微專題13　橢圓、雙曲線、拋物線

命

題

者

說

考

題

統

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T8·直線與拋物線位置關系

2018·全國卷Ⅰ·T11·雙曲線的幾何性質

2018·全國卷Ⅱ·T5·雙曲線的漸近線

2018·全國卷Ⅱ·T12·橢圓的離心率

2018·全國卷Ⅲ·T11·雙曲線的離心率

圓錐曲線的定義、方程與性質是每年高考必考的內容。以選擇、填空題的形式考查，常出現在第4～11或15～16題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質與標準方程，難度中等。

考向一

圓錐曲線的定義與標準方程

【例1】(1)(2018·衡水中學五調)設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________。

(2)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點。設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()

A．－＝1

B．－＝1

C．－＝1

D．－＝1

解析(1)由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|。所以|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F2三點共線時取得等號，又|MF2|＝＝5,2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5。

(2)由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3。因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1。故選C。

答案(1)－5(2)C

(1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意當焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式。

(2)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”。所謂“定型”，就是指確定類型，所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程。

變|式|訓|練

1．已知雙曲線－y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為()

A．1

B．

C．

D．

解析　在雙曲線－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2。不妨設P點在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，所以|PF1|＝＋，|PF2|＝－。又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1。故選A。

答案　A

2．(2018·昆明調研)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為()

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

解析　分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A′，B′，C，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NC|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NC|＝|MN|，所以∠MNC＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°。故選B。

答案　B

考向二

圓錐曲線的幾何性質

微考向1：圓錐曲線的簡單幾何性質

【例2】(1)已知雙曲線C1：－y2＝1與雙曲線C2：－y2＝－1，給出下列說法，其中錯誤的是()

A．它們的焦距相等

B．它們的焦點在同一個圓上

C．它們的漸近線方程相同

D．它們的離心率相等

(2)(2018·福州聯考)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b，則該雙曲線的漸近線方程為()

A．y＝±x

B．y＝±x

C．y＝±x

D．y＝±2x

解析(1)由題意知C2：y2－＝1，則兩雙曲線的焦距相等且2c＝2，焦點都在圓x2＋y2＝3上，其實為圓與坐標軸的交點。漸近線方程都為y＝±x。由于實軸長度不同，故離心率e＝不同。故選D。

(2)由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形，因為該四邊形的周長為8b，所以菱形的邊長為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為＝，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以＝，解得a＝b，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x。故選A。

答案(1)D(2)A

(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系

在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝

；在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝。

(2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x。注意離心率e與漸近線的斜率的關系。

變|式|訓|練

1．已知雙曲線－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準線交于A，B兩點，O為坐標原點。若△OAB的面積為1，則p的值為()

A．1

B．

C．2

D．4

解析　雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±2x，拋物線的準線方程為x＝－，故A，B兩點的坐標為，|AB|＝2p，所以S△OAB＝·2p·＝＝1，因為p>0，解得p＝，故選B。

答案　B

2．(2018·武漢調研)已知雙曲線C：－＝1(m>0，n>0)的離心率與橢圓＋＝1的離心率互為倒數，則雙曲線C的漸近線方程為()

A．4x±3y＝0

B．3x±4y＝0

C．4x±3y＝0或3x±4y＝0

D．4x±5y＝0或5x±4y＝0

解析　由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，所以橢圓的離心率e＝＝，所以雙曲線的離心率為＝，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故選A。

答案　A

微考向2：離心率問題

【例3】(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()

A．

B．

C．

D．

解析

由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|＝2c，因為△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因為|OF2|＝c，所以點P坐標為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點P(2c，c)。因為點P在過A且斜率為的直線上，所以＝，解得＝，所以e＝，故選D。

答案　D

橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法

求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值。

變|式|訓|練

1．(2018·廣州調研)在直角坐標系xOy中，設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，P為雙曲線C的右支上一點，且△OPF為正三角形，則雙曲線C的離心率為()

A．

B．

C．1＋

D．2＋

解析　解法一：設F′為雙曲線的左焦點，|F′F|＝2c，依題意可得|PO|＝|PF|＝c，連接PF′，由雙曲線的定義可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化簡可得c2－2ac－2a2＝0，即2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合題意，舍去)，故雙曲線的離心率e＝1＋。故選C。

解法二：依題意|OP|＝|OF′|＝c＝|PF|，又△OPF為正三角形，所以∠F′OP＝120°，所以|PF′|＝c，又|PF′|－|PF|＝2a＝c－c，所以e＝＝＝＋1。故選C。

答案　C

2．(2018·豫南九校聯考)已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為()

A．

B．

C．

D．

解析　解法一：不妨設橢圓方程為＋＝1(a>1)，與直線l的方程聯立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值為。故選A。

解法二：若求橢圓C的離心率的最大值，因為c＝1，e＝，所以只需求a的最小值。因為P在橢圓上，依定義得|PA|＋|PB|＝2a，而A(－1,0)關于直線l：y＝x＋3的對稱點為A′(－3,2)，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝2，即2a≥2，所以a≥，所以emax＝＝。故選A。

答案　A

考向三

直線與圓錐曲線的位置關系

【例4】(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點。若∠AMB＝90°，則k＝________。

解析　解法一：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝，取AB中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′。因為∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)。因為M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，因為M(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，即k＝2。

解法二：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1。由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2。

答案　2

將直線方程代入圓錐曲線方程得到一元二次方程，利用根與系數的關系可以解決有關相交問題、弦長問題、中點問題等，有時也可采用設而不求的方法即點差法。

變|式|訓|練

1．(2018·濰坊統考)已知拋物線y2＝4x與直線2x－y－3＝0相交于A，B兩點，O為坐標原點，設OA，OB的斜率分別為k1，k2，則＋的值為()

A．－

B．－

C．

D．

解析　設A，B，易知y1y2≠0，則k1＝，k2＝，所以＋＝，將x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝。故選D。

答案　D

2．(2018·常德一模)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5，則直線l的斜率為()

A．±

B．±1

C．±

D．±

解析　由題意知直線l的斜率存在且不為零，設直線l的方程為y＝k(x－1)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)。由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝。又因為弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5，所以＋＝＋1＝5，所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，所以k＝±。故選C。

答案　C

1．(考向一)(2018·惠州調研)設F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析

如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x軸，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故選D。

答案　D

2．(考向一)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為()

A．－＝1

B．－＝1

C．－＝1

D．－＝1

解析　由y＝x，可得＝。①由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程為－＝1。故選B。

答案　B

3．(考向二)(2018·貴陽摸底)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線交C于P，Q兩點，若cos∠PAQ＝，則橢圓C的離心率e為()

A．

B．

C．

D．

解析　解法一：根據題意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2?8(1－e)2＝2?(1－e)2＝。又橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，所以1－e＝，e＝。故選A。

解法二：設∠PAF＝α，則cos∠PAQ＝cos2α＝，cos2α＝＝，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝，所以a(a＋c)＝2b2＝2(a2－c2)，2c2＋ac－a2＝0,2e2＋e－1＝0，解得e＝。故選A。

答案　A

4．(考向二)(2018·洛陽統考)過橢圓＋＝1上一點H作圓x2＋y2＝2的兩條切線，A，B為切點。過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于P，Q兩點，則△POQ(O為坐標原點)的面積的最小值為()

A．

B．

C．1

D．

解析　依題意，設H(3cosθ，2sinθ)(sinθcosθ≠0)，由題意知H，A，O，B四點共圓，故以OH為直徑的圓的方程為x(x－3cosθ)＋y(y－2sinθ)＝0，即x2＋y2－3xcosθ－2ysinθ＝0，所以兩圓方程相減得公共弦AB所在直線的方程為3xcosθ＋2ysinθ－2＝0，所以P，Q，所以S△POQ＝××＝×≥×1＝。故選B。

答案　B

5．(考向三)(2018·鄭州質檢)設拋物線y2＝4x的焦點為F，過點M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C點，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝()

A．

B．

C．

D．

解析　設點A在第一象限，點B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋。由y2＝4x得p＝2，因為|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，則y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，由根與系數的關系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝。過點A作AA′垂直于準線x＝－1，垂足為A′，過點B作BB′垂直于準線x＝－1，垂足為B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝。又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝。故選D。

答案　D