考點(diǎn)十五　直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線

一、選擇題

1．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是()

A．1

B．－2

C．1或－2

D．－

答案　A

解析　①當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時(shí)兩直線相交，不符合題意．②當(dāng)m≠－1時(shí)，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1，故選A.2．(2020·廣州綜合測(cè)試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A．[－3，＋∞)

B．(－∞，－3]

C．(0，＋∞)

D．(－∞，＋∞)

答案　D

解析　圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心為(－1,2)，半徑為2，由題意可知圓心到直線kx－y＋1＝0的距離d＝≤2，化簡(jiǎn)，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故選D.3．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的一條漸近線上存在一點(diǎn)到x軸的距離與到原點(diǎn)O的距離之比為，則實(shí)數(shù)a的值為()

A．2

B．4

C．6

D．8

答案　B

解析　由題意，得該雙曲線的一條漸近線的斜率為＝，則＝，解得a＝4.故選B.4．(2020·山東泰安四模)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形OBFC的一條對(duì)角線，另一條對(duì)角線BC的長(zhǎng)為2，且點(diǎn)B，C在拋物線E上，則p＝()

A．1

B．

C．2

D．2

答案　B

解析　由題意，得在拋物線上，代入拋物線的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故選B.5．(2020·衡中高三質(zhì)量檢測(cè)一)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()

A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

答案　A

解析　由于橢圓C1與雙曲線C2的焦點(diǎn)重合，則m2－1＝n2＋1，則m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故選A.6．(2020·北京高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線()

A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)O

B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

C．平行于直線OP

D．垂直于直線OP

答案　B

解析　如圖所示，因?yàn)榫€段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F，Q的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知|PQ|＝|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.故選B.7．(多選)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，()

A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為

C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±

x

D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線

答案　ACD

解析　對(duì)于A，若m>n>0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，因?yàn)閙>n>0，所以<，即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時(shí)曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝±

x，故C正確；對(duì)于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東濰坊6月模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點(diǎn)P(1,1)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，則以下說(shuō)法正確的是()

A．|QF1|＋|QP|的最小值為2－1

B．橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2

C．橢圓C的離心率的取值范圍為

D．若＝，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為＋

答案　ACD

解析　因?yàn)閨F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，當(dāng)Q，F(xiàn)2，P三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，故A正確；若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，則b＝1，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1，又＋>1，則點(diǎn)P在橢圓外，故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以橢圓C的離心率的取值范圍為，故C正確；若＝，則F1為線段PQ的中點(diǎn)，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為＋，故D正確．故選ACD.二、填空題

9．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三6月模擬)以拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________．

答案　2＋y2＝1

解析　拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以圓的圓心為，半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是________．

答案(3,0)

解析　在雙曲線C中，a＝，b＝，則c＝＝3，則雙曲線C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為＝.11．(2020·河南開封高三3月模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，且∠F1MF2＝，則△F1MF2的面積為________．

答案　3

解析　由題意，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，則m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中學(xué)4月模擬)如圖，點(diǎn)F是拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線C和圓x2＋(y－1)2＝4的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于y軸，則△AFB周長(zhǎng)的取值范圍是________．

答案(4,6)

解析　∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓x2＋(y－1)2＝4的圓心F(0,1)，半徑R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A＋1，|AB|＝y(tǒng)B－yA，∴△AFB的周長(zhǎng)為|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1

三、解答題

13．過(guò)原點(diǎn)O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)延長(zhǎng)OA到N，使|OA|＝|AN|，求點(diǎn)N的軌跡方程．

解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A(2x,2y)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又點(diǎn)O與A不重合，所以x≠0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)．

(2)設(shè)N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A為線段ON的中點(diǎn)，∴A，又A在圓x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又點(diǎn)O與A不重合，所以x≠0.因此，點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0(x≠0)．

14．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率；

(2)若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解(1)因?yàn)闄E圓C1的右焦點(diǎn)為F(c,0)，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.不妨設(shè)A，C在第一象限，因?yàn)闄E圓C1的方程為＋＝1，所以當(dāng)x＝c時(shí)，有＋＝1?y＝±，因此A，B的縱坐標(biāo)分別為，－.又因?yàn)閽佄锞€C2的方程為y2＝4cx，所以當(dāng)x＝c時(shí)，有y2＝4c·c?y＝±2c，所以C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故橢圓C1：＋＝1，所以C1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的準(zhǔn)線方程為x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.一、選擇題

1．(2020·山東濟(jì)南二模)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為4，則|PF|＝()

A．2

B．3

C．5

D．6

答案　C

解析　將x＝4代入拋物線方程得P(4,4)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故選C.2．(2020·湖北荊州高三階段訓(xùn)練)某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為()

A.r＋R

B．r＋R

C.r＋R

D．r＋R

答案　A

解析　橢圓的離心率e＝∈(0,1)(c為半焦距，a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，設(shè)該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為n，如圖：

則n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A.3．(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A．4

B．5

C．6

D．7

答案　A

解析　設(shè)圓心為C(x，y)，則＝1，化簡(jiǎn)得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào)，故選A.4．(2020·山東濰坊高密二模)已知雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為()

A.B．

C．

D．2

答案　A

解析　雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，tan＝，所以該條漸近線方程為y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.故選A.5．(2020·山西太原五中3月模擬)若過(guò)橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為()

A．8x＋9y－25＝0

B．3x－4y－5＝0

C．4x＋3y－15＝0

D．4x－3y－9＝0

答案　A

解析　設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P為AB的中點(diǎn)，因?yàn)锳，B在橢圓上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＋＝0，因?yàn)閤1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，則所求直線的斜率k＝－，因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)P(2,1)，所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故選A.6．(2020·山東淄博二模)當(dāng)α∈時(shí)，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不可能是()

A．兩條直線

B．圓

C．橢圓

D．雙曲線

答案　B

解析　當(dāng)α∈時(shí)，0

A．C的離心率為2

B．C的漸近線方程為y＝±x

C．動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值

D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，的最大值為

答案　AC

解析　對(duì)于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C正確；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，D錯(cuò)誤．故選AC.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上三點(diǎn)A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則()

A．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1

B.＋＋＝0，則||，||，||成等差數(shù)列

C．若A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，則y1y2＝－1

D．若|AC|＝6，則AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2

答案　ABD

解析　把點(diǎn)B(1,2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A正確；因?yàn)锳(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差數(shù)列，故B正確；因?yàn)锳，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，所以直線斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化簡(jiǎn)得y1y2＝－4，故C不正確；設(shè)AC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，因?yàn)閨AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確．故選ABD.二、填空題

9．(2020·深圳調(diào)研二)已知橢圓C：＋＝1的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足|OF|＝|FP|，則C的方程為________．

答案　＋＝1

解析　根據(jù)對(duì)稱性知P在x軸上，因?yàn)閨OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故橢圓C的方程為＋＝1.10．(2020·浙江高考)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝________，b＝________.答案　　－

解析　由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a0)經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝________.答案　1＋

解析　由題意可知D是拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點(diǎn)，且D，又正方形DEFG的邊長(zhǎng)為b，所以F，因?yàn)镕在拋物線上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因?yàn)?

解析　如圖所示，設(shè)PnFn1，PnFn2與圓Gn分別切于點(diǎn)Bn，Cn.根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又點(diǎn)Pn是雙曲線En右支上一動(dòng)點(diǎn)，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答題

13．(2020·山東濟(jì)南二模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，|AB|＝2，過(guò)橢圓焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的方程；

(2)已知M為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P，直線BM與x軸交于點(diǎn)Q，證明：|AQ|·|BP|為定值．

解(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：A(－4,0)，B(0，－2)，設(shè)M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三點(diǎn)共線，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2|

＝|·|

＝||＝16.所以|AQ|·|BP|為定值16.14．(2020·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知定點(diǎn)F(0,1)，P為x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，線段PF的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P，M在x軸上的射影分別為A，B，PB是∠APF的平分線，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；

(2)設(shè)E上點(diǎn)Q滿足PQ⊥PB，Q在x軸上的射影為C，求|AC|的最小值．

解　解法一：(1)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，因?yàn)镻A∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因?yàn)镻B是∠APF的平分線，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因?yàn)镸為線段PF的中點(diǎn)，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因?yàn)閨PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因?yàn)镻為x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線y＝－1的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(0,1)的拋物線(原點(diǎn)除外)，設(shè)E的方程為x2＝2py(p>0，x≠0)，則＝1，所以p＝2，所以E的方程為x2＝4y(x≠0)．

(2)設(shè)點(diǎn)P，Q，所以點(diǎn)B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因?yàn)閤2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時(shí)，等號(hào)成立，所以|AC|的最小值為8.解法二：(1)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以點(diǎn)B，所以|AB|＝，因?yàn)镻B是∠APF的平分線，所以點(diǎn)B到直線PF的距離d＝|AB|，因?yàn)橹本€PF的方程為y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2＝4y(x≠0)．

(2)設(shè)點(diǎn)P，Q，所以點(diǎn)B，所以kPB＝＝，因?yàn)镻Q⊥PB，所以直線PQ的方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋||

≥2

＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時(shí)，等號(hào)成立，所以|AC|的最小值為8.