微專題12　直線與圓

命

題

者

說

考

題

統

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅲ·T6·直線與圓位置關系的應用

2018·北京高考·T7·點到直線距離的最值

2017·全國卷Ⅲ·T10·直線與圓的位置關系

2016·全國卷Ⅱ·T4·圓的方程、點到直線的距離

1.圓的方程近兩年為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現。

2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現在圓錐曲線的綜合問題上。

考向一

直線的方程

【例1】(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()

A．1或3

B．1或5

C．3或5

D．1或2

(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1

A．

B．

C．

D．

解析(1)當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件，經檢驗知滿足這個條件。故選C。

(2)由兩點間距離公式可得|AC|＝，直線AC的方程為x－3y＋2＝0，所以點B到直線AC的距離d＝，從而△ABC的面積S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1

答案(1)C(2)B

直線方程應用的兩個關注點

(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。

(2)求直線方程時應根據條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。

變|式|訓|練

1．(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1關于l2對稱的直線與l3垂直，則實數m的值是()

A．－8

B．－

C．8

D．

解析　易知直線l1：4x＋y＝1關于直線l2：x－y＝0對稱的直線方程為x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由題意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故選D。

答案　D

2．(2018·河南名校聯考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為()

A．

B．

C．1

D．

解析　此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x＋4y＝6與l2：3x＋4y＝1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|＝，因為l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故選C。

答案　C

考向二

圓的方程

【例2】(1)(2018·珠海聯考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為()

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標準方程是________。

解析(1)由題意設圓心坐標為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。

(2)解法一：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8。

解法二：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標準方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。

答案(1)B(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

求圓的方程的兩種方法

(1)幾何法：通過已知條件，利用相應的幾何知識求圓的圓心，半徑。

(2)代數法：用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數。

變|式|訓|練

1．拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________。

解析　由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4。

答案(x－1)2＋y2＝4

2．在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________。

解析　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤

≤，當且僅當m＝1時取等號，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。

解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點M(2，－1)，如圖，設C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2。

答案(x－1)2＋y2＝2

考向三

直線與圓的位置關系

微考向1：直線與圓的相交弦

【例3】(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________。

(2)設直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△AOB為等邊三角形，則實數a的值為()

A．±

B．±

C．±3

D．±9

解析(1)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1。

(2)由題意知：圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±。故選B。

答案(1)y＝2x＋1或y＝x＋1(2)B

(1)直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路

研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。

(2)弦長的求解方法

①根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2＝d2＋(其中l為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。

②根據公式：l＝|x1－x2|求解(其中l為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)，或根據l＝|y1－y2|求解。

③求出交點坐標，用兩點間距離公式求解。

變|式|訓|練

(2018·合肥一模)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為()

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

解析　當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋3，因為圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因為d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。

答案　B

微考向2：直線與圓位置關系的應用

【例4】(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()

A．[2,6]

B．[4,8]

C．[，3]

D．[2，3]

(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當θ，m變化時，d的最大值為()

A．1

B．2

C．3

D．4

解析(1)因為直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值范圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。

(2)解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。

解法二：由題意可得

d＝＝

＝

＝，因為－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當m＝0時，d取最大值3。故選C。

答案(1)A(2)C

利用圓的圖形特征求解有關距離的最值問題往往比一些常規的方法簡單、便捷。

變|式|訓|練

1．(2018·太原五中模擬)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為()

A．15

B．9

C．1

D．－

解析　由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因為2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當k＝－3時，ab取得最大值9。故選B。

答案　B

2．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。

解析　設圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。

答案

1．(考向一)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l1⊥l2”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

解析　直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故選A。

答案　A

2．(考向二)(2018·安徽“江南十?！甭摽?已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。

解析　因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2

3．(考向三)(2018·鄭州外國語中學調研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為()

A．2

B．4

C．8

D．9

解析　由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等號成立，所以＋的最小值為9。故選D。

答案　D

4．(考向三)(2018·南寧、柳州聯考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于______。

解析

令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。

答案　－

5．(考向三)某學校有2

500名學生，其中高一1

000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。

解析　由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因為直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝