第7講 數列
命
題
者
說
考
題
統
計
考
情
點
擊
2018·全國卷Ⅰ·T4·等差數列的通項公式、前n項和公式
2018·全國卷Ⅰ·T14·數列的通項與前n項和的關系
2018·浙江高考·T10·數列的綜合應用
2018·北京高考·T4·數學文化、等比數列的通項公式
2017·全國卷Ⅰ·T4·等差數列的通項公式、前n項和公式
1.等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現。
2.數列求和及數列與函數、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力。
考向一
等差數列、等比數列基本量運算
【例1】(1)(2018·北京高考)設{an}是等差數列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為________。
(2)(2017·江蘇高考)等比數列{an}的各項均為實數，其前n項和為Sn。已知S3＝，S6＝，則a8＝________。
解析(1)設等差數列的公差為d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，所以d＝6，所以an＝3＋(n－1)·6＝6n－3。
(2)設等比數列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得則a8＝a1q7＝×27＝32。
答案(1)an＝6n－3(2)32
在進行等差(比)數列項與和的運算時，若條件和結論間的聯系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量。
變|式|訓|練
1．(2018·沈陽質量監測)在等差數列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是()
A．55
B．11
C．50
D．60
解析 解法一：設等差數列{an}的公差為d，由題意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，則S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故選A。
解法二：設等差數列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55。故選A。
答案 A
2．(2018·湖南湘東五校聯考)已知在等比數列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是()
A．1
B．－
C．1或－
D．－1或
解析 當q＝1時，an＝7，S3＝21，符合題意；當q≠1時，得q＝－。綜上，q的值是1或－。故選C。
答案 C
考向二
等差數列、等比數列的性質應用
【例2】(1)(2018·湖北荊州一模)在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是()
A．15
B．30
C．31
D．64
(2)等差數列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為()
A．6
B．7
C．8
D．9
(3)(2018·洛陽聯考)在等比數列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為()
A．－
B．－
C．
D．－或
解析(1)因為a3＋a4＋a5＝3，所以3a4＝3，a4＝1，又2a8＝a4＋a12，所以a12＝2a8－a4＝2×8－1＝15。故選A。
(2)由d>0可得等差數列{an}是遞增數列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，所以a6＋a11＝a8＋a9＝0，又d>0，所以a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值。故選C。
(3)設等比數列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－。故選B。
答案(1)A(2)C(3)B
等差、等比數列性質的應用策略
(1)項數是關鍵：解題時特別關注條件中項的下標即項數的關系，尋找項與項之間、多項之間的關系選擇恰當的性質解題。
(2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1＋an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。
(3)構造不等式函數：可以構造不等式函數利用函數性質求范圍或最值。
變|式|訓|練
1．(2018·太原一模)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a3＋a10＝9，則S9＝()
A．3
B．9
C．18
D．27
解析 設等差數列{an}的公差為d，因為a2＋a3＋a10＝9，所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，所以a5＝3，所以S9＝＝9a5＝27。故選D。
答案 D
2．(2018·西安八校聯考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數n的值為()
A．10
B．11
C．12
D．13
解析 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7
答案 C
3．已知－2，a1，a2，－8成等差數列，－2，b1，b2，b3，－8成等比數列，則等于()
A．
B．
C．－
D．或－
解析 因為－2，a1，a2，－8成等差數列，所以a2－a1＝d＝＝－2，因為－2，b1，b2，b3，－8成等比數列，所以b2＝－＝－4，所以＝＝。故選B。
答案 B
考向三
數列的遞推關系
【例3】(1)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)，則數列{an}的通項公式an＝()
A．(n＋1)3
B．(2n＋1)2
C．8n2
D．(2n＋1)2－1
(2)在數列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數列{an}的通項公式an＝________。
解析(1)當n＝1時，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8。當n≥2時，4(Sn＋1)＝，則4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，整理得，＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3。檢驗知，a1＝8也符合，所以an＝(n＋1)3。故選A。
(2)根據a1＋＋＋…＋＝an，①
有a1＋＋＋…＋＝an－1(n≥2)，②
①－②得，＝an－an－1，即n2an－1＝(n2－1)an(n≥2)，所以＝＝(n≥2)，所以n≥2時，an＝a1×××…×＝1×××…×＝＝＝，檢驗a1＝1也符合，所以an＝。
答案(1)A(2)
由an與Sn的關系求通項公式的注意事項
(1)應重視分類整合思想的應用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2。
(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1也適合，則需統一表示(“合寫”)。
(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1不適合，則數列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an＝
變|式|訓|練
1．(2018·廣東五校聯考)數列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋＝()
A．
B．
C．
D．
解析 由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝。故選A。
答案 A
2．設數列{an}的前n項和為Sn。若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則S5＝________。
解析 因為an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以數列是公比為3的等比數列，所以＝3。又S2＝4，所以S1＝1，所以S5＋＝×34＝×34＝，所以S5＝121。
答案 121
考向四
數列與函數不等式的綜合問題
【例4】(2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)。若a1>1，則()
A．a1 B．a1>a3，a2 C．a1 D．a1>a3，a2>a4 解析 解法一：因為函數y＝lnx在點(1,0)處的切線方程為y＝x－1，所以lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)>a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－1 解法二：因為ex≥x＋1，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，所以ea1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3≥a1＋a2＋a3＋a4＋1，則a4≤－1，又a1>1，所以等比數列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－1 答案 B 本題利用lnx≤x－1或ex≥x＋1放縮后，得出－1 變|式|訓|練 (2018·洛陽聯考)已知數列{an}滿足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an 解析 由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)＝λn(n＋2)得－＝λ，所以數列的奇數項與偶數項均是以λ為公差的等差數列，因為a1＝1，a2＝2，所以當n為奇數時，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n。當n為偶數時，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n。當n為奇數時，由an 答案 [0，＋∞) 1．(考向一)(2018·山東淄博一模)已知{an}是等比數列，若a1＝1，a6＝8a3，數列的前n項和為Tn，則T5＝() A． B．31 C． D．7 解析 設等比數列{an}的公比為q，因為a1＝1，a6＝8a3，所以q3＝8，解得q＝2。所以an＝2n－1。所以＝n－1。所以數列是首項為1，公比為的等比數列。則T5＝＝。故選A。 答案 A 2．(考向二)(2018·湖南衡陽一模)在等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則a2＋a14的值為() A．6 B．12 C．24 D．48 解析 因為在等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，所以由等差數列的性質可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a2＋a14＝2a8＝48。故選D。 答案 D 3．(考向二)(2018·廣東汕頭模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為() A．4 B．5 C．6 D．4或5 解析 由{an}為等差數列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值時的n為5。故選B。 答案 B 4．(考向三)(2018·合肥質檢)已知數列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝() A．22 018－1 B．32 018－6 C．2 018－ D．2 018－ 解析 因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3。當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，則a2 018＝22 018－1。故選A。 答案 A 5．(考向四)(2018·江蘇高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}。將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數列{an}。記Sn為數列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________。 解析 所有的正奇數和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構成{an}，在數列{an}中，25前面有16個正奇數，即a21＝25，a38＝26。當n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；…；當n＝26時，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當n＝27時，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意。故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27。 答案 27
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