平行四邊形（重難點）

知識點1．平行四邊形的判定

(1)

按邊：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等．

(2)

按角：兩組對角分別相等．

(3)

按對角線：對角線互相平分，在選擇以上方法時，應根據題目條件合理選擇，若條

件中有對邊相等或對邊平行可從邊入手；若涉及到對角線可從對角線入手；若涉及到角可考慮從對角相等入手，三類方法中選擇邊進行判定的較多．

知識點2．平行四邊形性質的應用

(1)

平行四邊形的性質中邊的性質可以證明兩邊平行線或兩邊相等；

(2)

角的性質可以證明兩角相等或兩角互補；

(3)

對角線的性質可以證明線段的相等關系或倍分關系．

平行四邊形的性質為證明線段相等、角相等、線段平行及垂直提供了理論依據．

知識點3．三角形中位線

(1)三角形有三條中位線，每一條中位線與第三邊都有相應的位置關系與數量關系；

(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形，因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的．

1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F是AC延長線上一點．

（1）若ED⊥EF，求證：ED=EF；

（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結論（請先補全圖形，再解答）；

（3）若ED=EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明．

2.如圖，在菱形中，點，分別在邊，上，平分，點是線段上一動點（與點不重合）．

（1）求證：；

（2）當，時．

①求周長的最小值；

②若點是的中點，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

3.如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連結AE．

（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

（3）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM．

①求∠CAM的度數；

②當FH=，DM=4時，求DH的長．

4.已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．

（1）求證：AB＝AF；

（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結論．

5.如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊CB、AD的延長線上，且BE＝DF，EF分別與AB、CD交于點G、H．求證：AG＝CH．

6.如圖，在?ABCD中，∠ACB＝45°，點E在對角線AC上，BE＝BA，BF⊥AC于點F，BF的延長線交AD于點G．點H在BC的延長線上，且CH＝AG，連接EH．

（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的長；

（2）求證：EB＝EH．

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，BD為對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接AF、CE．

求證：AF＝CE．

8.在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F為BC上一點．

（1）如圖1，若AF⊥BC，垂足為F，BF＝3，AF＝4，求EF的長．

（2）如圖2，若DE和AF相交于點P，點Q在線段DE上，且AQ∥PC，求證：PC＝2AQ．

9.已知：如圖，AD是△ABC的中線，E為AD的中點，過點A作AF∥BC交BE延長線于點F，連接CF．

（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）如圖2．連接CE，在不添加任何助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與△BEC面積相等的三角形．

10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE＝BF．

（1）判斷四邊形BDEF的形狀，并說明理由；

（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F兩點的距離．

11.在?ABCD中，點E為CD邊上一點，點F為BC中點，連接BE，DF交于點G，且GA＝GD：

（1）如圖1，若AB＝AE＝BG＝6，AE⊥CD，求AG2的值；

（2）如圖2，若EM平分∠BEC，且EM∥DF，過點G作GN⊥BE交AE于點N且GN＝GE，求證：AE⊥CD．

12.如圖，平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點M為BC上一點，連接AM，且AB＝AM，點E為BM中點，AF⊥AB，連接EF，延長FO交AB于點N．

（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的長度；

（2）若∠ACB＝45°，求證：AN+AF＝EF．

13.在?ABCD中，連接對角線BD，AB＝BD，E為線段AD上一點，AE＝BE，F為射線BE上一點，DE＝BF，連接AF

（1）如圖1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的長；

（2）如圖2，連接DF并延長交AB于點G，若AF＝2DE，求證：DF＝2GF．

14.已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E點，DF平分∠ADC

交線段AE于F點．

（1）如圖1，若AE＝AD，求證：CD＝AF+BE；

（2）如圖2，若AE：AD＝a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關系，請直接寫出你的結論．

15.如圖1，在平行四邊形ABCD中，E，F分別在邊AD，AB上，連接CE，CF，且滿足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，連接EF．

（1）若EF＝2，求△AEF的面積；

（2）如圖2，取CE的中點P，連接DP，PF，DF，求證：DP⊥PF．

16.在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．

（1）如圖1，若∠ADC＝90°，G是EF的中點，連接AG、CG．

①求證：BE＝BF．

②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，若∠ADC＝60°，將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結論不必證明）