微專題11　排列組合與二項式定理、概率

命

題

者

說

考

題

統

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T10·幾何概型

2018·全國卷Ⅰ·T15·排列與組合2018·全國卷Ⅱ·T8·古典概型

2018·全國卷Ⅲ·T5·二項式定理

2018·天津高考·T10·二項式定理

1.排列、組合在高中數學中占有特殊的位置，是高考的必考內容，很少單獨命題，主要考查利用排列、組合知識計算古典概型。

2.二項式定理仍以求二項展開式的特定項、特定項的系數及二項式系數為主，題目難度一般。

3.概率、隨機變量及其分布列是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇或填空題和一道解答題。

考向一

排列與組合【例1】(1)(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種。(用數字填寫答案)

(2)(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數。(用數字作答)

解析(1)解法一：根據題意，沒有女生入選有C＝4(種)選法，從6名學生中任意選3人有C＝20(種)選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有20－4＝16(種)。

解法二：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)。根據分類加法計數原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。

(2)若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為CCA；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為CCCA。綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為CCA＋CCCA＝720＋540＝1

260。

答案(1)16(2)1

260

求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘。具體地說，解排列、組合的應用題，通常有以下途徑：

(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。

(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。

(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數。

解答計數問題多利用分類整合思想。分類應在同一標準下進行，確保“不漏”“不重”。

變|式|訓|練

1．(2018·沈陽教學質量監測)若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有()

A．4種

B．8種

C．12種

D．24種

解析　將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8(種)站法。故選B。

答案　B

2．(2018·開封高三定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學生甲要想報考某高校的法學專業，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為()

A．6

B．12

C．18

D．19

解析　解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)。故選D。

解法二：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學生甲的選考方法共有C－1＝19(種)。故選D。

答案　D

考向二

二項式定理

【例2】(1)(2018·全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數為()

A．10

B．20

C．40

D．80

(2)5的展開式中整理后的常數項為________。

解析(1)由題可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r。令10－3r＝4，則r＝2，所以C·2r＝C×22＝40。故選C。

(2)不妨設x>0，5＝10的通項公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5。所以常數項＝C＝252。

答案(1)C(2)252

與二項式定理有關的題型及解法

題型

解法

求特定項或其系數

常采用二項展開式的通項分析求解

系數的和或差

常用賦值法

近似值問題

利用展開式截取部分項求解

整除(或余數)問題

利用展開式求解

變|式|訓|練

1．已知(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數為()

A．60

B．180

C．520

D．540

解析(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數為32C·C·2·C＝540。故選D。

答案　D

2．(ax＋)5的展開式中x3項的系數為20，則實數a＝________。

解析　展開式的通項為Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx，令5－＝3得r＝4，所以a·C＝20，解得a＝4。

答案　4

考向三

古典概型與幾何概型

【例3】(1)(2018·全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23。在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是()

A．

B．

C．

D．

(2)正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內隨機取點M，則使△MAB的面積大于的概率為________。

解析(1)不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數，共有C＝45(種)取法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種取法，故概率為＝。故選C。

(2)如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點O作OG⊥AB，垂足為G，則OG的長為中心O到AB邊的距離。易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，所以△AOB是等邊三角形，所以OA＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin60°＝1×＝，即對角線CF上的點到AB的距離都為。設△MAB中AB邊上的高為h，則由S△MAB＝×1×h>，解得h>。所以要使△MAB的面積大于，只需滿足h>，即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得，△MAB的面積大于的概率P＝＝。

答案(1)C(2)

(1)解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數原理與排列、組合的相關知識。

(2)當構成試驗的結果的區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解。

變|式|訓|練

1．(2018·四川綿陽二診)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，將第一次向上的點數記為m，第二次向上的點數記為n，曲線C：＋＝1，則曲線C的焦點在x軸上且離心率e≤的概率等于()

A．

B．

C．

D．

解析　因為離心率e≤，所以

≤，解得≥，由列舉法，得當m＝6時，n＝5,4,3；當m＝5時，n＝4,3；當m＝4時，n＝3,2；當m＝3時，n＝2；當m＝2時，n＝1，共9種情況，故其概率為＝。故選D。

答案　D

2．(2018·衡水金卷模擬)我國數學家鄒元治利用如圖證明了勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，現已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方形中的概率是()

A．

B．

C．

D．

解析　a＝3，b＝4，由題意得c＝5，因為大正方形的邊長為a＋b＝3＋4＝7，小正方形的邊長為c＝5，則大正方形的面積為49，小正方形的面積為25，所以滿足題意的概率值為1－＝。故選B。

答案　B

考向四

條件概率與相互獨立事件的概率

【例4】(1)如圖，ABCD是以O為圓心、半徑為2的圓的內接正方形，EFGH是正方形ABCD的內接正方形，且E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點。將一枚針隨機擲到圓O內，用M表示事件“針落在正方形ABCD內”，N表示事件“針落在正方形EFGH內”，則P(N|M)等于()

A．

B．

C．

D．

(2)如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線。若該地各路段發生堵車與否是相互獨立的，且各路段發生堵車事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個路段，路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為)。若使途中發生堵車事件的概率較小，則由A到B應選擇的路線是________。

解析(1)由題意得，圓O的半徑為2，所以內接正方形ABCD的邊長為AB＝2，則正方形ABCD的面積為S1＝(2)2＝8，因為E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF＝×2R＝2，所以正方形EFGH的面積為S2＝22＝4，所以P(N|M)＝＝。故選C。

(2)路線A→C→D→B途中發生堵車事件的概率P1＝1－××＝，路線A→E→F→B途中發生堵車事件的概率P2＝1－××＝。因為<，所以應選擇路線A→E→F→B。

答案(1)C(2)A→E→F→B

求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點

(1)求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，分析復雜事件能轉化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發生的積事件，然后用概率公式求解。

(2)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發生與不發生兩種情況；②在每次試驗中，事件發生的概率相同。

變|式|訓|練

1．(2018·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()

A．

B．

C．

D．

解析　根據題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是×＋×＝。故選D。

答案　D

2．(2018·廈門二模)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()

A．

B．

C．

D．

解析　袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，所以3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝C2＝。故選D。

答案　D

3．(2018·南昌模擬)口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為________。

解析　口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，設事件A表示“第一次取得紅球”，事件B表示“第二次取得白球”，則P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，所以第一次取得紅球后，第二次取得白球的概率為P(B|A)＝＝＝。

答案

1．(考向一)(2018·南昌調研)某校畢業典禮上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起。則該校畢業典禮節目演出順序的編排方案共有()

A．120種

B．156種

C．188種

D．240種

解析　解法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)。故選A。

解法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)。所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)。故選A。

答案　A

2．(考向二)(2018·湖南湘東聯考)若(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數為20，則a＝________。

解析(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數為C·22＋a·C·23＝20，所以40＋80a＝20，解得a＝－。

答案　－

3．(考向三)(2018·漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次。甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當然不會是最差的”。從上述回答分析，丙是第一名的概率是()

A．

B．

C．

D．

解析　因為甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響，所以這三個人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故選B。

答案　B

4．(考向三)已知定義在區間[－3,3]上的單調函數f(x)滿足：對任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，則在[－3,3]上隨機取一個實數x，使得f(x)的值不小于4的概率為()

A．

B．

C．

D．

解析　由題意設對任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a為常數，且a∈[－3,3]，則f(a)＝6，f(a)－2a＝a，所以6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率為＝。故選C。

答案　C

5．(考向四)(2018·珠海一模)夏秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產卵繁殖，產后待幼魚長大到15厘米左右，又攜帶它們旅居外海。一個環保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為0.15，雌性個體長成熟又能成功溯流產卵繁殖的概率為0.05，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產卵繁殖的概率為()

A．0.05

B．0.007

C．

D．

解析　設事件A為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件B為該雌性個體成功溯流產卵繁殖，由題意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝。故選C。

答案　C

6．(考向四)(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立。設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)＝2.4，P(X＝4)

A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3

解析　依題意X～B(10，p)，因為DX＝np(1－p)，所以p＝0.4或p＝0.6，因為P(X＝4)＝Cp4(1－p)6

0.5。所以p＝0.6，故選B。

答案　B