微專題17　命題有章——數學文化與高考命題

教育部考試中心函件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求“增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用。比如，在數學中增加數學文化的內容”。因此，我們特別策劃了此專題，將數學文化與數學知識相結合，選取典型樣題深度解讀

考|題|統|計

卷別

題型

題號

考查角度

2018年全國卷Ⅰ

選擇題

10題

幾何概型

2018年全國卷Ⅱ

選擇題

8題

古典概型

2018年全國卷Ⅲ

選擇題

3題

三視圖

2018年北京高考

選擇題

4題

等比數列

預測1：古代數學書籍《九章算術》《數書九章》等書為背景的數學文化類題目。

預測2：與高等數學相銜接的題目，如幾類特殊的函數：取整函數、狄利克雷函數、符號函數。

預測3：以課本閱讀和課后習題為背景的數學文化類題目：輾轉相除法、更相減損術、秦九韶算法、進位制、割圓術、阿氏圓等。

預測4：以中外一些經典的數學問題為背景的題目，如：回文數、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經典數學小問題。

考向一

數列中的數學文化

【例1】(2018·安徽模擬)中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬。”馬主曰：“我馬食半牛。”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半。”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()

A．a，b，c成公比為2的等比數列，且a＝

B．a，b，c成公比為2的等比數列，且c＝

C．a，b，c成公比為的等比數列，且a＝

D．a，b，c成公比為的等比數列，且c＝

【解析】　由題意可得，a，b，c成公比為的等比數列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。

【答案】　D

本題以《九章算術》為背景考查我國優秀的傳統文化，意在考查考生的閱讀理解能力和解決實際問題的能力。

【美題嘗試1】(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()

A．1盞

B．3盞

C．5盞

D．9盞

解析　由題意知由上到下各層燈數組成一個等比數列，該數列前7項和S7＝381，公比q＝2。設塔頂層的燈的盞數為a1，則有S7＝＝381，解得a1＝3。故選B。

答案　B

考向二

三角函數中的數學文化

【例2】　在古希臘數學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積。若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積S＝，這里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，則當△ABC的面積最大時，sinA＝________。

【解析】　設AC＝x，AB＝2x，則由海倫公式得

S＝

＝

＝

≤·＝12，當且僅當x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4時不等式取等號。所以△ABC的面積的最大值為12，此時由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。

【答案】

本題具有一定的綜合性，考查的知識點較多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函數的基本關系。求解本題的關鍵是在“設元”的基礎上，根據所給三角形面積的計算公式寫出△ABC的面積的表達式，并利用基本不等式確定最值。

【美題嘗試2】(2017·浙江高考)我國古代數學家劉徽創立的“割圓術”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度。祖沖之繼承并發展了“割圓術”，將π的值精確到小數點后七位，其結果領先世界一千多年。“割圓術”的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積S6，S6＝________。

解析　如圖，連接正六邊形的對角線，將正六邊形分成六個邊長為1的正三角形，從而S6＝6××12×sin60°＝。

答案

考向三

算法中的數學文化

【例3】(2018·貴陽監測)我國明朝數學家程大位著的《算法統宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，則輸出的n的值為()

A．20

B．25

C．30

D．35

【解析】　解法一：執行程序框圖，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循環。所以輸出的n＝25。

解法二：設大和尚有x個，小和尚有y個，則解得根據程序框圖可知，n的值即大和尚的人數，所以n＝25。

【答案】　B

《算法統宗》是我國古代一部數學巨著，本題通過“僧人分饅頭”體現了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增強了我們的民族自豪感。

【美題嘗試3】　秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州安岳(現四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為4,3，則輸出v的值為()

A．20　　　B．61

C．183

D．548

解析　初始值n，x的值分別為4,3，程序運行過程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循環，輸出v的值為183。故選C。

答案　C

考向四

立體幾何中的數學文化

【例4】(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來。構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭。若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

【解析】　由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結合榫頭的位置知選A。

【答案】　A

本題通過三視圖考查了古代建筑的木件結構。如果考生對木件結構沒有一定的認識，缺乏常見的生活常識，想象不出木件結構的構成就很難答對本題，這也體現了高考對考生社會實踐能力不斷提高要求的趨勢。

【美題嘗試4】　祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個等高的幾何體，若在等高處截面的面積恒相等，則體積相等。已知某不規則幾何體與如下三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規則幾何體的體積為()

A．4－

B．8－

C．8－π

D．8－2π

解析　由祖暅原理可知，該不規則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等。根據題設所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱，正方體的體積為23＝8，半圓柱的體積為×(π×12)×2＝π，因此該不規則幾何體的體積為8－π，故選C。

答案　C

考向五

概率中的數學文化

【例5】(2018·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC。△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()

A．p1＝p2

B．p1＝p3

C．p2＝p3

D．p1＝p2＋p3

【解析】　解法一：設直角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2，則區域Ⅰ的面積為S1＝bc，區域Ⅱ的面積S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識知p1＝p2，故選A。

解法二：不妨設△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區域Ⅰ的面積為S1＝×2×2＝2，區域Ⅱ的面積S2＝π×12－＝2，區域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2。根據幾何概型的概率計算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A。

【答案】　A

從中國古代文學作品中選取素材考查數學問題，豐富了數學文化題的取材途徑。試題插圖的創新是本題的一個亮點，其一，增強了數學問題的生活化，使數學的應用更貼近考生的生活實際；其二，有利于考生分析問題和解決問題，這對穩定考生在考試中的情緒和心態起到了較好的效果；其三，探索了數學試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數學問題直觀化的范例。

【美題嘗試5】　一種電子計時器顯示時間的方式如圖所示，每一個數字都在固定的全等矩形“顯示池”中顯示，且每個數字都由若干個全等的深色區域“”組成。已知在一個顯示數字8的顯示池中隨機取一點A，點A落在深色區域內的概率為，若在一個顯示數字0的顯示池中隨機取一點B，則點B落在深色區域內的概率為()

A．

B．

C．

D．

解析　由于數字“8”是由7個深色區域組成，由P(A)＝，得整個矩形顯示池的面積為14個深色區域的面積，而數字“0”是由6個深色區域組成，則P(B)＝＝。故選C。

答案　C

考向六

現代科技中的數學文化

【例6】(2017·全國卷Ⅰ)幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是

20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪。那么該款軟件的激活碼是()

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】　分段考慮數列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…該數列的前1＋2＋…＋k＝項的和為S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，則有k≥14，此時k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比數列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，滿足題意的最小的s＝5，此時k＝25－3＝29，對應最小的滿足條件的N為＋5＝440。

【答案】　A

本題以大學生創業為背景設計一道具有時代意義的試題，將歸納推理和演繹推理有機地結合在了一起，考查了學生分析問題、解決問題的能力。

【美題嘗試6】　根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080。則下列各數中與最接近的是()

(參考數據：lg3≈0.48)

A．1033

B．1053

C．1073

D．1093

解析　因為＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故選D。

答案　D