微專題19　快速求解選擇題、填空題的方法

選擇題、填空題在高考中屬于保分題目，只有“保住基本分，才能得高分”。在平時的訓練中，針對選擇題、填空題，要做到兩個方面：

一是練準度：高考中遺憾的不是難題做不出來，而是簡單題和中檔題做錯，會做的題目沒做對。

二是練速度：提高選擇題、填空題的答題速度，能為攻克后面的解答題贏得充足的時間

一、直接法

直接法就是直接從題設條件出發，利用已知條件、相關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，得出正確結論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法。

【例1】(1)(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和。若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝()

A．－12

B．－10

C．10

D．12

(2)(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()

A．y＝±x

B．y＝±x

C．y＝±x

D．y＝±x

【解析】(1)解法一：設等差數列{an}的公差為d，根據題中的條件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10。故選B。

解法二：設等差數列{an}的公差為d，因為3S3＝S2＋S4，所以3S3＝S3－a3＋S3＋a4，所以S3＝a4－a3，所以3a1＋d＝d，因為a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故選B。

(2)因為e＝＝，所以＝＝e2－1＝3－1＝2，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x。故選A。

【答案】(1)B(2)A

直接法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解選擇題、填空題的關鍵。

【變式訓練1】(1)已知復數z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數單位)，＝－＋i，則a＝()

A．2

B．－2

C．±2

D．－

(2)已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是________。

解析(1)由題意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，所以所以a＝－2，故選B。

(2)圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心為(－1,2)。因為圓關于直線2ax－by＋2＝0對稱，則該直線經過圓心，即－2a－2b＋2＝0，a＋b＝1，則ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，即ab的取值范圍是。

答案(1)B(2)

二、特例法

從題干出發，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數或特殊圖形或特殊位置，進行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數等。

【例2】(1)如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數列，公差d≠0，那么()

A．a1a8>a4a5

B．a1a8

C．a1＋a8>a4＋a5

D．a1a8＝a4a5

(2)設四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4。若點M，N滿足＝3，＝2，則·＝()

A．20

B．15

C．9

D．6

【解析】(1)取特殊數列1,2,3,4,5,6,7,8，顯然只有1×8<4×5成立。

(2)(特例法)若四邊形ABCD為矩形，建系如圖。由＝3，＝2，知M(6,3)，N(4,4)，所以＝(6,3)，＝(2，－1)，·＝6×2＋3×(－1)＝9。

【答案】(1)B(2)C

特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：

第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；

第二，若在取定的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解。

【變式訓練2】(1)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1的側棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為()

A．3∶1

B．2∶1

C．4∶1

D.∶1

(2)設橢圓C：＋＝1的長軸的兩端點分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點，則直線PM與PN的斜率之積等于________。

解析(1)將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC－AA1B＝VA1－ABC＝VABC－A1B1C1，故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為2∶1。故選B。

(2)取特殊點，設P為橢圓的短軸的一個端點(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝·＝－。

答案(1)B(2)－

三、數形結合法

數形結合法是指在處理數學問題時，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機地結合起來進行思考，促使抽象思維和形象思維巧妙結合，通過對規范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，從而使問題得到簡捷的解決方法。

【例3】(1)已知函數f

(x)＝若方程f

(x)－kx＋k＝0有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍是()

A．

B.C．[－1，＋∞)

D.(2)設A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，則使A?B成立的實數m的取值范圍是________。

【解析】(1)方程f

(x)－kx＋k＝0有兩個不同的實數根，即函數y＝f

(x)和y＝k(x－1)的圖象有兩個不同的交點，而f

(x)＝＝

畫出f

(x)圖象如圖，由于y＝k(x－1)過定點(1,0)，故要使兩函數y＝f

(x)和y＝k(x－1)的圖象有兩個不同的交點，則由圖象可知－≤k<0，故選B。

(2)集合A是一個圓x2＋(y－1)2＝1上的點的集合，集合B是一個不等式x＋y＋m≥0表示的是平面區域內的點的集合，要使A?B，則應使圓被平面區域所包含(如圖)，如直線x＋y＋m＝0應與圓相切或相離(在圓的左下方)，而當直線與圓相切時有＝1，又m>0，所以m＝－1，又因為直線x＋y＋m＝0必過點(0，－m)，此時，－m≤－(－1)，即m≥－1，有A?B滿足題意。

【答案】(1)B(2)[－1，＋∞)

平面幾何圖形、Venn圖、函數的圖象等，都是常用的圖形。利用函數圖象或某些數學知識的幾何意義，將數的問題(如解方程、解不等式、判斷單調性、求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用圖象的直觀性，再輔以簡單計算，確定正確答案，從而有效地降低這類客觀題的錯誤率

【變式訓練3】(1)已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為()

A．60°　　　B．90°

C．120°

D．150°

(2)若函數f

(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________。

解析(1)如圖，因為〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90°，即a與c的夾角為90°。故選B。

(2)由f

(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b。在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示，則當0

(x)＝|2x－2|－b有兩個零點。

答案(1)B(2)(0,2)

四、構造法

用構造法解客觀題的關鍵是利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數學問題得到解決，它需要對基礎知識和基本方法進行積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯想，橫向類比，從曾經遇到的類似問題中尋找靈感，構造出相應的具體的數學模型，使問題簡化。

【例4】(1)已知函數f

(x)(x∈R)滿足f

(1)＝1，且f

(x)的導數f

′(x)<，則不等式f

(x2)<＋的解集為________。

(2)如圖，已知球O的面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________。

【解析】(1)由題意構造函數F

(x)＝f

(x)－x，所以F

′(x)＝f

′(x)－，因為f

′(x)<，所以F

′(x)＝f

′(x)－<0，即函數F

(x)在R上單調遞減。因為f

(x2)<＋，所以f

(x2)－

(1)－，所以F

(x2)

(1)，而函數F

(x)在R上單調遞減，所以x2>1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)。

(2)如圖，以DA，AB，BC為棱構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π。

【答案】(1)(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)π

構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數、不等式或數列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題。本例(2)巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決。

【變式訓練4】(1)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，則a，b，c的大小關系為()

A．a>b>c

B．a>c>b

C．b>c>a

D．c>a>b

(2)已知三個互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n?γ，且直線m，n不重合，由下列三個條件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β。

能推出m∥n的條件是________(填序號)。

解析(1)令f

(x)＝lnx－x，則f

′(x)＝。當0

′(x)>0，即函數f

(x)在(0,1)上是增函數。又因為1>>>>0，所以a>b>c。故選A。

(2)構建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優先判斷條件②：取平面α為平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，則直線m為直線AD。因m∥γ，故可取平面γ為平面A′B′C′D′，因為n?γ且n∥β，故可取直線n為直線A′B′，則直線AD與直線A′B′為異面直線，故m與n不平行；對于①：α，β取②中平面，取平面γ為平面BCC′B′，因為n?γ，n?β，所以n為直線BC，故可推得m∥n；對于③：α，β取②中平面，取γ為平面AB′C′D，因為n∥β，n?γ，γ∩β＝m，所以m∥n，③成立。

答案(1)A(2)①或③

五、排除法

排除法也叫篩選法、淘汰法。它是解選擇題的一種常用方法，可以根據選項的特征，通過靈活賦值，利用一些特殊的對象，如數、點等代入題干進行驗證，根據選擇題的特征——只有一個選項符合題目要求這一信息，可以間接得到符合題目要求的選項。

【例5】　函數f

(x)＝cosx·log2|x|的圖象大致為()

【解析】　解法一：函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f

＝coslog2＝－cos，f

＝cos·log2＝－cos，所以f

＝f，排除A、D；又f

＝－cos<0，故排除C。綜上，選B。

解法二：可用奇偶性得f

(x)為偶函數，其圖象關于y軸對稱，排除A、D。f

＝－cos<0，排除C。故選B。

【答案】　B

排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題。當題目中的條件多于一個時，先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據另一些條件在縮小選項的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案。

【變式訓練5】(1)設x∈R，定義符號函數sgnx＝則()

A．|x|＝x|sgnx|

B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnx

D．|x|＝xsgnx

(2)已知函數f

(x)＝則函數y＝f

(1－x)的大致圖象是()

解析(1)當x<0時，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C，故選D。

(2)當x＝0時，y＝f

(1)＝3，即y＝f

(1－x)的圖象過點(0,3)，排除A；當x＝－2時，y＝f

(3)＝－1，即y＝f

(1－x)的圖象過點(－2，－1)，排除B；當x<0時，1－x>1，f

(1－x)＝log

(1－x)<0，排除C。故選D。

答案(1)D(2)D