第六章

將軍飲馬

“將軍飲馬”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考和競賽中經常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。

模型1

定直線與兩定點

模型

作法

結論

當兩定點A、B在直線異側時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。

連接AB交直線于點P，點P即為所求作的點。

PA+

PB的最小。

當兩定點A、B在直線同側時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。

作點B關于直線的對稱點B′，連接AB′交直線于點P，點P即為所求作的點。

PA+PB的最小值為AB′。

當兩定點A、B在直線同側時，在直線上找一點P，使最大。

連接AB并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB。

當兩定點A、B在直線同側時，在直線上找一點P，使最大。

作點B關于直線的對稱點B′，連接AB′并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB′。

當兩定點A、B在直線同側時，在直線上找一點P，使最小。

連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點P，點P即為所求作的點。的最小值為0。

模型實例

例1．如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E

在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，則PD+PE的最小值為。

例2．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD

上的動點，則的最大值是多少？

熱搜精練

1．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC邊的中點，E是AB邊

上一動點，則EC+ED的最小值是。

2．如圖，點C的坐標為（3，），當△ABC的周長最短時，求的值。

3．如圖，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一點，且DM-3，N是AC上的一

動點，求的最小值與最大值。

模型2

角到定點

模型

作法

結論

點P在∠AOB的內部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得△PCD周長最小。

分別作點P關于OA、OB的對稱點P′、P“，連接

P′P“，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求。

△PCD周長最小為P′P“。

點P在∠AOB的內部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得PD+CD最小。

作點P關于OB的對稱點P′，過點P′作P′C⊥OA交OB于點C，點C、D即為所求。

PC+CD的最小值為P′C。

點P、Q在∠AOB的內部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得四邊形PQDC周長最小。

分別作點P、Q關于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求。

PC+CD+DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC的周長的最小值為P′Q′+PQ。

模型實例

例1．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10，在OA上有一

點Q，OB上有一點R。若△PQR周長最小，則最小周長是多少？

熱搜精練

1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當△PAB的周長取最小值時：

（1）找到A、B點，保留作圖痕跡；

（2）求此時∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？

2．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別

找一點M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠AMN+∠ANM的度數(shù)。

3．如圖，在軸上找一點C，在軸上找一點D，使AD+CD+BC最小，并

求直線CD的解析式及點C、D的坐標。

4．如圖∠MON=20°，A、B分別為射線OM、ON上兩定點，且OA=2，OB=4，點P、Q分別為射線OM、ON上兩動點，當P、Q運動時，線段

AQ+PQ+PB的最小值是多少？

模型3

兩定點一定長

模型

作法

結論

如圖，在直線上找M、N兩

點（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。

將點A向右平移個單位到A′，作A′關于直線的對稱點A“，連接A“B交直線于點N，將點N向左平移個單位到M，點M、N即為所求。

AM+MN+NB最小為A“B。

如圖，∥，之間距離為，在，分別找M、N兩點，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。

將點A向下平移個單位到A′，連接A′B交直線于點N，將點N向上平移個單位到M，點M、N即為所求。

AM+MN+NB的最小值為A′B+。

模型實例

例1．在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示，點A在軸正半軸上，點C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點，點E、F在線段

OA上，點E在點F左側，EF=2。當四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標。

熱搜精練

1．在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在，軸、軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點。

（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；

（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

2．村莊A和村莊B位于一條小何的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如何選擇，才使A與B

之間的距離最短？