人教版八年級數學下冊

第19章

《一次函數》實際應用

解答題綜合練習（三）

1．甲、乙兩人從同一點出發，沿著跑道訓練400米速度跑，甲比乙先出發，并且勻速跑完全程，乙出發一段時間后速度提高為原來的3倍．設甲跑步的時間為x（s），甲、乙跑步的路程分別為y1（米）、y2（米），y1、y2與x之間的函數圖象如圖所示，根據圖象所提供的信息解答下列問題：

（1）乙比甲晚出發

s，乙提速前的速度是每秒

米，m＝，n＝；

（2）當x為何值時，乙追上了甲？

（3）在乙提速后到甲、乙都停止的這段時間內，當甲、乙之間的距離不超過20米時，請你直接寫出x的取值范圍．

2．某校的甲、乙兩位老師住同一個小區，該小區與學校相距3000米．甲從小區步行去學校，出發10分鐘后乙才出發，乙從小區先騎公共自行車，途經學校又騎行若干米到達還車點，立即步行走回學校，結果甲、乙兩位老師同時到了學校．設甲步行的時間為x（分），圖中線段OA和折線B﹣C﹣A分別表示甲、乙與小區的距離y（米）與甲的步行時間x（分）的函數關系的圖象，根據圖象解答下列問題：

（1）乙出發時甲離開小區的的路程為

米；

（2）求乙騎公共自行車和乙步行的速度分別為每分鐘多少米？

（3）當10≤x≤25時，求乙與小區的距離y與x的函數關系式；

（4）直接寫出乙與小區相距3150米時，乙用時

分鐘．

3．為落實“精準扶貧”精神，市農科院專家指導貧困戶李大爺種植優質百香果喜獲豐收，上市20天全部銷售完，專家對銷售情況進行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪成圖象，日銷售量y（單位：千克）與上市時間x（單位：天）的函數關系如圖所示．

（1）觀察圖示，直接寫出日銷售量的最大值為

．

（2）根據圖示，求李大爺家百香果的日銷售量y與上市時間x的函數解析式，并求出第15天的日銷售量．

4．暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出暑期優惠活動，活動方案如下．

方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優惠；

方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優惠．

設某學生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），按照方案二所需費用為y2（元），其函數圖象如圖所示．

（1）求方案一所需費用y1與x之間的函數關系式；

（2）中學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應選擇哪種方案所需費用更少？說明理由．

5．某水果店以每千克8元的價格購進蘋果若干千克，銷售了部分蘋果后，余下的蘋果每千克降價4元銷售，全部售完．銷售金額y（元）與銷售量x（千克）之間的關系如圖所示，請根據圖象提供的信息完成下列問題：

（1）降價前蘋果的銷售單價是

元/千克；

（2）求降價后銷售金額y（元）與銷售量x（千克）之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）該水果店這次銷售蘋果盈利了多少元？

6．某班為了豐富學生的課外活動，計劃購買一批“名著經典”，河南省某市A、B兩家書店分別推出了自己的優惠方案：

A書店：每套“名著經典”標價120元，若購買超過20套，超過部分按每套標價的八折出售；

B書店：每套“名著經典”標價120元，若購買超過15套，超過部分按每套標價的九折出售，然后每套再優惠10元．

若用字母x表示購買“名著經典”的數量，字母y表示購買的價格，其函數圖象如圖所示．

（1）分別寫出選擇購買A、B書店“名著經典”的總價y與數量x之間的函數關系式；

（2）請求出圖中點M的坐標，并簡要說明點M表示的實際意義；

（3）根據圖象直接寫出選擇哪家書店購買“名著經典”更合算？

7．甲、乙兩車從A城出發沿一條筆直公路勻速行駛至B城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（千米）與甲車行駛的時間t（小時）之間的函數關系如圖所示．

（1）A，B兩城相距

千米，乙車比甲車早到

小時；

（2）甲車出發多長時間與乙車相遇？

（3）若兩車相距不超過30千米時可以通過無線電相互通話，則兩車都在行駛過程中可以通過無線電通話的時間有多長？

8．用充電器給某手機充電時，其屏幕的起始畫面如圖①．

經測試，在用快速充電器和普通充電器對該手機充電時，其電量y（單位：%）與充電時間x（單位：h）的函數圖象分別為圖②中的線段AB、AC．

根據以上信息，回答下列問題：

（1）在目前電量20%的情況下，用充電器給該手機充滿電時，快速充電器比普通充電器少用

小時．

（2）求線段AB、AC對應的函數表達式；

（3）已知該手機正常使用時耗電量為每小時10%，在用快速充電器將其充滿電后，正常使用ah，接著再用普通充電器將其充滿電，其“充電﹣耗電﹣充電”的時間恰好是6h，求a的值．

9．小明騎自行車保持勻速從甲地到乙地，到達乙地后，休息了一段時間，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．設小明出發x（min）后，到達距離甲地y（m）的地方，圖中的折線表示的是y與x之間的函數關系．

（1）甲、乙兩地的距離為，a＝；

（2）求小明從乙地返回甲地過程中，y與x之間的函數關系式；

（3）在小明從甲地出發的同時，小紅從乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不變，到甲地停止．小明從甲地出發多長時間，與小紅相距200米？

10．已知小明家與學校在一條筆直的公路旁，學校離小明家2200m．一天，小明從家出發去上學，勻速走了400m時看到路旁有一輛共享單車，此時用了5min、小明用1min開鎖后騎行6min到達學校，給出的圖象反映了這個過程中小明離家的距離ym與離開家的時間xmin之間的對應關系．

請根據相關信息，解答下列問題：

（Ⅰ）填表：

離開小明家的時間/min

離小明家的距離/m

160

400

（Ⅱ）填空：①小明騎車的速度為

m/min；

②當小明離家的距離為1900m時，他離開家的時間為

min；

（Ⅲ）當0≤x≤12時，直接寫出y關于x的函數解析式．

11．敦煌到格爾木鐵路開通后，l1與l2分別是從敦煌北開往格爾木的動車和從格爾木站開往敦煌北的高鐵到敦煌北的距離與行駛時間的圖象，兩車同時出發，設動車離敦煌北的距離為y1（千米），高鐵離敦煌北的距離為y2（千米），行駛時間為t（小時），y1和y2與t的函數關系如圖所示：

（1）高鐵的速度為

km/h；

（2）動車的速度為

km/h；

（3）動車出發多少小時與高鐵相遇？

（4）兩車出發經過多長時間相距50千米？

12．已知A，B兩地相距200km，甲、乙兩輛貨車裝滿貨物分別從A，B兩地相向而行，圖中l1，l2分別表示甲、乙兩輛貨車離A地的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的函數關系．請你根據以上信息，解答下列問題：

（1）分別求出直線l1，l2所對應的函數關系式；

（2）何時甲、乙貨車行駛的路程之和超過220km？

13．某校學生食堂共有座位3600個，某天午餐時，食堂中學生人數y（人）與時間x（分鐘）變化的函數關系圖象如圖中的折線OAB．

（1）試分別求出當0≤x≤20與20≤x≤38時，y與x的函數關系式；

（2）已知該校學生數有6000人，考慮到安全因素，學校決定對剩余2400名同學延時用餐，即等食堂空閑座位不少于2400個時，再通知剩余2400名同學用餐．請結合圖象分析，這2400名學生至少要延時多少分鐘？

14．如圖1，某物流公司恰好位于連接A，B兩地的一條公路旁的C處．某一天，該公司同時派出甲、乙兩輛貨車以各自的速度勻速行駛．其中，甲車從公司出發直達B地；乙車從公司出發開往A地，并在A地用1h配貨，然后掉頭按原速度開往B地．圖2是甲、乙兩車之間的距離S（km）與他們出發后的時間x（h）之間函數關系的部分圖象．

（1）由圖象可知，甲車速度為

km/h；乙車速度為

km/h；

（2）已知最終甲、乙兩車同時到達B地．

①從乙車掉頭到乙車到達B地的過程中，求S與x的函數表達式以及關于x的取值范圍，并在圖2中補上函數圖象；

②從兩車同時從C地出發到兩車同時到達B地的整個過程中，兩車之間的距離何時為80km？

15．如圖1，小明與媽媽購物結束后，同時從超市（點A）出發，沿AB步行回家（點B），小明先把部分物品送回家，然后立即沿原路返回，幫媽媽拿余下的物品，已知兩人的速度大小均保持不變，設步行x（min）時兩人之間的距離為y（m），從出發到再次相遇，y與x的函數關系如圖2所示，根據圖象，解決下列問題．

（1）圖2中點P的實際意義為；

（2）小明與媽媽的速度分別為多少？

（3）當x為何值時，兩人相距100m？

參考答案

1．解：（1）由圖象可得，乙比甲晚出發10s，乙提速前的速度是每秒40÷（30﹣10）＝2（米），m＝30+[（400﹣40）÷（2×3）]＝90，n＝400÷（360÷90）＝100，故答案為：10，2，90，100；

（2）由題意可得，甲的速度為360÷90＝4（m/s），4x＝40+6（x﹣30），解得x＝70，即當x為70s時，乙追上了甲；

（3）由題意可得，|4x﹣[40+6（x﹣30）]|＝20，解得x＝60或x＝80，即60≤x≤80時，甲、乙之間的距離不超過20米；

當4x＝400﹣20時，解得x＝95，即95≤x≤100時，甲、乙之間的距離不超過20米；

由上可得，當甲、乙之間的距離不超過20米時，x的取值范圍是60≤x≤80或95≤x≤100．

2．解：（1）由題意，得甲步行的速度為：3000÷30＝100（米/分鐘），因為甲從小區步行去學校，出發10分鐘后乙才出發，所以出發時甲離開小區的的路程為：100×10＝1000（米），故答案為：1000；

（2）根據題意，得乙騎公共自行車的速度為：100×18÷（18﹣10）＝225（米/分鐘），225×（25﹣10）＝3375（米），所以點C的坐標為（25，3375），故乙步行的速度為：（3375﹣3000）÷（30﹣25）＝75（米/分鐘）；

（3）當10≤x≤25時，設乙與小區的距離y與x的函數關系式為y＝kx+b，則，解得，所以當10≤x≤25時，乙與小區的距離y與x的函數關系式為y＝225x﹣2250；

（4）乙與小區相距3150米時，乙用時為：3150÷225＝14（分鐘）或15+（3375﹣3150）÷75＝18（分鐘），故答案為：14或18．

3．解：（1）由圖象可得，日銷售量的最大值為960千克，故答案為：960千克；

（2）當0≤x≤12時，設y與x的函數關系式為y＝kx，12k＝960，得k＝80，即當0≤x≤12時，y與x的函數關系式為y＝80x；

當12＜x≤20時，設y與x的函數關系式為y＝ax+b，得，即當12＜x≤20時，y與x的函數關系式為y＝﹣120x+2400，由上可得，y與x的函數關系式為y＝；

當x＝15時，y＝﹣120×15+2400＝600，答：李大爺家百香果的日銷售量y與上市時間x的函數解析式為y＝，第15天的日銷售量是600千克．

4．解：（1）設y1＝k1x+b，根據題意，得：，解得，∴方案一所需費用y1與x之間的函數關系式為y1＝15x+30；

（2）設y2與x之間的函數關系式為y2＝k2x，∵打折前的每次健身費用為15÷0.6＝25（元），∴k2＝25×0.8＝20；

∴y2＝k2x，當健身8次時，選擇方案一所需費用：y1＝15×8+30＝150（元），選擇方案二所需費用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴選擇方案一所需費用更少．

5．解：（1）由圖可得，降價前蘋果的銷售單價是：640÷40＝16（元/千克），故答案為：16；

（2）降價后銷售的蘋果千克數是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10（千克）．

∴銷售的蘋果總數為40+10＝50（千克）．

設降價后銷售金額y（元）與銷售量x（千克）之間的函數解析式是y＝kx+b，∵該函數過點（40，640），（50，760），∴，解得：．

即降價后銷售金額y（元）與銷售量x（千克）之間的函數解析式是y＝12x+160（40＜x≤50）；

（3）該水果店這次銷售蘋果盈利了：760﹣8×50＝360（元）．

答：該水果店這次銷售蘋果盈利了360元．

6．解：（1）由題意可知，當0≤x≤20，當yA＝120x；

當x＞20時，yA＝120×20+（x﹣20）×120×0.8＝96x+480；

∴yA與數量x之間的函數關系式為yA＝，當0≤x≤15時，yB＝120x，當x＞15時，yB＝120×15+（x﹣15）×（120×0.9﹣10）＝98x+330，∴yB與數量x之間的函數關系式為yB＝；

（2）由96x+480＝98x+330，得x＝75，此時y＝96×75+480＝7680，∴點M的坐標為（75，7680），點M表示的實際意義為當買75套“名著經典”，在A、B兩家書店所付的錢數相同，均為7680元；

（3）觀察圖象可知：當0≤x≤15或x＝75時，在A、B兩家書店所付的錢數相同；

當15＜x＜75時，選擇B書店更合算；

當x＞75時，選擇A書店更合算．

7．解：（1）由圖象可得，A，B兩城相距300千米，乙車比甲車早到5﹣4＝1（小時），故答案為：300，1；

（2）由圖象可得，甲車的速度為300÷5＝60（千米/時），乙車的速度為300÷（4﹣1）＝100（千米/時），設甲車出發a小時與乙車相遇，60a＝100（a﹣1），解得a＝2.5，即甲車出發2.5小時與乙車相遇；

（3）設甲車出發b小時時，兩車相距30千米，由題意可得，|60b﹣100（b﹣1）|＝30，解得b＝或b＝，＝（小時），即兩車都在行駛過程中可以通過無線電通話的時間有小時．

8．解：（1）由圖象可知快速充電器給該手機充滿電需2小時，普通充電器給該手機充滿電需6小時，∴用充電器給該手機充滿電時，快速充電器比普通充電器少用4小時；

故答案為：4；

（2）設線段AB的函數表達式為y1＝k1x+b1，將（0，20），（2，100）代入y1＝k1x+b1，∴，∴線段AB的函數表達式為：y＝40x+20；

設線段AC的函數表達式為y2＝k2x+b2，將（0，20），（6，100）代入y2＝k2x+b2，∴，∴，∴線段AC的函數表達式為：y2＝+20；

（3）根據題意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，解得a＝．

答：a的值為．

9．解：（1）由圖象可知，甲、乙兩地的距離為2000m；a＝24﹣10＝14；

故答案為：2000m；14；

（2）設y＝kx+b，把（14，2000）與（24，0）代入得：，解得：k＝﹣200，b＝4800，則y＝﹣200x+4800；

（3）小明騎自行車的速度為：2000÷10＝200（m/min），根據題意，得（200+100）x＝2000﹣200或（200+100）x＝2000+200或200（x﹣4）＝4000﹣200，解得x＝6或x＝或x＝23，答：小明從甲地出發6分鐘或分鐘或23分鐘，與小紅相距200米．

10．解：（Ⅰ）當x＝4時，y＝400÷5×4＝320；

當x＝6時，y＝400；

故答案為：320；400；

（Ⅱ）①小明騎車的速度為：（2200﹣400）÷（12﹣6）＝300（m/min）；

②當小明離家的距離為1900m時，他離開家的時間為：6+（1900﹣400）÷300＝11（min），故答案為：①300；②11；

（Ⅲ）當0≤x≤5時，y＝80x；

當5＜x≤6時，y＝400；

當6＜x≤12時，設y關于x的函數解析式為y＝kx+b，根據題意，得：，解得，∴y＝300x﹣1400．

11．解：（1）由圖象可得，高鐵的速度為300÷1.5＝200（km/h），故答案為：200；

（2）由圖象可得，動車的速度為300÷2＝150（km/h），故答案為：150；

（3）設動車出發a小時與高鐵相遇，200a+150a＝300，解得a＝，即動車出發小時與高鐵相遇；

（4）設兩車出發經過b小時相距50千米，200b+150b＝300﹣50或200b+150b＝300+50，解得b＝或b＝1，即兩車出發經過小時或1小時相距50千米．

12．解：（1）設l1對應的函數關系式為s1＝k1t，∵l1過點（6，200），∴200＝6k，得k1＝，即l1對應的函數關系式為s1＝；

設l2對應的函數關系式為s2＝k2t+200，∵l2過點（5，0），∴0＝5k2+200，得k2＝﹣40，即l2所對應的函數關系式為s2＝﹣40t+200；

（2）由題意可得，解得t＞3，答：3小時后，甲、乙貨車行駛的路程之和超過220km．

13．解：（1）當0≤x≤20時，設y與x的函數關系式為y＝kx，20k＝3600，得k＝180，即當0≤x≤20時，y與x的函數關系式為y＝180x，當20≤x≤38時，設y與x的函數關系式為y＝ax+b，得，即當20≤x≤38時，y與x的函數關系式為y＝﹣200x+7600；

（2）∵空閑座位不少于2400個時，∴有人坐的座位不大于1200個，∵y＝﹣200x+7600，∴當y＝1200時，﹣200x+7600＝1200，解得，x＝32，答：至少要延時32分鐘．

14．解：（1）由圖象可知，甲車速度為：（100﹣60）÷（1.5﹣0.5）＝40÷1＝40（km/h），乙車的速度為：60÷0.5﹣40＝120﹣40＝80（km/h），故答案為：40，80；

（2）①由題意可得，S＝80×0.5+40x﹣80（x﹣1.5）＝﹣40x+160，當80×0.5+40x＝80（x﹣1.5）時，解得x＝4，即S與x的函數表達式是S＝﹣40x+160（1.5≤x≤4），補全的函數圖象如右圖所示；

②當0.5≤x≤1.5時，60+40（x﹣0.5）＝80，解得x＝1，當1.5≤x≤4時，40x+80×0.5﹣80（x﹣1.5）＝80，解得x＝2，即從兩車同時從C地出發到兩車同時到達B地的整個過程中，兩車之間的距離在1小時或2小時時為80km．

15．解：（1）由題意可得，圖2中點P的實際意義為小明從超市出發步行8min時，正好將部分物品送到家，故答案為：小明從超市出發步行8min時，正好將部分物品送到家；

（2）由圖可得，小明的速度為：800÷8＝100（m/min），媽媽的速度為：[800﹣（10﹣8）×100]÷10＝60（m/min），即小明與媽媽的速度分別為100m/min、60m/min；

（3）當0＜x≤8時，100x﹣60x＝100，解得x＝2.5，當8＜x≤10時，100（x﹣8）+60x＝800﹣100，解得x＝，當x＞10時，小明再次到家以前，100（x﹣10）﹣60（x﹣10）＝100，解得x＝12.5，∵小明再次回到家用時為[800﹣60×10]÷100＝2（min），∵10+2＝12＜12.5，∴x＝12.5時不合實際，舍去；

由上可得，當x為2.5或時，兩人相距100m．