雙曲線上的反向等角與“將軍飲馬”

杜橋?qū)嶒炛袑W(xué)

徐君斌

雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點與任意的第三個點，必能構(gòu)成反向等角的關(guān)系.如圖，點與關(guān)于原點對稱.當或時，能形成橫向的反向等角；

當時，則能形成縱向的反向等角.上述兩圖中，均有，即形成反向等角，或稱為“反射”模型，而初中

數(shù)學(xué)中的“反射”模型，最常見于“將軍飲馬”問題.下面就是本人原創(chuàng)的一系列，反向

等角與“將軍飲馬”相結(jié)合的問題.典型例題

如圖，點(，)在雙曲線上，點與關(guān)于原點對稱，直線與雙曲線

交于點，為直線上的一個動點.(1)當時.①；

②的最小值為；

(2)當時，且保證的值最小.請問點是否定點，若是定點，請求出

該點坐標；若不是定點，請說明理由.例題精析

(1)①；

②的最小值為；

解題后的猜想：

(2)參數(shù)法：

設(shè)的解析式為，其中(，)，(，)，得，則，當時，(即為定點).相似法1：，即，則……

相似法2：，即，……

反向等角法2：，三點共線，則點與重合(即為定點).配套練習(xí)

1.如圖，點(，)在雙曲線上，點與關(guān)于原點對稱，直線與雙曲線

交于點，為直線上的一個動點.(1)當時，的最小值為；

(2)當時，且保證的值最小.請問

點是否定點，若是定點，請求出該點坐標；

若不是定點，請說明理由.2.如圖，點(，)在雙曲線上，點與關(guān)于原點對稱，點(，)在軸

上運動(且)，過點作軸的垂線，為直線上的一個動點.(1)當時，的最小值為；

(2)若點從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小.請問點的運

動路徑有何特征？

3.如右圖，點(，)，(，)，(，)在軸上運動(且)，過點

作軸的垂線，為直線上的一個動點.若點從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小，則點的運動路徑大致正確的是（）

4.如圖，點(，)在雙曲線上，點與關(guān)于原點對稱，點(，)在軸

上運動(且)，過點作軸的平行線，為直線上的一個動點.(1)當時，的最小值為；

(2)若點從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小.請問點的運

動路徑有何特征？

5.如圖，點(，)，(，)，(，)在軸上運動(且)，過點作

軸的平行線，為直線上的一個動點，連接.若點從(，)位置出發(fā)

向上平移，且要保證的值最小.(1)點必在某個函數(shù)的圖象上運動，則該函數(shù)的圖象應(yīng)該是（）

A.直線

B.射線

C.一段雙曲線

D.一段拋物線

(2)在點的運動過程中，的面積變化規(guī)律是（）

A.始終不變

B.不斷增大

C.不斷減小

D.先增大后減小