條對角線長是7cm

C．一條對角線長為6cm，另一條對角線長為10cm，一條邊長為8cm

D．一條邊長為7cm，兩條對角線長為6cm和8cm

10．矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面積分為1：2，則BF：FC＝（）（BF＜FC）

A．1：3

B．1：4

C．1：5

D．2：9

二．填空題（每題4分，共20分）

11.如圖，在平行四邊形中，，于，則

．

12.菱形中，、分別是、的中點，且，那么等于

．

13.如圖，在正方形ABCD中，點E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，F，Q都在對角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則的值等于________．

14.如圖，正方形中，是對角線的交點，過點作，分別交于，若，則

15.如圖，l1∥l2，菱形ABCD的頂點A、B分別在直線l1、l2上，直線l1過CD的中點E，AB⊥l2，AB＝4，則AE＝

．

三．解答題（每題10分，共50分）

16．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．

（1）求證：①△ABG≌△AFG；

②BG＝GC；

（2）求△FGC的面積．

17．如圖所示，在正方形ABCD中，E是AB的中點，F是AD上的一點且AF＝AD，求證：

①CE平分∠BCF；

②判斷△CEF的形狀；

③CF＝AF+AB．

18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．

（1）求證：△ADC≌△ECD；

（2）若BD＝CD，求證：四邊形ADCE是矩形．

19．如圖，在矩形ABCD中，過對角線AC的中點O作AC的垂線，分別交射線AD和CB于點E，F連接AF，CE．

（1）求證：OE＝OF；

（2）求證：四邊形AFCE是菱形．

20．如圖，E、F是平行四邊形的對角線所在直線上的兩點，且，求證：四邊形是平行四邊形．

21．已知：正方形的對角線交于點，是線段上的一動點，過點作交，交于．

（1）若動點在線段上（不含端點），如圖（1），求證：；

（2）若動點在線段的延長線上，如圖（2），試判斷的形狀，并說明理由．

22．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，E恰為BC的中點，tanB＝2．

（1）求證：AD＝AE；

（2）如圖2，點P在線段BE上，作EF⊥DP于點F，連接AF，求證：；

（3）請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點（P不與點E重合）時，作EF垂直直線DP，垂足為點F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數量關系？直接寫出你的結論．

23．在平行四邊形ABCD中，點E、F分別為邊BC、AD的中點，連接AE、CF．

（1）如圖1，求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖2，過點D作DG⊥AB，垂足為點G，若AG＝AB，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與CF相等的線段．

參考答案

一．選擇題

1．D

2．B

3．B

4．A．

5．A．

6．B．

7．A．

8．A．

9．A．10．C

二．填空題（共5小題）

11.【答案】

【解析】∵四邊形是平行四邊形

∴

又∵

∴，∴

又∵，∴

∴．

12..【答案】

13.【答案】　【解析】設BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四邊形PQMN為正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的邊長為a，正方形AEFG的對角線AF＝BD＝a，∵正方形對角線互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.14.【答案】

15.2．

三．解答題（共5小題）

16．解：（1）證明：①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90°，又∵△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G

∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，即有∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，AG＝AG，在直角△ABG和直角△AFG中，∴△ABG≌△AFG；

②∵AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE，∴DE＝FE＝2，CE＝4，不妨設BG＝FG＝x，（x＞0），則CG＝6﹣x，EG＝2+x，在Rt△CEG中，（2+x）2＝42+（6﹣x）2

解得x＝3，于是BG＝GC＝3，（2）∵＝，∴＝，∴S△FGC＝S△EGC＝××4×3＝．

17．①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是AB的中點，AF＝AD，∴AE＝BE＝2AF，AB＝BC＝CD＝AD＝4AF，設AF＝a，則FD＝3a，DC＝BC＝4a，AE＝EB＝2a，由勾股定理得：EF＝＝a，CE＝＝2a，CF＝＝5a，∵，，∴，∴△CEF∽△CBE，∴∠ECF＝∠BCE，∴CE平分∠BCF；

②解：△CEF是直角三角形；理由如下：

∵EF2+CE2＝25a2，CF2＝25a2，∴EF2+CE2＝CF2，∴△CEF是直角三角形；

③證明：作EM⊥CF于M，如圖所示：

則BE＝ME，∠EMC＝90°，在Rt△BCE和Rt△MCE中，∴Rt△BCE≌Rt△MCE（HL），∴BC＝MC，同理：Rt△AEF≌△MEF，∴AF＝FM，∵CF＝FM+MC，∴CF＝AF+AB．

18．證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；

∴∠B＝∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；

又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代換），∠B＝∠ACB（等邊對等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代換）；

∵在△ADC和△ECD中，∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四邊形的對邊平行且相等），∴AE∥CD；

又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代換），∴四邊形ADCE是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性質），∴∠ADC＝90°，∴?ADCE是矩形．

19．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中點是O，∴OA＝OC，在和中，，∴OE＝OF；

（2）∵OE＝OF，AO＝CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形．

20證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．

21．（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于點，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴，∴；

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：

∵四邊形為正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于點，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴

∴；

又∵，∴是等腰直角三角形．

22．（1）證明：∵tanB＝2，∴AE＝2BE；

∵E是BC中點，∴BC＝2BE，即AE＝BC；

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，則AD＝BC＝AE；

（2）證明：作AG⊥AF，交DP于G；（如圖2）

∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；

∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；

又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；

∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF＝AF；

（3）解：如圖3，①當EP在線段BC上時，有DF+EF＝AF

②當EP≤2BC時，DF﹣EF＝AF，解法同（2）．

③當EP＞2BC時，EF﹣DF＝AF．

23．（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC．AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．

（2）與CF相等的線段有：AF，DF，AE，BE．EC．

理由：如圖2中，連接AC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AG，∴AG＝CD，AG∥CD，∴四邊形ACDG是平行四邊形，∵∠G＝90°，∴四邊形ACDG是矩形，∴∠ACD＝90°，∵AF＝DF，∴AF＝CF＝DF，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形，∴CF＝AF＝DF＝AE＝EC＝BE．