第一篇：初中數學復習

定義：由不在同一直線上的三條線首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形。

三角形的三邊關系：a+b>c;b+c>a;c+a>b

定理 三角形兩邊的和大于第三邊；推論 三角形兩邊的差小于第三邊

三角形：高，中線，角平分線。銳角，直角，鈍角；不等邊，等腰，等邊三角形。

三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°

推論1 直角三角形的兩個銳角互余

推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

全等三角形的對應邊、對應角相等。

邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的 兩個三角形全等

推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

推論2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形；推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

第二篇：初中數學復習反比例函數

第十一章《反比例函數》

1.已知點都在反比例函數的圖像上，則（）

A.B.C.D.2.如圖，四邊形的頂點都在坐標軸上，若與的面積分別為

20和30，若雙曲線恰好經過的中點，則的值為（）

A.3

B.－3

C.－6

D.6

3.如圖，過點分別作軸、軸的平行線，交直線于兩點，若函數的圖像與的邊有公共點，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.4.如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，其橫

坐標分別為2和6,則不等式的解集是

.5.如圖，是反比例函數圖像上兩點，過分別作軸、軸的垂線，垂足分別為交于點.則四邊形的面積隨著的增大而

.(填“減小”“不變”或“增大”)

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于兩點，以為

邊在第一象限作正方形，頂點恰好落在雙曲線上.若將正方形沿軸向左

平移個單位長度后，點恰好落在該雙曲線上，則的值為

.7.如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點,點的橫坐標是

4，點在反比例函數的圖像上.(1)求反比例函數的表達式;

(2)觀察圖像回答:當為何值時，；

(3)求的面積.8.環保局對某企業排污情況進行檢測，結果顯示:所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環保局要求該企業立即整改，在15天以內(含15天)排污達

標.整改過程中，所排污水中硫化物的濃度(mg/L)與時間(天)的變化規律如圖所示，其

中線段表示前3天的變化規律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度與時間成反比例關系.(1)求整改過程中硫化物的濃度與時間的函數表達式;

(2)該企業所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.0

mg/L?為什么?

9.如圖，一次函數的圖像與反比例函數(為常數，且)的圖像交于

兩點.(1)求反比例函數的表達式;

(2)在軸上找一點，使的值最小，求滿足條件的點的坐標;

(3)在(2)的條件下求的面積.【強化闖關】

高頗考點1

反比例函數的圖像與性質

1.已知點在反比例函數的圖像上，則與的大小關系

為

.2.一次函數與反比例函數，其中為常數，它們在同一坐標

系中的圖像可以是（）

3.已知的三個頂點為，將向右平移

個單位長度后，某邊的中點恰好落在反比例函數的圖像上，則的值

為

.4.如圖，在平面直角坐標系中，將坐標原點沿軸向左平移2個單位長度得到點，過點

作軸的平行線交反比例函數上的圖像于點.(1)求反比例函數的表達式;

(2)若是該反比例函數圖像上的兩點，且時，指出點

各位于哪個象限，并簡要說明理由.高頻考點2

反比例函數表達式的確定

5.已知是同一個反比例函數圖像上的兩點，若，且，則這個反比例函數的表達式為

.6.如圖，正方形的邊長為5，點的坐標為(－4,0)，點在軸上，若反比例函數的圖像過點，則該反比例函數的表達式為（）

A.B.C.D.高頻考點3

反比例函數的比例系數的幾何意義

7.如圖，兩點在反比例函數的圖像上，兩點在反比例函數的圖像上，軸于點軸于點，則的值是（）

A.6

B.4

C.3

D.2

8.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖像與邊長是6的正方形的兩邊分別相交于兩點，的面積為10.若動點在軸上，則的最小值是（）

A.B.10

C.D.高頻考點4

反比例函數與其他知識的綜合9.如圖，在平面直角坐標系中，函數與的圖像相交于點，則不等式的解集為（）

A.B.或

C.D.或

10.如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點與坐標原點重合，其邊長為2，點，點分別在軸，軸的正半軸上.函數的圖像與交于點，函數為常數，)的圖像經過點，與交于點，與函數的圖像在第三象服內交于點，連接.(1)求函數的表達式，并直接寫出兩點的坐標;

(2)求的面積.高頻考點5

反比例函數與一次函數的綜合11.如圖，已知點是一次函數圖像上一點，過點作軸的垂線是上一點(在上方)，在的右側以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數的圖像過點，若的面積為6，則的面積是

.12.如圖，在平面直角坐標系中，直線與函數的圖像交于點.過點作平行于軸交軸于點，在軸負半軸上取一點，使，且的面積是6，連接.(1)求的值;

(2)求的面積.參考答案

1.B

2.D

3.A

4.或

5.增大

6.2

7.(1)反比例函數的表達式：;

(2)當或時，；

(3)的面積為15.8.(1)函數表達式：;

(2)該企業所排污水中硫化物的濃度能在15天以內達標.9.(1)反比例函數的表達式：;

(2)

;

(3)的面積為.過中考

5年真題強化闖關

1.2.C

3.0.5或4

4.(1)反比例函數的表達式：;

(2)

各位于第二，第四象限.5.6.A

7.D

8.C

9.B

10.(1)函數的表達式:，;

(2)的面積為.11.3

12.(1)

;

(2)的面積為4.

第三篇：初中數學復習二次函數

1、已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象過點A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函數的解析式；

(2)如圖，點P是二次函數圖象的對稱軸上的一個動點，二次函數的圖象與y軸交于點B，當PB+PC最小時，求點P的坐標；

(3)在第一象限內的拋物線上有一點Q，當△QAB的面積最大時，求點Q的坐標．

2、如圖，直線y＝－33x＋3分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB＝90°,拋物線y＝ax2＋bx＋3經過A、B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M從作MH⊥BC于點H，作軸MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．

3、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是(4,0)，并且0A=OC=4OB,動點P在過A,B，C三點的拋物線上.(1)

求拋物線的解析式;

(2)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標;

(3)

是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?

若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;

若不存在，說明理由

4、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，點C是拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BCM是等腰三角形？若存在請直接寫出點M坐標，若不存在請說明理由．

5、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的一個交點為A（-2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點B．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）經過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標；．

6、如圖，已知拋物線經過點A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

7、如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝4，OC＝3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，點E的坐標分別為（0，1），對稱軸交BE于點F．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點M在對稱軸右側的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

8、如圖，一次函數y=－1/2X+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐

9、如圖1，經過原點O的拋物線y=ax2+bx（a≠0）與x軸交于另一點A（32，0），在第一象限內與直線y=x交于點B（2，t）．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）在第四象限內的拋物線上有一點C，滿足以B，O，C為頂點的三角形的面積為2，求點C的坐標；

（3）如圖2，若點M在這條拋物線上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

10、如圖，在平面直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求以C、E、F為頂點三角形與△COD相似時點P的坐標．

11、如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

第四篇：初中數學復習一次函數單元

一次函數單元復習

題型一、點的坐標

方法：

x軸上的點縱坐標為0，y軸上的點橫坐標為0；

若兩個點關于x軸對稱，則他們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數；

若兩個點關于y軸對稱，則它們的縱坐標相同，橫坐標互為相反數；

若兩個點關于原點對稱，則它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數；

1、若點A（m,n）在第二象限，則點（|m|,-n）在第____象限；

2、若點P（2a-1,2-3b）是第二象限的點，則a,b的范圍為______________________；

3、已知A（4，b），B（a,-2），若A、B關于x軸對稱，則a=_______,b=_________;若A、B關于y軸對稱，則a=_______,b=_______;若若A、B關于原點對稱，則a=_______,b=_________；

4、若點M（1-x,1-y）在第二象限，那么點N（1-x,y-1）關于原點的對稱點在第____象限

題型二、關于點的距離的問題

方法：點到x軸的距離用縱坐標的絕對值表示，點到y軸的距離用橫坐標的絕對值表示；

任意兩點的距離為；

若AB∥x軸，則的距離為；

若AB∥y軸，則的距離為；

點到原點之間的距離為

5.點B（2，-2）到x軸的距離是_________；到y軸的距離是____________；

6.點C（0，-5）到x軸的距離是______；到y軸的距離是______；到原點的距離是______；

7.點D（a,b）到x軸的距離是_____；到y軸的距離是______；到原點的距離是__________；

8.已知點P（3,0），Q(-2,0),則PQ=__________,已知點,則MN=________;,則EF兩點之間的距離是__________;已知點G（2，-3）、H（3,4），則G、H兩點之間的距離是_________；

9.兩點（3，-4）、（5，a）間的距離是2，則a的值為__________；

10.已知點A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C點在x軸上，且∠ACB=90°，則C點坐標為___________

題型三、一次函數與正比例函數的識別

方法：若y=kx+b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數，特別的，當b=0時，一次函數就成為y=kx(k是常數，k≠0)，這時，y叫做x的正比例函數，當k=0時，一次函數就成為若y=b，這時，y叫做常函數?！預與B成正比例óA=kB(k≠0)

11、當k_____________時，是一次函數；

12、當m_____________時，是一次函數；

13、當m_____________時，是一次函數；

14、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則函數解析式為________________；

題型四、函數圖像及其性質

方法：

函數

圖象

性質

經過象限

變化規律

y=kx+b

（k、b為常數，且k≠0）

k＞0

b＞0

b=0

b＜0

k＜0

b＞0

b=0

b＜0

☆一次函數y=kx+b（k≠0）中k、b的意義：

k(稱為斜率)表示直線y=kx+b（k≠0）的傾斜程度；

b（稱為截距）表示直線y=kx+b（k≠0）與y軸交點的，也表示直線在y軸上的。

☆同一平面內，不重合的兩直線

y=k1x+b1（k1≠0）與

y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：

當

時，兩直線平行。當

時，兩直線垂直。

當

時，兩直線相交。當

時，兩直線交于y軸上同一點。

☆特殊直線方程：

X軸

:

直線

Y軸

:直線_____________

與X軸平行的直線

與Y軸平行的直線_____________

一、三象限角平分線二、四象限角平分線_____________

15、對于函數y＝5x+6，y的值隨x值的減小而___________。

16、對于函數,y的值隨x值的________而增大。

17、一次函數

y=(6-3m)x＋(2n－4)不經過第三象限，則m、n的范圍是__________。

18、已知直線y=kx+b經過第一、二、四象限，那么直線y=-bx+k經過第_______象限。

19、無論m為何值，直線y=x+2m與直線y=-x+4的交點不可能在第______象限。

20、已知一次函數

（1）當m取何值時，y隨x的增大而減?。?/p>

（2）當m取何值時，函數的圖象過原點？

題型五、待定系數法求解析式

方法：依據兩個獨立的條件確定k,b的值，即可求解出一次函數y=kx+b（k≠0）的解析式。

☆

已知是直線或一次函數可以設y=kx+b（k≠0）；

☆

若點在直線上，則可以將點的坐標代入解析式構建方程。

21、若函數y=3x+b經過點（2，-6），求函數的解析式。

22、直線y=kx+b的圖像經過A（3，4）和點B（2，7），23、如圖：表示一輛汽車油箱里剩余油量y（升）與行駛時間x（小時）之間的關系．求油箱里所剩油y（升）與行駛時間x（小時）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍。

24、一次函數的圖像與y=2x-5平行且與x軸交于點（-2,0）求解析式。

25、若一次函數y=kx+b自變量x的取值范圍是-2≤x≤6，相應函數值的范圍是-11≤y≤9，求此函數的解析式。

26、已知直線y=kx+b與直線y=

-2x+3關于y軸對稱，求k、b的值。

27、已知直線y=kx+b與直線y=

-2x+3關于x軸對稱，求k、b的值。

28、已知直線y=kx+b與直線y=

-2x+3關于原點對稱，求k、b的值。

題型六、平移

方法：直線y=kx+b與y軸交點為（0，b），直線平移則直線上的點（0，b）也會同樣的平移，平移不改變斜率k，則將平移后的點代入解析式求出b即可。

直線y=kx+b向左平移2向上平移3

<=>

y=k(x+2)+b+3;（“左加右減，上加下減”）。

29.直線y=5x-3向左平移2個單位得到直線。

30.直線y=-x-2向右平移2個單位得到直線_____________

31.直線y=x向右平移2個單位得到直線_____________

32.直線y=向左平移2個單位得到直線_____________

33.直線y=2x+1向上平移4個單位得到直線_____________

34.直線y=-3x+5向下平移6個單位得到直線_____________

35.直線向上平移1個單位，再向右平移1個單位得到直線。

36.直線向下平移2個單位，再向左平移1個單位得到直線________。

37.過點（2，-3）且平行于直線y=2x的直線是____

_____。

38.過點（2，-3）且平行于直線y=-3x+1的直線是___________.39．把函數y=3x+1的圖像向右平移2個單位再向上平移3個單位，可得到的圖像表示的函數是____________；

40．直線m:y=2x+2是直線n向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的，而（2a,7）在直線n上，則a=____________；

題型七、交點問題及直線圍成的面積問題

方法：兩直線交點坐標必滿足兩直線解析式，求交點就是聯立兩直線解析式求方程組的解；

復雜圖形“外補內割”即：往外補成規則圖形，或分割成規則圖形（三角形）；

往往選擇坐標軸上的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高；

41.直線經過（1,2）、（-3,4）兩點，求直線與坐標軸圍成的圖形的面積。

42.已知一個正比例函數與一個一次函數的圖象交于點A（3,4），且OA=OB。

（1）

求兩個函數的解析式；（2）求△AOB的面積；

（2）

在x軸上存在一點p，使△AOP是等腰三角形，（3）

直接寫出所有符合要求的點P的坐標．

43.已知直線m經過兩點（1,6）、（-3，-2），它和x軸、y軸的交點式B、A，直線n過點（2，-2），且與y軸交點的縱坐標是-3，它和x軸、y軸的交點是D、C；

（1）分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；

（2）計算四邊形ABCD的面積；

（3）若直線AB與DC交于點E，求△BCE的面積。

44.如圖，A、B分別是x軸上位于原點左右兩側的點，點P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點C（0,2），直線PB交y軸于點D，△AOP的面積為6；

①求△COP的面積；

②求點A的坐標及p的值；

③若△BOP與△DOP的面積相等，求直線BD的函數解析式。

45、如圖，已知l1：y=2x+m經過點（﹣3，﹣2），它與x軸，y軸分別交于點B、A，直線l2：y=kx+b經過點（2，﹣2）且與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于點D．

（1）求直線l1，l2的解析式；

（2）若直線l1與l2交于點P，求S△ACP：S△ACD的值．

如圖，已知點A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面積。

47.如圖，直線l1的函數表達式為y1=﹣3x+3，且l1與x軸交于點D，直線l2：y2=kx+b經過點A，B，與直線l1交于點C．

（1）求直線l2的函數表達式，并利用圖象回答，何時y1＞y2；

（2）求△ADC的面積；

（3）在直角坐標系中有點E，和A，C，D構成平行四邊形，請直接寫出E點的坐標．

48.如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點．

（1）求直線y=kx+3的解析式；

（2）當點C運動到什么位置時△AOC的面積是6；

（3）過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，是否存在點C使△BCD與△AOB全等？若存在，請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

第五篇：初中數學復習常見輔助線

等腰三角形

1.作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；

2.作一腰上的高；

3過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行邊

2.垂直于下底，延長上底作一腰的平行線

3.平行于兩條斜邊

4.作兩條垂直于下底的垂線

5.延長兩條斜邊做成一個三角形

菱形

1.連接兩對角

2.做高

平行四邊形

1.垂直于平行邊

2.作對角線——把一個平行四邊形分成兩個三角形?3.做高——形內形外都要注意

矩形

1.對角線

2.作垂線

很簡單。無論什么題目，第一位應該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關于平方的考慮勾股，A字形等。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

解幾何題時如何畫輔助線?

①見中點引中位線，見中線延長一倍.在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關問題。

②在比例線段證明中，常作平行線。

作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比聯系起來。

③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有

1、過上底的兩端點向下底作垂線

2、過上底的一個端點作一腰的平行線

3、過上底的一個端點作一對角線的平行線

4、過一腰的中點作另一腰的平行線

5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交

6、作梯形的中位線

7、延長兩腰使之相交

四邊形

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線

一．

添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們?把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規律可循。舉例如下：

（1）平行線是個基本圖形：

當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

（5）三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

（6）全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線

（8）特殊角直角三角形

當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進行證明

二．

基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。

方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

（1）連對角線或平移對角線：

（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形

（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線

（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。

（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線?當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。

作輔助線的方法

一：中點、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。

三：邊邊若相等，旋轉做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。

四:造角、平、相似，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

九：面積找底高，多邊變三邊。

如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。

初中幾何輔助線

一?初中幾何常見輔助線口訣

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線.也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形問題巧轉換，變為△和□。

平移腰，移對角，兩腰延長作出高。

如果出現腰中點，細心連上中位線。

上述方法不奏效，過腰中點全等造。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

二?由角平分線想到的輔助線

口訣：

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

三?由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：

1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，四?由中點想到的輔助線

口訣：

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

（二）、由中點應想到利用三角形的中位線

（三）、由中線應想到延長中線

（四）、直角三角形斜邊中線的性質

（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線

（六）中線延長

口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。

題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

五?全等三角形輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；

（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構造全等三角形；?②利用翻折，構造全等三角形；?③引平行線構造全等三角形；?④作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：

1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．

2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．

3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．

4)過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

5)截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．

特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．

六?梯形的輔助線

口訣：

梯形問題巧轉換，變為△和□。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。

通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：