第一篇：極限的概念 教案

【教學課題】：§1.2數列的極限（第一課時）

【教學目的】：使學生逐步建立起數列極限的??N定義的清晰概念。會應用數列極限的??N定義證明數列收斂及有關命題，并能運用??N語言正確表述數列不以某實數為極限等相應陳述。

【教學重點】：數列極限的概念。

【教學難點】：數列極限的??N定義及其應用。

【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。

一引言

通過介紹我國數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術，來介紹極限思想的最初萌芽。

二、數列極限的定義．定義（數列）：若函數f的定義域為全體正整數集合N?，則稱

f:N??R或f(n),n?N ?

為數列。因為正整數集可以由小到大排列，故數列f(n)也可以寫作

a1,a2,?,an,?

簡記為{an}，其中an稱為該數列的通項。

2收斂數列描述性定義：一般地說，對于數列?an?，若當n無限增大時，an能無限地接近某一個常數a，則稱此數列為收斂數列，常數a稱為它的極限。不具有這種特性的數列就不是收斂的數列，或稱為發散數列。

如何用數學語言把它精確地定義下來。還有待進一步分析。數列極限的數學定義 以?1???11?a?1?n為例，可觀察出該數列具以下特性：①隨著的無限增大，無限?nnn?

n地接近1。②隨著n的無限增大，1?

|1?

1n?1|無限減少，也就是說|1?

n?1|?1

101n與1的距離無限減少。③隨著n的無限增大，?1|會任意小，只要n充分大。如：要使|1?，只要n?10即可；

要使|1?

? 1n?1|?1100，只要n?100即可；

任給無論多么小的正數?，都會存在數列的一項aN，從該項之后(n?N)，|?1?

?

??

1?

??1|??。n?

?

1?

??1|??。n?

即???0,?N，當n?N時，|?1?

綜上所述，數列?1?

?

?

111?的通項隨的無限增大，無限接近于1，即是對任1?1?n?

nnn?

意給定正數?，總存在正整數N，當n?N時，有|?1?

?

?

1?1??

。此即?1|??1???以1為極?

n?n??

限的精確定義，記作lim?1?

n??

??

11?

或n??,1??1。?1?

nn?

定義 設?an?為數列，a為實數,，若對???0，總?N?N?，使得當n?N時有

|an?a|??

則稱數列?an?收斂于a,a稱為數列?an?的極限。并記作liman?a或an?a(n??)。

n??

由于n限于取正整數，所以在數列極限的記號中把n???寫成n??。

若數列?an?沒有極限，則稱?an?不收斂，或稱?an?為發散數列。

注意：關于?：① ?的任意性。?刻化an與常數a的接近程度，?越小，表示an與a越近；②?的固定性。盡管?有其任意性，但一經給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它

?

2來求出Ｎ；③?的多值性。?既是任意小的正數，那么,3?,?等等，同樣也是任意小的正數，因此定義１中的不等式|an?a|??中的?可用“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；

?,3??,等來代替。從而

關于N：相應性。一般地，N隨?的改變而改變，因此常把N看作N(?)來強調N是依賴于?的，?一經給定，就可以找到相應的一個N。當然N并不是唯一的，N之后的任意的項數都可以作為N。舉例說明如何用??N定義來驗證數列極限

例１ 證明 lim

n?(?1)

n

n

n??

?1。

n

證???0，考察

n?(?1)

n

?1?

1n

??，可得n?

?。

n?(?1)?1?

于是可取N?，則當n?N時，便有：?1??。?1???n??

n

所以lim

n?(?1)

n

n

n??

?1。

例2 證明lim

3n

n??

n?

3?3。

9n?3

證考察

3n

n?3

9?3??

?

?

9n

(n?3)，因此對

???0，只要n?，n?3，上式就小于?，故取N?max{3,，則當n?N時，總

??9

?9n

??，即lim

3n

有

3n

n?3

?3?

n?3

n

n??

n?3

?3。

例3證明limq?0(|q|?1)

n??

證若q?0，則結果顯然成立。

1q

現設0?q?1,記h?

?1?0,由qn?0?qn?

1(1?h)

n

?

11?nh

?

1nh

?，得

n?,因此取N??，所以???0,當n?N時，便有qn?0??。??h??h?即limq?0(|q|?1)。

n??

n

?1?

例4證明lim

n??

a?1(a?0)。

證①a=1時,，顯然成立。

n

②a?1時，令an?1??(??0)，則a?(1??)?1?n??????1?n??

a?1n

??

所以為了要使an?1??，只需

a?1n

?a?1?

??，可取N?。???

??

③0?a?1時，令a?

(b?1)，則由 an?1?()n?1?

bb

1?bn

?bn?1??,可得

bn

n?log??1b，可取N??log??1b?。

總之，當

a?0時，總有lim

n??

?1。

5．數列極限證明的步驟

(１)考察化簡an?a；

(２)放大an?a，通常適當放大或條件放大an?a??1(n)??2(n)????k(n)；(３)解?k(n)??，求出需要的N；(４)用??N語言再順著寫下來。

6．數列極限的幾何理解

在定義１中，“當n?N時有|an?a|??”?“當n?N時有a???an?a??” ?“當n?N時有” ?所有下標大于N的項an都落在鄰域U(a;?)內；而在U(a;?)之外，數列?an?中的項至多只有N個（有限個）。反之，任給??0，若在U(a;?)之外數列?an?中的項只有有限個。

a??aa??

由此寫出數列極限的一種等價定義（鄰域定義）：

定義1?任給??0，若在U(a;?)之外數列?an?中的項只有有限個，則稱數列?an?收斂于極限a.由此可見：１）若存在某個?0?0，使得數列?an?中有無窮多個項落在U(a;?0)之外，則?an?一定不以a為極限；２）數列是否有極限，只與它從某一項之后的變化趨勢有關，而與它前面的有限項無關。所以，在討論數列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數值，對收斂性和極限都不會發生影響。

a為定數。否定定義1 設{an}為數列，若對??0?0，對?N?N?，總存在n0?N，且|an?a|??0，則稱數列{an}不收斂于a。

否定定義1' 若存在?0?0，使得數列{an}中有無窮多項落在U(a;?0)之外，則

{an}不以a為極限。

例５ 證明?n2?和?(?1)n?都是發散數列。

證(?xn?發散??a?R,??0?0,?N，?n0?N，使得xn?a??0)

?a?R,取?0?1,則在U(a,?0)之外所有滿足n?a?1的項有無窮多,顯然都落在U(a,?0)之外，所以?n2?不以任何a為極限。即數列?n2?發散。

例６設limxn?limyn?a，作數列：求證limzn?a。?zn?:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?，n??

n??

n??

證 由limxn?limyn?a，故???0，數列xn和yn中落在U(a;?)之外的項至多只

n??

n??

有有限項，所以?zn?落在U(a;?)之外的項也至多只有有限項，故由定義1?得limzn?a。

n??

例７ 設?an?為給定的數列，減少或改變有限項之后得到的數列，?bn?為對?an?增加、求證：數列?bn?與?an?同時收斂或發散，且在收斂時兩者的極限相等。

證 設?an?為收斂的數列，且liman?a，按定義1?，???0，數列?an?中落在n??

U(a;?)之外的項最多只有有限項，而數列?bn?是對?an?增加、減少、改變有限項之后得

到的。故數列?bn?與?an?同時收斂或發散，且在收斂時兩者的極限相等。

三 小結

本課時的主要內容要求：

① 使學生逐步建立起數列極限的??N定義的清晰概念。② 會應用數列極限的??N定義證明數列的有關命題。③ 能運用??N語言正確表述數列不以某實數為極限等相應陳述。

第二篇：函數極限概念

一． 函數極限的概念

1.x趨于?時函數的極限

設函數f定義在??,???上，類似于數列情形，我們研究當自變量x趨于+?時，對應的函數值能否無線地接近于某個定數A.例如，對于函數f?x?=，從圖象上可見，當無x限增大時，函數值無限地接近于x1

0；而對于函數g?x?=arctanx則當x趨于+?時，函數值無限地接近于.2?我們稱這兩個函數當x趨于+?時有極限.一般地，當x趨于+?時函數極限的精準定義如下：

定義1 設f為定義在??,???上的函數，A為定數。若對任給的??0，存在正數M????，使得當x?M時有f?x??A??，則稱函數f當x趨于+?時以A為極限，記作lim

f?x??A或f ?x??A?x????.x???

在定義1中正數M的作用與數列極限定義中的N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實數x，而不僅僅是正整數n。因此，當x???時函數f以A為極限意味著：A的任意小鄰域內必含有f在+?的某鄰域內的全部函數值.

第三篇：極限的概念

2-1極限的概念

（1）x?口

n??limf（x）??的讀法，直觀含義 x?R,n?N

f(x)???f(x)??(x?口）

limf(x)??limf(x)與x??limf(x)limf(x)???當x?口x?口（2）收斂或極限存在：x?口（3）無窮小：x?口limf(x)?Alimf(x)?0，無窮大：x?口

?????極限不存在（4）x?x

極限

（5）x?x0lim?f(x)?f(x0)0?、x?xlim?f(x)?f(x0)0? 稱為f(x)在點x的左、右limf(x)???f(x0)?f(x0)????；

。x??

2-2 函數的連續性 limf(x)???f(??)?f(??)??

x(1)定義：f(x)在點0連續 <=> x?xlimf(x)?f(x0)

當 f(x)在區間 I 上連續 <=> f(x)在 I 上的每一點都連續。

(2)初等函數都是連續的。另外，連續函數的和、差、積、商以及它們的復合函數也都是連續的。

x?口（3）有等式

2-3 基本初等函數在開區間端點的極限值

（1）常C=C limf(?(x))f連續時x?口f(lim?(x))

（2）冪(0)

???正?0，(??)???正??(?),(0)?負???,(??)負?0；?（3）指e

（4）對???,e??0?ln0???,ln(??)???

（5）三sin(??)、cos(??)?不存在arctan(??)?(??

2)?

（6）反，arccot(??)?0,arccot(-?)??.?

2-4 各類函數做四則運算后的極限（注意符號 “?”= “存在”）

(1)??(或?`x)???，??(非0?)??，??(?0的?)??；

（非?不?）?不?；（2）??(不?）?不?，非0??不??不?，1?

1?01??（3）?，0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞

（±∞）+（±∞）= ∞；

（4）0?有界=0，∞+有界=∞ ；

0??00，0??,???,以及1,0,?(5)不定式：0? ；

0?（不?）（6）不定式： 不??(或?`?`?）不?。

2-5 洛必達法則

lim

f(x)g(x)

limx?口當代值結果為“00???時 2?xx2

例2—1 求 極限x?2x?2

分析：此題屬于極限計算類題型，由題型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0

“0”，（3）洛必達法則，（4）再代值，(5)定式結束。即可。

lim2?xx2

解：x?2x?2“00lim(2?x)?x

(x?2)?xx2x?2= x?2lim2ln2?2x1x=2ln2?2?2?4ln2?4

例2-2求極限x?0lim?xlnx

分析：由題型

“?”2?1，第一步，代值，xlnx?0ln0?0????;第二步，變形為0“0”或?后用洛必達法則，由題型2?2(2)

有兩種變形方法：

xlnxxlnx?

①?ln1x?②xlnx??1

x?

(ln?)'由題型

(12?)'2(2)的解釋：變形要有利于洛必達法則的求導運算。應算，不應算ln?。所以要選上面②的變形方法，最后用洛必達法則，再代值即可得定式結果（注：如選①的變形方法，用洛必達法則，將越算越繁，得不出結果）。

解:

x?0lim?xlnx “0??”

x?0 x'lim?lnx

“?

?”lim?(lnx)xx

x?1?x2x?0x?0lim????

?x'lim(?x)x?0

=0

第四篇：數列極限教案

數列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數學的重要思想。極限概念是從初等數學向高等數學過渡所必須牢固掌握的內容。

二、教學重點和難點

教學重點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫。

教學難點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫，簡單數列的極限進行證明。

三、教學目標

1、通過學習數列以及數列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學習概念，發現不同學科知識的融會貫通，從哲學的量變到質變的思想的角度來看待數列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術)劉徽的割圓術來計算圓的面積。

.........內接正六邊形的面積為A1，內接正十二邊形的面積為A2......內接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結：極限是變量變化趨勢結果的預測。例一中，內接正六n邊形的邊數不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數列越來越接近0；（3）

（4）中的數列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數a”主要強調的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數學語言來刻畫數列的概念。本節課的重點就是將數列的這樣一個特征用數學語言刻畫出來，并引入數列極限的概念。

2、內容講授

（定義板書）設?xn?是一個數列，a是實數。如果對于任意給定的數??0，總存在一個正整數N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數列?x

n?的極限，或者說數列?xn?收斂且收斂于數a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數列沒有極限，就說數列是發散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數，但是這個數在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關的。1?1?以數列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們取N????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設xn?C（C為常數），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結：用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業

第五篇：理論真空和極限真空的概念區分

理論真空和極限真空的概念區分

其實這兩個概念相差很遠，只是有幾個同事都問過我同樣的問題，所以干脆寫幾句。

所謂“理論真空”就是指最理想的真空狀態，比如，某密閉容器中一個氣體分子都沒有，氣體壓力絕對等于零，這種狀態就是最理想的真空狀態，這就是平常說的“理論真空”，僅在理論上存在，實際上不可能存在。

“極限真空”完整名稱是“極限真空度”，是指微型真空泵能達到的最大真空度。比如，某臺抽氣能力很弱的微型真空泵，它經過無限長的時間也只能把密閉容器內的氣體壓力由常態的100KPa降到95KPa，那么95KPa就是這臺泵的極限真空度，比如成都氣海公司生產的PM950.2。再比如，有一臺抽氣能力很強的微型真空泵，它可以把氣壓由100KPa降到10 KPa，那么10KPa就是這臺泵的極限真空度，比如成都氣海公司生產的VCH1028。

“極限真空”是真空泵的一個重要參數，是反應泵抽氣能力的特性值，是與真空泵相關的一個數值，不同的真空泵可以有不同的“極限真空”度。而“理論真空”是理論研究時的一個概念，是排除各種實際因素的影響而提煉出的一種最理想的真空狀態。