第一篇：1排列組合與二項式定理教案(多份)

2013屆高三第一輪復習講義——復旦實驗中學高三數學備課組

§16.1 計數原理1—乘法原理（分步計數原理）

一、問題引入

常見船上懸掛有紅、藍、白三種顏色的旗幟，代表了不同的信號、不同的含義，隨著排列順序不同、懸掛數目不同，能表達多少種不同的信號？

路上有10盞路燈，為了節能，關閉其中三盞燈有多少種關法？如果三盞燈還要不相鄰，又有多少種關法？

這便是我們這一章節主要要學習、討論的內容，先從最基本的計數原理講起．

二、教學過程

1、（1）參照《課本》P49圖，討論從A到B的不同走法情況．

答：

（2）從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地．一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分為n個步驟，而完成其中每一步驟又有若干種不同方法，則做成這件事情的方法總數，可以用分步計數原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，??，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1m2m3?mn種不同的方法． ②注意：m1、m2、mn對應的都是完成每一相應步驟的方法數，必須所有步驟都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結果？（3）4名同學爭奪跑步項目的前三名，有多少種可能？（4）4名同學中選3人分別報名跑步、跳高、跳遠三個項目，有多少種報名方法？（5）3封信投4個郵箱，幾種投法？（6）四種型號電視機搞促銷，3個顧客各選購一臺，幾種選法？（7）四臺不同型號電視機搞促銷呢？（8）5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座

例

2、（1）?a1?a2?a3??b1?b2?b3?b4??c1?c2?展開后共有多少項？（2）540的不同正約數有多少個？

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例

3、已知x???1,?2,3,4,5?，y???3,4,5,6?，則M?x,y?共可以表示多少個不同的點？多少個第2象限點？多少個不在直線y?x上的點？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能組成多少四位數？

（2）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復數字的四位數？（3）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復數字的四位奇數？（4）1、2、3、4、5能組成多少無重復數字的三位偶數？

例

5、（1）已知A??0,1,2,3?，若a,b,c?A，且a,b,c互不相等，則可表示的所有一元二次方程ax2?bx?c?0有多少？

（2）若a??1,2,3,5?，b??1,2,3,5?，則能表示多少條不同的直線y?bx？ a22（3）若a??3,4,5?，b??0,2,7,8?，r??1,8,9?，可表示多少不同的圓?x?a???y?b??r2？

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§16.2 排列

一、教學過程

1、排列：一般地，從n個元素中取出m（m?n）個元素，按照一定次序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 特點：元素順序不同，對應了不同的情況． 如果問題3中改為選取2人充當主持而不分正副，則還是排列問題嗎？

2、如何判斷兩個排列是否相同？ 答：判斷元素是否相同；排列順序是否相同． 例

1、判斷下列問題是否排列問題：

（1）從1，2，3，5中任取兩個不同的數相減（除），可得多少種不同的結果？（2）從1，2，3，5中任取兩個不同的數相加（乘），可得多少種不同的結果？（3）有12個車站，共需要準備多少種普通票？（4）在（3）中共有多少種不同的票價？

（5）某班有50名同學，假期約定每2人通一次信，共需寫信多少封？（6）把（5）中寫信問題改為會面，共需通電話多少次？（7）把（5）中通信換成互贈照片，共需準備照片多少張？

3、排列數 從n個不同元素中取出m（m?n）個元素的所有排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Pnm表示． 注：關于排列數的計算，Pn1表示n個元素里選取1個元素排成一列的情況，即n個元素選1個元素的選法，所以Pn1?n，至于其他情況，有如下分析．

4、排列數公式：一般地，排列數Pnm可以按從n個不同元素中取出m個元素依次填入m個空位來考慮． Pnm?n?n?1??n?2??????n??m?1? ?????????????共m項

例

2、用排列數表示?n?m??n?m?1???n?m?15?，其中m,n?N，m?n．

5、全排列

①n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列． 這時，排列數公式中的m?n，即有 ?

Pnn?n??n?1???n?2????3?2?1 這就是說，n個不同元素全部取出的排列數，等于正整數1到n的連乘積． ②正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示． 規定，0!?1． ③Pnn?n!為了保證全排列m?n時也能成立，我們規定0!?1．

例3、1!?2!?3!?4!?5!???100!的個位數字是多少？

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例

4、解方程：（1）?n?3?!1m?1 ?

（2）P23n?10Pn

3（3）5P9m?3mP10?n?2?!3

nn?1n例

5、求證：Pm?nPm?Pm?1．

例

6、從0，1，2，3，4中選取3個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中比200大的三位數有幾個？

例7、15支球隊進行雙循環賽，即每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1場，共進行多少場比賽？（如改為單循環賽呢？）

例8、10個人排隊，按以下要求有多少種不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成兩排，每排5人；（3）甲不在隊首；

（4）甲乙丙必須在奇數位上；

（5）甲在奇數位上，乙丙在偶數位上；（6）甲乙丙三人必須在一起；

（7）甲乙丙三人必須在一起，丙又在甲乙中間；（8）甲乙丙三人中任意兩人不排在一起；（9）甲始終坐在乙的右側．

例9、5男5女共10個同學排成一行，（1）女生都排在一起，有幾種排法？（2）女生與男生相間，有幾種排法？

（3）任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法？（4）5名男生不排在一起，有幾種排法？

（5）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右側，有幾種排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7組成無重復數字的七位數中，若2，4，6次序一定，有多少種不同的七位數？如改為1，3，5，7次序一定呢？2013屆高三第一輪復習講義——復旦實驗中學高三數學備課組

§16.3 計數原理2—加法原理（分類計數原理）

一、教學過程

1、加法原理

如果完成一件事有n類的辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，??，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1?m2?m3???mn種不同的方法．

2、注意

①各類方法間相互獨立，通過每一類方法都能完成整件事； ②分類時，確定一個分類的標準，不重復不遺漏； ③分類時要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性；分步時要注意“步”與“步”之間的連續性． 例

1、給定數字0，1，2，3，4，5，每個數字最多用一次，（1）可以組成多少個自然數？（2）可以組成多少個奇數？（3）可以組成多少個四位偶數？

（4）可以組成多少個比2300大的四位數？（5）可以組成多少個比240135大的數？（6）可以組成多少個能被5整除的四位數？（7）可以組成多少個能被25整除的四位數？

例

2、在3000和8000之間，有多少個無重復數字的奇數？

例

3、某天課程表排入數學、物理、化學、語文、英語、體育各一節，（1）體育不排第一節，也不排第三節，幾種不同排法？（2）第一節不排體育，第三節不排數學，有多少種不同的排法？

二、課后練習

1、將a、b、c、d、e、f六個不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有幾種排法？

2、從9本不同的書中取出6本排在書架上，滿足下列條件之一，分別有幾種方法？（1）某一本書必須排在左端或右端；（2）某一本書不能排在兩端；

（3）某兩本書，A不能排在左端，B不能排在右端．2013屆高三第一輪復習講義——復旦實驗中學高三數學備課組

§16.4 組合

一、教學過程

1、組合：一般地，從n個不同元素中取出m（m?n）個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的次序有關，而組合與元素的次序無關．

2、如何判斷兩個組合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、組合數 從n個不同元素中取出m（m?n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Cnm表示． 1注：關于排列數的計算，Cn表示n個元素里選取1個元素的情況，即n個元素選1個元素的選法，所100n?Pn1?n；Cn?1；Cn以Cn表示n個元素里一個都不選的選法數，顯然Cn表示n個元素里選取n個元素的選法數，顯然，Cnn?1，至于其他情況，有如下分析． Pnmn?n?1??n?2???n!?n??m?1????

4、組合數公式：C?m?，其中m?n． m!m!?n?m?!Pmmn例

1、解方程：C?C?C．

m?1m?1m例

2、證明：Cn?Cn?1．

n?

15、組合的應用題

例

3、現從5位男同學、4位女同學中選出5名代表，（1）男甲、女A都必須當選，有幾種選法？

（2）男甲必須當選，女A不能當選，有幾種選法？（3）至少有一個女同學當選，有幾種選法？（4）最多有三個女同學當選，有幾種選法？

例

4、要從12人中選出5人去參加一項活動，按下列要求，有多少種不同選法？（1）A、B、C三人必須入選；（2）A、B、C三人不能入選；（3）A、B、C三人只有一人入選；（4）A、B、C三人至少一人入選；（5）A、B、C三人至多二人入選．2n2n?12n?2 2013屆高三第一輪復習講義——復旦實驗中學高三數學備課組

例

5、某醫院有內科醫生12名，外科醫生8名，現選派5名參加賑災醫療隊，（1）某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？

（3）甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生，有幾種選法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷．現從這11人中選出4人排版、4人印刷，有幾種不同的選法？

（2）由13個人組成的課外活動小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，3個人既會唱歌，也會跳舞，若從中選出4個會跳舞和4個會唱歌的人去演節目，共有多少種不同的選法？

6、組合數的性質 ①性質

1、Cnm?Cnn?m mm?1m?1?Cn?Cn②性質

2、Cn?1 例

7、計算：C?C

例

8、解方程：

x?12x?283?C17?Cn（1）C17

（2）Cn

?n3n12n?3?C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nn??n?n；3?Cn?1

例

10、計算：

***6?C4?C5?C6?C7?C8?C9?C6?C7?C8?C9?C7?C8?C9（1）C4；（2）C5；（3）C52?C6

13m?12?C32?C4???Cm?Cm例

11、證明：C2?1?1 1315810 2013屆高三第一輪復習講義——復旦實驗中學高三數學備課組

§16.5 二項式定理

一、教學過程

1、二項式定理： ①一般地，對于任意正整數n有 ?a?b?n0n01n?112n?22n?rrn?rn?11n?1n0n?Cnab?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab?Cnab ②右邊的多項式叫做?a?b?的二項展開式，它一共有n?1項，其中各項的系數Cnr（r?0，1，2，?）叫做二項式系數，式中的Cnran?rbr叫做二項展開式的通項，它是二項展開式中的第r?1項，用Tr?1表示，即 rn?rrTr?1?Cnab． n例

1、求?1??的二項展開式．

x???1?4

1??例

2、求?2x??的二項展開式．

x??6

12例

3、（1）求?x?a?的二項展開式的中間項；

1??（2）求?x??的展開式中第四項的系數及二項式系數；

x??91??（3）求?2x??的展開式中x3的系數及二項式系數；

x??91??2（4）求?x??的二項展開式中x的系數．

x??8

?x3?例

4、（1）求???的二項展開式中的常數項；

x??31??（2）求?3x??的二項展開式中的常數項；

x??2??（3）求?x?4?的二項展開式中的有理項；

x??1?5?（4）若?x2??的二項展開式中x3的系數為，求a的值．

ax?2?691516

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1??例

5、已知?x?4?的二項展開式中，前三項系數成等差數列，求二項展開式中的所有有理項．

2x??n

1??例

6、（1）設?x2??的展開式中含有非零常數項，求正整數n的最小值；

2x??n（2）若?x?2??xn?xn?1???ax3?bx2?cx?2n（n?N，n?3）且a:b?3:2，求n．

例

7、計算：

1n?12n?2rn?rn（1）2n?Cn； 2?Cn2?????1?Cn2?????1?Cn01n?1n?Cn???Cn?Cn（2）Cn；

12n?1n?4Cn???2n?1Cn?2nCn（3）1?2Cn；

例

8、求5051被7除所得的余數．

二、二項式系數性質： nrn1、觀察二項式系數表，探究規律 ①每一行中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等； ②每一行兩端都是1，其余位置的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和； ③每一行中，二項式系數先是逐漸增大至最大，然后逐漸減小，越靠近中間越大，左右對稱．

2、一般地，二項式系數有如下兩個性質： ①性質

1、?a?b?的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等； 這一性質可直接由公式Cnm?Cnn?m得到． ②性質

2、?a?b?的二項展開式中，所有二項式系數的和等于2n． 1n?1n將a?b?1分別代入?a?b?和它的二項展開式中，即有2n?Cn0?Cn???Cn?Cn． nnn

例

8、求證：在?a?b?的二項展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和．

n 9

第二篇：高中數學 排列組合與二項式定理

排列組合與二項式定理

1．（西城區）在(2x2?

A．－5 1x)的展開式常數項是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（東城區）8名運動員參加男子100米的決賽.已知運動場有從內到外編號依次為1，2，3，4，5，6，7，8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續

數字（如：4，5，6），則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有（）A．360種 B．4320種 C．720種 D．2160種

3．（海淀區）從3名男生和3名女生中，選出2名女生1名男生分別擔任語文、數學、英語的課代表，則選派方案共有（）

A．18種B．36種C．54種D．72種

4．(崇文區)某運動隊從5名男運動員和6名女運動員中選出兩名男運動員和兩名女運動員舉行乒乓球混合雙打比賽，對陣雙方各有一名男運動員和一名女運動員，則不同的選法共有

A．50種B．150種C．300種 D．600種（）

5．（豐臺區）把編號為1、2、3、4的4位運動員排在編號為1、2、3、4的4條跑道中，要求有且只有兩位運動員的編號與其所在跑道的編號相同，共有不同的排法種數是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝陽區）從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區3所學校支教，每校1人.要求這3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A．210種

x

6B．186種 7C．180種 D．90種 7．（東城區）已知(x?)展開式的第4項的值等于5，則x= 48．（海淀區）在(ax?1)的展開式中x的系數是240，則正實數a9．（宣武區）設二項式(33x?1

x)的展開式的各項系數的和為P，所有二項式系數的和為S，n

若P+S=272，則n=,其展開式中的常數項為.210．(崇文區)若(x?1

x2)展開式中只有第四項的系數最大，則，展開式中的第五n

項為

11．（豐臺區）.在(x?1

a)的展開式中，含x與x項的系數相等，則a的值是 754

12．（朝陽區）若(1－ax)6的展開式中x4的系數是240，則實數a的值是

13．（宣武區）現有A、B、C、D、E、F、共6位同學站成一排照像，要求同學A、B相鄰，C、D不相鄰，這樣的排隊照像方式有

DBCCBC7.?1715x411.53;12.±213.144

第三篇：高中數學排列組合與二項式定理知識點總結

排列組合與二項式定理知識點

１．計數原理知識點

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分類)２． 排列（有序）與組合（無序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k!

３．排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排

排列組合題的主要解題方法：優先法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.捆綁法（集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮）

插空法（解決相間問題）間接法和去雜法等等

在求解排列與組合應用問題時，應注意：

(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；

(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；

(4)列出式子計算和作答.經常運用的數學思想是：

①分類討論思想；②轉化思想；③對稱思想.４．二項式定理知識點：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性質和主要結論：對稱性Cnm=Cnn－m

最大二項式系數在中間。（要注意n為奇數還是偶數，答案是中間一項還是中間兩項）所有二項式系數的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇數項二項式系數的和＝偶數項而是系數的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通項為第r+1項： Tr+1= Cnran－rbr 作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。

5.二項式定理的應用：解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結合放縮法證明與指數有關的不等式。

6.注意二項式系數與項的系數（字母項的系數，指定項的系數等，指運算結果的系數）的區別，在求某幾項的系數的和時注意賦值法的應用。

第四篇：高中數學：排列組合與二項式定理測驗試題(A)

《數學》第十章—排列組合與二項式定理測驗試題(A卷)

班別：學號：姓名：成績：

一、填空題：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要區別在于：加法原理針對的是問題；乘法原理針

對的是問題。

2.一般地，從n個不同元素中，任取m(m?n)個元素，按照排成一列，叫

做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

3.排列與組合的區別在于問題是否與順序有關，與順序的屬于組合問題。4.從n個不同元素中取出m(m?n)個元素的所有組合的，叫做從n個不同元素

中取出m個元素的組合數。

5.乘積(a1?a2?a3)(b1?b2)(c1?c2?c3?c4)展開后共有

6.從3個不同元素a、b、c中任取2個元素的所有組合是。7.A

1?A2?A3?A4?。C1?C2?C3?C4

444

?

8.已知9!=362880，則A7

9?9.已知A32320?6840，則C19?C19?

10.(n?m?1)!?(n?m)!

11.(x?3x)1

2的展開式共有13項，其中，中間的項是第項。

12.(x

3?2x)7的展開式的第6項的二項式系數是6項的系數是

二、選擇題：(每題3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n?

1An?1nn?1

n?1C．An?1D．nAn?12.已知Cn?1

n?1?21，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同學聽同時進行的4個外語講座，每名同學可自由選擇聽其中1個講座，不同選

法的種數是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展開式中，C0210131111?C11???C11()C11?C11???C11

。A．>B．=C．>D．無法確定5.凸8邊形的對角線的條數是()。A．8?72B．8?7C．8?5

2D．8?5

三、計算題：(每題8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5這5個數字，可以組成多少個沒有重復數字的四位數，其中有多

少個是偶數？

(2)壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種不同的幣值？

2.從1、3、5、7、9中任取三個數，從2、4、6、8中任取兩個數，組成沒有重復數字的五位數，一共可組成多少個？

3.幼師某實習小組7名同學站成一排照相，(1)如果甲、乙兩人必須站在兩端，有多少種

照相方法？(2)如果7名同學站兩排，其中3個女同學站在前排，4個男同學站在后排，四、證明題：(15分)m?1m?1mm?11．求證：Cn?Cn?2Cn?Cn?2(7分)有多少種照相方法？

4.區教育廳幼兒園某興趣班有10名小朋友,其中正副班長各1名，現選4名小朋友參加

某項活動：(1)如果正副班長必須在內，有多少種選法？

(2)如果正副班長至少有一人參加，有多少種選法？

5.在(1?1

2x)10展開式中，求含x-5的項的系數。

2.用二項式定理證明9910-1能被100整除。(8分)

第五篇：2011屆高三數學精品復習之排列組合及二項式定理

2011屆高三數學精品復習之排列組合及二項式定理

1.熟悉排列數、組合數的計算公式；了解排列數、組合數的一些性質：①(n?1)!?(n?1)n!，由此可得：nn!?(n?1)!?n!，n11，為相應的數列求和創造了條件； ??(n?1)!n!(n?1)!

mn?mrrrrr?1mm?1m②Cn；③Cn?Cn?Cn?1?Cn?1，由此得：Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1；

34?35?4?320?19???3?????=___________ 11?21?2?31?2?3??18

2?13?24?35?420?19n(n?1)??????解析：原式=；記an?，數列{an}的前1?21?21?21?21?22[舉例] 1?19項和即為所求。記數列{an}的前n項和為Sn；該數列的求和辦法有很多種，但都比較煩瑣，這里介紹用組合數性質求解：注意到an?n(n?1)2=Cn?1，2[來源學*科*網Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2?C3?C4???C20?C4???C20?C3?C4???C20

3?=C21=1330；

[鞏固1]設x?N且x?10，則(20?x)(21?x)?(29?x)等于（）

1020?x910（A）A20?x（B）A29?x（C）A29?x（D）A29?x*

[鞏固2] 已知(1?

則n=____ x)n的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列，2．解排列組合應用題首先要明確需要完成的事件是什么；其次要辨析完成該事件的過程：分類相加（每一類方法都能獨立地完成這件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各個步驟都完成了，才能完成事件）；較為復雜的事件往往既要分類，又要分步（每一類辦法又都需分步實施）；分類討論是研究排列組合問題的重要思想方法之一，分類時要選定討論對象、確保不重不漏。

[舉例] 設集合I={1,2,3,4,5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中的最大數，則不同的選擇方法共有：（）種

A．50種B．49種C．48種D．47種

解析：本題要完成的事件是：構造集合I的兩個非空子集；要求：B中最小的數大于A中的最大數；顯然B中的最小數不可能是1，以下分類：① B中的最小數是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，所有可能的情況有：0123=8種，此時A只有{1}這1種；集合A、B都確定了，才算完成事件，C3?C3?C3?C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小數是3，B中可以有{3，4，5}中的1個元素、0122個元素或3個元素，所有可能的情況有：C2=4種，此時A中可以有{1，2}中?C2?C

212的有1個元素或2個元素，有C2=3種，∴完成事件有4×3=12種方法；③ B中的最?C2

小數是4，B中可以有{4，5}中的1個元素或2個元素，所有可能的情況有2種，此時A中

123可以有{1，2，3}中的有1個元素、2個元素或3個元素，有C3=7種，∴完成事?C3?C

3件有2×7=14種方法；④ B中的最小數是5，只有{5}這1種，此時A中可以有{1，2，3，12344}中的有1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，有C4=15種，∴完?C4?C4?C

4成事件有1×15=15種方法；故完成事件的方法總數為：8+12+14+15=49，選B。

[鞏固]從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任選2個元素排成一排(字母和數字均不能重復)．每排中字母O，Q和數字0至多只能出現一個的不同排法種數是_________．(用數字作答)．

3．對“按某種要求將n個元素排到m個位置”的問題，首先要確定研究的“抓手”：抓住元素還是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）優先的原則進行。

[舉例] 從5位同學中選派4位同學在星期四到星期日參加公益活動，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，則不同的選派方法共有種。

解析：本題要完成的事件是：從5個不同的元素中選出4個元素，并按要求排在四個不同的位置。本題不宜抓住元素研究，因為每一個元素都不一定被選到，而每一個位置上都一定要有一個元素，故應該抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，優先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，優先）或除甲乙之外的一個同學，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[來源學&科&網Z&X&X&K]

3種，②不安排乙：可以安排其他三位同學，星期日可以安排甲或另外兩個同學，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 種，故不同的選派方法共有：A4+C3C3A3=78種。

3[鞏固]四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。（1）恰有兩個空盒的放法有種；（2）甲球只能放入2號或3好盒，而乙球不能放入4號盒的不同放法有種。

4．解決排列組合問題還要遵循“先選后排”、“正難則反”（即去雜法）等原則；[來源:學。科。網Z。X。X。K]

[舉例]某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數字固定，從“???????0000”到“???????9999”共10000個號碼．公司規定：凡卡號的后四位帶有數字“4”或“7”的一律作為“優惠卡”，則這組號碼中“優惠卡”的個數為（）（福建文科第12題）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考慮帶有數字“4”或“7”的情況太多，逐一討論非常麻煩；考慮事件的反面：后四位不帶有數字“4”或“7”的，有84個，故“優惠卡”的個數為104-84=5904。

[鞏固]四位同學乘坐一列有6節車廂的動車組，則他們至少有兩人在同一節車廂的的情況共有種？(用數字作答)．

5．熟悉幾個排列組合問題的基本模型：①部分元素“相鄰”（捆綁法），②部分元素“不相鄰”（用要求“不相鄰”的元素插空），③部分元素有順序（n個元素全排，其中m個元素

m要求按給定順序排列的方法數為Cn(n?m)!=

nnCnkC(nk?1)nC(nk?2)n?Cnn!），④平均分組（kn個元素平均分成k組m!的方法數為k!），⑤相同元素分組（用“擋板法”）等。

[舉例1]某校安排6個班到3個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種。

解析：先將6個班分成3組，在將3個組分到3個工廠。6個班分成3組，從每組的人數看

22C62C4C2有3類：①4，1，1，有C種；②3，2，1，有CC種，③2，2，2，有種； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540種。3!4

63623

[舉例2]某文藝小分隊到一個敬老院演出，原定6個節目，后應老人們的要求決定增加3個節目，但原來六個節目的順序不變，且新增的3個既不在開頭也不在結尾，則這臺演出共有 種不同的演出順序。

解析：思路一：著眼于“位置”。從9個“位置”中選出6個，安排原來的6個節目，且第41和第9兩個位置必須選，而他們的順序是既定的，無需排列，所以有C7種方法，剩下的3433個位置安排新增的3個節目，有A3種方法；故所有不同的演出順序有：C7=210種。A3

思路二：在原有6個節目的基礎上“插空”。原來6個節目形成7個“空”，但前后兩“空”

3不能安排，共有3類情況：①新增的3個節目互不相鄰，有A5種方法；②新增的3個節目

223恰有兩個相鄰，有A3種方法，故所有不同的A5種方法；③新增的3個節目相鄰，有5A3

3223演出順序有：A5+A3=210種。A5+5A3

[鞏固1]記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5題）

Ａ．1440種Ｂ．960種Ｃ．720種Ｄ．480種

[鞏固2]學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且滿足x1?x2?x3?x4，則這四為同學考試成績所有可能的情況有

[鞏固3]現有10個市級“三好生”名額分配給高三八個班級，每班至少1個，則有種不同的分配方案。

6．“抽象化歸”是解決排列組合問題的“太極拳”，“逐一列舉”是解決排列組合問題的“撒手锏”；有時，畫“樹狀圖”能使“逐一列舉”變得更加簡明、直觀。

[舉例1]已知兩個實數集合A={a1,a2,?,a100},B={b1,b2, ?,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100),這樣的映射共有(用符號作答)。解析：本題直接考慮集合A中每一個元素在B中的象的情況非常困難。注意到集合B中每個元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個元素對應；現將集合A中的100個元素按原有的順序分成50組，每組至少一個元素；將集合B中的元素按從小到大的順序

///排列為B={b1,b2, ?,b50}；∵f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100)，∴A中的“第1組”元素的象為

///b1，“第2組”元素的象為b2，?，“第50組”元素的象為b50，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100

4949個元素所形成的99個“空”中插上49塊“擋板”，所以有C99種分法，即映射共有C99個。

[舉例2]一個同心圓形花壇分為兩個部分，如右圖，中間小圓部分

種植草坪，周圍的圓環分成5等份為a1,a2,a3,a4,a5,種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植的方法為種。

解析：本題解法甚多，這里介紹畫“樹狀圖”列舉法。a1 a2 在右圖中，區域a1種紅花，a2種黃花時共有5種不同的種植方法；而區域a2種藍花與種黃花情況相同，區

域a1種藍花、黃花與種紅花情況相同；故所有不同的種植的方法為：3×2×5=30種 黃[鞏固1]顯示屏有一排7個小孔，每個小孔可顯示0或

1，若每次顯示其中3個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯 紅示，則該顯示屏能顯示信號的種數共有（）種

A．10B．48C．60D．80 藍 a3 紅4 黃 藍黃 5 藍 黃 藍 黃 藍

[鞏固2] 函數f:{1,2,3}?{1,2,3}滿足f(f(x))= f(x)，則這樣的函數個數共有（）

(A)1個(B)4個(C)8個(D)10個 [來源學+科+網]

7．二項式定理的核心是展開式的通項，Tr+1=Cnab(通項是展開式的第r+1項), r=0,1,2…n，二項展開式共有n+1項。展開式的通項中根式宜用分數指數表示。審題是要注意所求的是“項”還是“第幾項”還是“項的系數”。rn-rr

1??[舉例](1?2x)?x??的展開式中常數項為．（07高考全國Ⅱ卷理科第13題）x??28

181r)的展開式中常數項以及含x-2的項；Tr?1?C8rx8?r(?)r=C8(?1)rx8?2r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x?)的展開式中常數項為C8，含x 2的項為 x解析：先求(x?

1??C(?1)x；∴(1?2x)?x??的展開式中常數項為C84-2C85=?

42x??

n?3[鞏固] 若?3x的展開式中含有常數項,則最小的正整數n等于。?585?228

(07高考安徽理科第12題)

[遷移]f(x)=(x+1)n，且f ′(x)展成關于x的多項式后x2的系數為60，則n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系數”與“二項式系數”的區別；二項式系數和=2，其中奇數項的二項式系

n-1數和=偶數項的二項式系數和=2，二項式系數先增后減，并關于中間項“對稱”，二項展開

式中，中間項二項式系數最大；求二項展開式中系數絕對值最大的項，用“夾逼法”。

[舉例]若(2?x)n展開式中奇數二項式系數和為8192，則展開式中系數最大的項為。解析：2n?1r14?r=8192得n=14，則Tr?C142(?x)r，由于(2?x)14展開式中各項系數正負相間，故先求其展開式中系數絕對值最大的項，記為第r+1項，于是有：

r14?rr?115?rr14?rr?113?rC142?C142①，C142?C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5時系數為負，∴r=4，即展開式中系數最大的項為C142x。[來源:學§科§網Z§X§X§K] [來源:Z_xx_k.Com]

[鞏固]若(x?1n)展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為（）x

（07高考重慶理科第4題）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多項式的“系數和”一般用“賦值法”。若多項式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，則展開式中所有項的系數和=f(1)，其中奇數項的系數和=

=f(1)?f(?1)，偶數項的系數和2

[舉例]設(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7=-16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[舉例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+??+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn，若a1+a2+??＋an-1＝29-n,則正整數n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展開式中才有含xn 的項，它的系數為1，令x=0得a0=n，23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+??+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[來源:Zxxk.Com][來源學科網ZXXK]f(1)?f(?1)；展開式中的常數項=f(0)。2

[鞏固1]設(x2?1)(2x?1)9?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?

則a0?a1?a2?Ａ．?2?a11(x?2)11，（07高考江西文科第5題）?a11的值為（）Ｂ．?1Ｃ．1Ｄ．2[來源學科網ZXXK]

[鞏固2]已知(1?x)2?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，則

(a0?a2?a4)(a1?a3?a5)的值等于安徽文科第12題)

[遷移]設(1?3x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6x，則集合 623456

?a1,a2,a3,a4,a5,a6?含2 個元素的所有子集的元素總和為()

A640B630C320D31

5[來源:學_科_網Z_X_X_K]

[來源:學科網]

[來源:學科網]

答案

1、[鞏固1]D；[鞏固2] 14或23；

2、[鞏固]8424 ；

3、[鞏固]84，96；

4、[鞏固]936，5、[鞏固1] B，[鞏固2] 15，[鞏固3]問題相當于：將10個相同的球放入8個盒子中，每盒至少一

2球，用“擋板法”，有C9=36種；

6、[鞏固1]D，[鞏固2]D；

7、[鞏固]7；[遷移]B；

8、[鞏

固] B；

9、[鞏固1] A；[鞏固2] ?256；[遷移]D。