計算技巧及方法總結一、一般來說，對于二階、三階行列式，可以根據(jù)定義來做

1、二階行列式

2、三階行列式

=

例1計算三階行列式

解

但是對于四階或者以上的行列式，不建議采用定義，最常采用的是行列式的性質以及降價法來做。但在此之前需要記憶一些常見行列式形式。以便計算。

計算上三角形行列式

下三角形行列式

對角行列式

二、用行列式的性質計算

1、記住性質，這是計算行列式的前提

將行列式的行與列互換后得到的行列式,稱為的轉置行列式,記為或,即若

則

.性質1

行列式與它的轉置行列式相等,即

注

由性質1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質,它的列也同樣具有.性質2

交換行列式的兩行(列),行列式變號.推論

若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式為零.性質3

用數(shù)乘行列式的某一行(列),等于用數(shù)乘此行列式,即

第行(列)乘以,記為(或).推論1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2

行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.性質4

若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,例如,.則

.性質5

將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)后加到另一行(列)對應位置的元素上,行列式不變.注:

以數(shù)乘第行加到第行上,記作;

以數(shù)乘第列加到第列上，記作.2、利用“三角化”計算行列式

計算行列式時，常用行列式的性質，把它化為三角形行列式來計算.例如化為上三角形行列式的步驟是:

如果第一列第一個元素為0,先將第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為0;

然后把第一行分別乘以適當?shù)臄?shù)加到其它各行,使得第一列除第一個元素外其余元素全為0;

再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角形行列式,這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例2若,則

例3（1）（第一、二行互換）.（2）（第二、三列互換）

（3）（第一、二兩行相等）

（4）（第二、三列相等）

例4（1）因為第三行是第一行的倍.（2）因為第一列與第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,則

又

.例6

設

求

解

利用行列式性質，有

例7（1）

（2）.例8

因為而.因此.注:

一般來說下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不變.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不變.例10計算行列式.解

先將第一行的公因子3提出來：

再計算

例11

計算

解

例12計算

解

注意到行列式的各列4個數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的結果:

例13

計算

解

根據(jù)行列式的特點，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.例14

計算

解

從第4行開始，后一行減前一行：

三、行列式按行(列)展開（降階法）

1、行列式按一行(列)展開

定義1

在階行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的階行列式,稱為中元素的余子式,記為,再記

稱為元素的代數(shù)余子式.引理（常用）

一個n階行列式D,若其中第i行所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即

定理1

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即

或

推論

行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

或

2、用降價法計算行列式（常用）

直接應用按行(列)展開法則計算行列式,運算量較大,尤其是高階行列式.因此,計算行列式時，一般可先用行列式的性質將行列式中某一行(列)化為僅含有一個非零元素,再按此行(列)展開,化為低一階的行列式,如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）

定義2

在階行列式中,任意選定行列,位于這些行和列交叉處的個元素,按原來順序構成一個階行列式,稱為的一個階子式,劃去這行列,余下的元素按原來的順序構成階行列式,在其前面冠以符號,稱為的代數(shù)余子式,其中為階子式在中的行標,為在中的列標.注：行列式的階子式與其代數(shù)余子式之間有類似行列式按行（列）展開的性質.定理2

(拉普拉斯定理)

在階行列式中,任意取定行(列),由這行(列)組成的所有階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式.例15求下列行列式的值:

（1）

（2）

解

(1)

(2)

例16計算行列式

解

例17計算行列式

解

例18求證

.證

例19設

D中元素的余子式和代數(shù)余子式依次記作和,求及.解

注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即

又按定義知,例20

用拉普拉斯定理求行列式的值.解

按第一行和第二行展開